我国有哪些企业网站,如何在百度投放广告,网店推广实训标题优化答案,做网站的行业平台Python和Java代码实现#xff1a;切线法求解一维最优化问题 代码实现Python代码Java代码 求解实例 根据概念查询#xff0c;切线法定义如下#xff1a; 切线法#xff08;Tangent Method#xff09;是一种用于求解非线性方程的数值方法。它也被称为牛顿法#xff08;Newt… Python和Java代码实现切线法求解一维最优化问题 代码实现Python代码Java代码 求解实例 根据概念查询切线法定义如下 切线法Tangent Method是一种用于求解非线性方程的数值方法。它也被称为牛顿法Newton’s Method因为它是由艾萨克·牛顿发明的。 牛顿切线法是一种求解方程近似解的数值方法。它利用函数在某一点的切线来逼近函数的零点从而得到方程的近似解。该方法的原理是对于一个连续可导的函数通过对函数图像上某一点处的切线进行截距求解得到该点处的横坐标然后将该横坐标代入函数中得到新的函数值重复以上步骤直到函数值足够接近零点为止。
切线法的基本思想是通过在给定点的切线来逼近函数的根。具体来说如果你有一个非线性方程 f ( x ) 0 f(x) 0 f(x)0并且你想找到该方程的根你可以从一个初始猜测 x 0 x_0 x0 开始然后通过以下步骤来迭代地逼近解 在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0, f(x_0)) (x0,f(x0)) 处画出函数的切线。 找到这条切线与 x x x 轴的交点记作 x 1 x_1 x1。 将 x 1 x_1 x1 作为新的猜测回到步骤1重复这个过程。
这个过程的数学表达式是 x n 1 x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n1} x_n - \frac{f(x_n)}{f(x_n)} xn1xn−f′(xn)f(xn)
其中 x n x_n xn 是第 n n n 次迭代的解 f ′ ( x n ) f(x_n) f′(xn) 是函数在 x n x_n xn 处的导数。
需要注意的是这个方法并不总是能够找到解特别是当初始猜测离解很远或者函数在解附近的性质使得迭代过程不收敛的时候。在实际应用中通常会设置一个最大迭代次数和一个足够小的阈值当连续两次迭代的解之间的差小于这个阈值时就认为找到了足够精确的解。 我理解的作者这里应该是首先将求最小值的问题转换成了求一阶导函数等于0的问题因此是对一阶导函数应用切线法因此才有一阶导和二阶导的计算 代码实现
Python代码 # 待优化函数
def f(t): return t ** 2 - t * 5 8 # 待优化函数一阶导数
def d_f(t): return 2 * t - 5 # 待优化函数二阶导数
def d_2_f(t): return 2 # 切线法
def tangent_method(x, eps): cnt 0 while abs(-d_f(x) / d_2_f(x)) eps: # 更新x并增加迭代次数 x -d_f(x) / d_2_f(x) cnt 1 return x, f(x), cnt if __name__ __main__: # 参数设置 left_point 1 right_point 7 min_interval_value 0.1 # 选取初始点 x0 6 # 调用切线法求解最小值 best_x, best_y, iter_cnt tangent_method(x0, min_interval_value) # 输出最优解 print(best_x: {}, best_y: {}, iter_cnt: {}..format(best_x, best_y, iter_cnt))
Java代码
以下的tangentMethod函数为切线法的Java代码。
public class TangentMethod { public static void main(String[] args) { // 参数设置 int leftPoint 1; int rightPoint 7; double minIntervalValue 0.1; double x0 6.0; Solution best_solution tangentMethod(x0, minIntervalValue); System.out.println(best_x: best_solution.best_x); System.out.println(best_y: best_solution.best_y); System.out.println(cnt: best_solution.cnt); } // 切线法 private static Solution tangentMethod(double x, double eps) { // 统计迭代次数 int cnt 0; while (Math.abs(df(x) / d2f(x)) eps) { // 更新x并增加迭代次数 x - df(x) / d2f(x); cnt ; } // 构造最优解对象 Solution best_solution new Solution(); best_solution.best_x x; best_solution.best_y f(x); best_solution.cnt cnt; return best_solution; } // 待优化函数 private static double f(double t) { return t * t - t * 5 8; } // 待优化函数一阶导数 private static double df(double t) { return t * 2 - 5; } // 待优化函数二阶导数 private static double d2f(double t) { return 2; } // 解对象 private static class Solution { double best_x; double best_y; int cnt; }
}
求解实例
无论运行Python程序还是Java程序可以得到最优解如下
best_x: 2.5, best_y: 1.75, iter_cnt: 1.
从结果上可以看出切线法只需要迭代一次即可得到最优解而使用黄金分割法需要迭代的次数为9。这主要是因为切线法使用了待优化函数更多的信息包括一阶和二阶导数所以计算效率更高这在文章中也有提到过该理论。
此外相比黄金分割法切线法并不依赖左右端点的值但是会对初值更加敏感虽然文中的实例对初值不敏感这也是值得注意的。
