网站企业备案资料,学校网站改版,域名注册是什么意思呢,企业网站 阿里云我们经常需要观察一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响。有时候#xff0c;我们可以观察到一个事件的发生对另一个事件发生的概率有影响。比如#xff0c;你驾车超速这个事件的发生会增加你发生交通事故的概率。但是#xff0c;有时候我们也可以观察到#xff0c;一…我们经常需要观察一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响。有时候我们可以观察到一个事件的发生对另一个事件发生的概率有影响。比如你驾车超速这个事件的发生会增加你发生交通事故的概率。但是有时候我们也可以观察到一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响比如你朋友的职业是医生这个事件不会影响你发生交通事故的概率。在一般情况下P(A)和P(A|B)不相等比如例2.1中P年产值400092%而P年产值4000|年产值2000≈75.6%两者不相等这反映了事件A年产值4000和事件B年产值2000之间的联系。若有 说明B事件的发生对于A事件的发生没有影响这时我们称事件A和事件B相互独立。将式(2.9)代入概率乘法公式——式(2.3)则有 定义若两个事件A和B满足等式
P(A,B)P(A)P(B)
则称事件A和事件B相互独立也称为相互边缘独立。
如果上述等式不成立则称事件A与事件B相互依赖。事件相互独立与事件相互依赖具有对称关系——如果A依赖于B则B依赖于A如果A独立于B则B也独立于A。形式上若P(A|B)P(A)则必有P(B|A)P(B)。这也与我们的直觉相一致若“烟”提供了“火灾”的信息那么“火灾”一定也给我们提供了“烟”的信息。类似地可有事件之间条件独立的定义当且仅当 成立称事件A与事件B在给定事件C的情况下条件独立。我们来证明“事件A与事件B在给定事件C的情况下条件独立”时式(2.11)必然成立。证明 上面的推导中第六个等号是因为事件A与事件B在给定事件C的情况下条件独立所以有P(AB|C)P(A|C)P(B|C)。类似地可以根据式(2.11)推导出“事件A与事件B在给定事件C的情况下条件独立”这里不做证明。
类似于事件相互独立的对称性事件之间条件独立也有对称性即根据式(2.11)可有P(B|AC)P(B|C)比如事件“石头变热”和事件“太阳照射”相互不独立当事件“太阳照射”发生时事件“石头变热”就会发生。但假如引入第三个事件“有人在石头旁边烧火”这个事件发生时则前两个事件变成条件独立关系因为石头是否变热只对加热的出现做出反应而不关心具体是“太阳照射”加热还是“有人在石头旁边烧火”加热。
两个事件相互独立和两个事件基于另一个事件条件独立这两者之间是什么关系呢事实上两个事件相互独立并不能推导出两个事件会基于另一个事件条件独立反之两个事件基于另一个事件条件独立也不能推导出两个事件相互独立。以掷骰子试验为例假设骰子只有四个面分别标记为1、2、3和4且假设事件A为掷出来的点数是1或2事件B为掷出来的点数是2或3事件C为掷出来的点数是1或2或3则事件AB为掷出来的点数是2事件BC为掷出来的点数是2或3。
那么有概率数值P(A)1/2P(B)1/2P(AB)1/4,P(A|C)2/3和P(A|BC)1/2。显然此时有P(AB)P(A)P(B)即事件A和事件B相互独立同时有P(A|C)≠P(A|BC)即在给定事件C时事件A和事件B不是相互条件独立的。
但如果假设事件A为掷出来的点数是1事件B为掷出来的点数是1或2事件C为掷出来的点数是1或2则事件AB为掷出来的点数是1事件BC为掷出来的点数是1或2。
那么有概率数值P(A)1/4P(B)1/2P(AB)1/4,P(A|C)1/2和P(A|BC)1/2。显然此时有P(A|C)P(A|BC)即在给定事件C时事件A和事件B相互条件独立。但此时P(AB)≠P(A)P(B)即事件A和事件B不相互独立。和事件类似变量之间可以相互依赖也可以相互独立。两个变量X和Y如果对于X和Y的任意一个取值x和y都有 则变量X和Y相互独立记为XY。和事件之间的相互独立性一样变量之间的独立性也具有对称关系因此如果式(2.12)成立则有P(Yy|Xx)P(Yy)。如果变量X和Y有任意一对取值不满足上述等式则称变量X和Y相互依赖。因此变量之间的相互独立也可以视为一组事件之间相互独立。比如“身高”和“学习成绩”是相互独立的变量对于身高的任意一个取值h和学习成绩的任意一个取值s身高为h的概率不会对学习成绩为s的概率有任何影响。
同样变量之间也可以条件独立。三个变量X、Y和Z若对于X、Y和Z的任意一个取值xy, z都有 变量X和Y关于变量Z条件独立。根据数据集或者概率表进行事件之间独立性或条件独立性估计分析时如果事件和事件B在基于事件C进行过滤后的新数据集中是相互独立的则称事件A和事件B在定事件C的条件下条件独立。如果事件A和事件B在未经过任何过滤的原始数据集中相独立则称事件A和事件B相互边缘独立。
