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从第一次了解到哥德尔不确定性原理时#xff0c;我就被此定理的内涵和意义所吸引#xff0c;也对这个定理的证明过程充满兴趣#xff0c;最近闲暇时#xff0c;买了这本《哥德尔证明》的书#xff0c;希望理解这个意义重大的数学定理的核心#xff0c;在此做一个阅…前言
从第一次了解到哥德尔不确定性原理时我就被此定理的内涵和意义所吸引也对这个定理的证明过程充满兴趣最近闲暇时买了这本《哥德尔证明》的书希望理解这个意义重大的数学定理的核心在此做一个阅读笔记。
背景
提哥德尔不确定性原理就不得不追溯到一个古老且优美的数学思想“公理化方法”公理化方法最早来自于古希腊的欧氏几何欧几里得通过五条公理或公设再加上对点线面这些概念的定义运用逻辑推理导出了几何学的众多定理。
高斯波尔约罗巴切夫斯基和黎曼等人通过更改欧几里得第五公设得到了另一套完全不同的几何学公理这剧烈动摇了数学家对公理的看法公理的显然性自明性不再是纯数学家关注的重点纯数学家的任务应当时从公理推导出定理而不需要关心公理是否为真。
数学不应当被视为数量的科学更恰当的说法应当是对任意给定一组公理得出其逻辑上蕴涵的结论的学科它不必和任何实物有对应关系。此时我们对公理化几何学有了进一步的认识我们甚至可以去掉定义“点”“线”“面”这些概念是无需定义的因为在公理化体系中它们没有任何意义它们只是用于承载公理也可以理解为它们被公理隐式定义。总而言之不要关注我们所讨论的“陈述”只需要关注“陈述”之间的逻辑依赖。用罗素的话总结纯数学是一门我们不知道自己在说什么也不知道我们说的是否为真的学科。
一片完全抽象的土地完全没有任何实际世界的信标一个很精妙的词语形容是“形式化”的我们可以建立各种各样的形式化的系统这些系统可能可以往现实世界进行映射比如几何学也可能只有形式的推理过程这不是什么大问题一个真正的核心问题是一个形式化的系统他的根基——一组公理是否是一致的即公理导出的定理是否无矛盾。
公理是否一致的模型法
对欧几里得几何来说有一条可靠的原则能保证其一致性即逻辑上不相容的陈述不可能同时为真。这里我们说真是指欧几里得五大公理在我们的经验中都是真命题此时说的是形式系统的现实映射。
对于非欧几何或者其他抽象的形式系统来说想通过和欧氏几何一样的方法说明公理的一致性只有通过建立一种解释或模型如果可以将公理转换为这种解释下的真陈述就可以确定抽象公理的一致性。
这套方法的原理是什么我的理解是这相当于将公理的一致性依托在一个我们现实世界的模型中在模型和抽象的公理体系中做了一个同构这个模型可以存在就说明了公理体系的结构也无矛盾。
一个形式系统示例
假设我们有类的概念表示可区分成分的组合其中每个成分成为类的元素有 K K K和 L L L两个集合那么可以建立一套公理 K K K任意两个元素恰好包含在 L L L的一个元素之中没有 K K K的元素被包含在 L L L的两个以上元素之中 K K K的所有元素并不都包含在 L L L的单个元素之中 L L L的任意两个元素恰好包含 K K K的一个元素没有 L L L的元素包含 K K K的两个以上的元素
这一套公理体系足够抽象无法按直观理解我们即不知道元素是什么也不知道包含是什么意思虽然如此这套公理体系仍然可以导出一些定理。例如通过第一条公理和第三条公理我们可以知道 K K K的元素数目必然大于 2 2 2甚至可以证明出 K K K元素数目一定为 3 3 3。
事实上我们可以找到一个常见的模型把所有公理映射为关于此模型的真陈述此映射为 K K K的元素是三角形的三个顶点 L L L的元素是三角形的三个边包含的含义视为 L L L的元素代表的边是否连着 K K K代表的顶点。那么这套公理映射到这套模型中就是
三角形任意两个顶点在三角形一个边上。三角形任何顶点都不会连两个以上的边。三角形任何一个边都不可能连所有顶点。三角形任意两个边恰好会连同一个顶点。三角形任意一个边都不可能连三个顶点。
这些都是真陈述因此这个形式系统的公理是一致的。
关于一致性的再次追问
使用最严格的态度追问即便我们所说的模型论是能证明公理系统的一致性的欧几里得几何学的公理转换为日常经验描述在我们所属的模型即日常的平直空间中是正确的吗我们可以在有穷的事实中确定其“可能正确”但空间是无限的我们怎么能确信日常经验能推到无穷的空间呢三角形那个形式系统是确信无疑的因为他的模型是可数的我们可以尽情检验所有边和点。两者有根本区别。
希尔伯特借助笛卡尔坐标系将欧几里得几何映射为代数学但这仍然无法回避那个核心的问题我们没有一个无穷的可信的模型作为源头。遗憾的是大部分公理系统都只能映射到非无穷模型。
