电商网站建设与运营哦,制作网站服务公司,网站用户注册怎么做,做网站广告公司开学已经是第二周了#xff0c;我的《微分几何》也上课两周了#xff0c;进度比较慢#xff0c;现在才讲到平面曲线的曲率。在平面曲线$\boldsymbol{t}(t)(x(t),y(t))$某点上可以找出单位切向量。$$\boldsymbol{t}\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$其中$ds^2 dx^2…开学已经是第二周了我的《微分几何》也上课两周了进度比较慢现在才讲到平面曲线的曲率。在平面曲线$\boldsymbol{t}(t)(x(t),y(t))$某点上可以找出单位切向量。$$\boldsymbol{t}\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$其中$ds^2 dx^2dy^2$将这个向量逆时针旋转90度之后就可以定义相应的单位法向量$\boldsymbol{n}$即$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}0$。常规写法让我们用弧长$s$作为参数来描述曲线方程$\boldsymbol{t}(s)(x(s),y(s))$函数上的一点表示对$s$求导。那么我们来考虑$\dot{\boldsymbol{t}}$由于$\boldsymbol{t}^21$对s求导得到$$\boldsymbol{t}\cdot\dot{\boldsymbol{t}}0$$也就是说$\dot{\boldsymbol{t}}$与$\boldsymbol{t}$垂直由于只是在平面上所以$\dot{\boldsymbol{t}}$与$\boldsymbol{n}$平行。即$$\dot{\boldsymbol{t}}\kappa \boldsymbol{n}$$类似地有$\dot{\boldsymbol{n}}$与$\boldsymbol{t}$平行。并且对$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}0$求导得到$$\dot{\boldsymbol{t}}\cdot\boldsymbol{n}\boldsymbol{t}\cdot\dot{\boldsymbol{n}}0$$将$\dot{\boldsymbol{t}}\kappa \boldsymbol{n}$代入上式得到$$\dot{\boldsymbol{n}}-\kappa \boldsymbol{t}$$$\kappa$被称为曲线在该点的曲率。复数表示以上是教科书的标准写法但事实上研究平面曲线的最方便的工具还是复数。将$\boldsymbol{r}(s)$用一个带参数的复数表示$z(s)$那么上面的两式可以写成更简洁的一个式子$$\ddot{z}(s)i\kappa (s) \dot{z}(s) $$这样写的好处还在于任意给出曲率函数$\kappa (s) $我们就可以求出对应的曲线$$z(s)\int e^{i\int \kappa (s)ds}ds $$这是简洁而有效的。另外不妨设$dzds e^{i\phi}$那么$$\dot{z}e^{i\phi}$$自然地$$\ddot{z}e^{i\phi}\left(i\dot{\phi}\right)$$所以曲率可以表示为$$\kappa\dot{\phi}$$各种坐标利用它可以很方便地推导出各种坐标系下的曲率表达式如曲线为一般的参数方程$(x(t),y(t))$时用函数加一撇表示对t求导有$ds\sqrt{x(t)^2y(t)^2}dt,\phi\arctan\left(\frac{y(t)}{x(t)}\right)$那么$$\frac{d\phi}{ds}\frac{\frac{y(t)}{x(t)}-\frac{y(t)x(t)}{[x(t)]^2}}{1\left(\frac{y(t)}{x(t)}\right)^2}\div \left(\frac{ds}{dt}\right)$$代入整理易得$$\kappa\frac{y(t) x(t)-x(t) y(t)}{[x(t)^2y(t)^2]^{3/2}}$$在极坐标下设$rf(\theta)$则$zf(\theta)e^{i\theta}$那么$$dz\left(\frac{d f}{d \theta}i f\right)e^{i\theta}d\theta$$所以$$ds\sqrt{f^2\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}d\theta$$而$\phi\arctan\frac{f}{\left(\frac{d f}{d \theta}\right)}\theta$那么$$\frac{d\phi}{ds}\left[\frac{1-\left(\frac{d^2 f}{d \theta^2}\right) f/\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}{1f^2/\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}1\right]\div \left(\frac{d s}{d \theta}\right)$$代入整理得$$\kappa\frac{2\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2f^2-\left(\frac{d^2 f}{d \theta^2}\right)f}{\left[\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2f^2\right]^{3/2}}$$三维空间有没有类似方便的东西呢我也正在思考^_^更详细的转载事宜请参考《科学空间FAQ》如果您还有什么疑惑或建议欢迎在下方评论区继续讨论。如果您觉得本文还不错欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然如果你无视它也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢打赏微信打赏支付宝打赏因为网站后台对打赏并无记录因此欢迎在打赏时候备注留言。你还可以点击这里或在下方评论区留言来告知你的建议或需求。如果您需要引用本文请参考苏剑林. (2014, Mar 04). 《平面曲线的曲率的复数表示 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/2403
