网站开发 竞拍网站,新网 主办网站已备案,政务服务网站建设汇报,富阳网站定制开发哪家公司好#6682. 梦中的数论
推式子 ∑i1n∑jkn∑k1n[(j∣i)∧((jk)∣i)]显然有jkj,所以我们另jkk′#xff0c;有jk′#xff0c;并且j,k′都是i的约数这就相当于在σ(i)中选取一对有序对了#xff0c;所以总的选法有C(σ(i),2)种原式∑i1nσ(i)(σ(i)−1)2∑i1nσ2(i)−∑…#6682. 梦中的数论
推式子
∑i1n∑jkn∑k1n[(j∣i)∧((jk)∣i)]显然有jkj,所以我们另jkk′有jk′并且j,k′都是i的约数这就相当于在σ(i)中选取一对有序对了所以总的选法有C(σ(i),2)种原式∑i1nσ(i)(σ(i)−1)2∑i1nσ2(i)−∑i1nσ(i)2∑i1nσ(i)∑i1n∑j∣i∑i1nni,数论分块即可求解∑i1nσ2(i):i∈prime,σ2(p)4,σ2(pe)(e1)2并且这是一个积函数所以我们显然可以用Min25筛求解\sum_{i 1} ^{n} \sum_{j k} ^{n} \sum_{k 1} ^{n}[(j \mid i) \wedge ((j k) \mid i)]\\ 显然有j k j,所以我们另j k k有j k并且j, k都是i的约数\\ 这就相当于在\sigma(i)中选取一对有序对了所以总的选法有C(\sigma(i), 2)种\\ 原式 \sum_{i 1} ^{n} \frac{\sigma(i)(\sigma(i) - 1)}{2}\\ \frac{\sum_{i 1} ^{n} \sigma ^2(i) - \sum_{i 1} ^{n} \sigma(i)}{2}\\ \sum_{i 1} ^{n} \sigma(i) \sum_{i 1} ^{n} \sum_{j \mid i} \sum_{i 1} ^{n} \frac{n}{i},数论分块即可求解\\ \sum_{i 1} ^{n} \sigma ^2(i):\\ i \in prime, \sigma ^ 2(p) 4, \sigma ^ 2(p ^ e) (e 1) ^2\\ 并且这是一个积函数所以我们显然可以用Min25筛求解\\ i1∑njk∑nk1∑n[(j∣i)∧((jk)∣i)]显然有jkj,所以我们另jkk′有jk′并且j,k′都是i的约数这就相当于在σ(i)中选取一对有序对了所以总的选法有C(σ(i),2)种原式i1∑n2σ(i)(σ(i)−1)2∑i1nσ2(i)−∑i1nσ(i)i1∑nσ(i)i1∑nj∣i∑i1∑nin,数论分块即可求解i1∑nσ2(i):i∈prime,σ2(p)4,σ2(pe)(e1)2并且这是一个积函数所以我们显然可以用Min25筛求解
代码
/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include bits/stdc.h#define mp make_pair
#define pb push_back
#define endl \n
#define mid (l r 1)
#define lson rt 1, l, mid
#define rson rt 1 | 1, mid 1, r
#define ls rt 1
#define rs rt 1 | 1using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pairint, int pii;const double pi acos(-1.0);
const double eps 1e-7;
const int inf 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f 1, x 0;char c getchar();while(c 0 || c 9) {if(c -) f -1;c getchar();}while(c 0 c 9) {x (x 1) (x 3) (c ^ 48);c getchar();}return f * x;
}const int N 1e6 10, mod 998244353, inv2 mod 1 1;namespace Min_25 {int prime[N], id1[N], id2[N], m, cnt, T;ll a[N], g[N], sum[N], n;bool st[N];int ID(ll x) {return x T ? id1[x] : id2[n / x];}void init() {T sqrt(n 0.5);cnt 0, m 0;for(int i 2; i T; i) {if(!st[i]) {prime[cnt] i;sum[cnt] (sum[cnt - 1] 4) % mod;}for(int j 1; j cnt 1ll * i * prime[j] T; j) {st[i * prime[j]] 1;if(i % prime[j] 0) {break;}}}for(ll l 1, r; l n; l r 1) {r n / (n / l);a[m] n / l;if(a[m] T) id1[a[m]] m;else id2[n / a[m]] m;g[m] (4ll * a[m] - 4) % mod;}for(int j 1; j cnt; j) {for(int i 1; i m 1ll * prime[j] * prime[j] a[i]; i) {g[i] ((g[i] - (g[ID(a[i] / prime[j])] - sum[j - 1]) % mod) % mod mod) % mod;}}for(int i 1; i T; i) {st[i] 0;}}ll solve(ll n, int m) {if(n prime[m]) return 0;ll ans (g[ID(n)] - sum[m - 1] % mod mod) % mod;for(int j m; j cnt 1ll * prime[j] * prime[j] n; j) {for(ll i prime[j], e 1; i * prime[j] n; i * prime[j], e) {ans (ans (e 1) * (e 1) % mod * (solve(n / i, j 1)) % mod (e 2) * (e 2) % mod) % mod;}}return ans;}ll solve(ll x) {if(x 1) return x;n x;init();return solve(x, 1) 1;}
}int main() {// freopen(in.txt, r, stdin);// freopen(out.txt, w, stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);ll n read(), ans 0;for(ll l 1, r; l n; l r 1) {r n / (n / l);ans (ans (r - l 1) % mod * ((n / l) % mod) % mod) % mod;}ans (Min_25::solve(n) - ans) % mod * inv2 % mod;ans (ans % mod mod) % mod;cout ans endl;return 0;
}
