手机企业网站开发,电商网站开发 参考文献,怎么做好seo内容优化,西安网站建设云阔网络设$f,g$是$[a,b]$上的[有界变差函数],则$fg$也是$[a,b]$上的有界变差函数. 证明#xff1a;设$P\{x_0,\cdots,x_n\}$是对$[a,b]$的任意分割.由于$f$是$[a,b]$上的有界变差函数#xff0c;因此$$\sum_{i0}^{n-1}|f(x_{i1})-f(x_i)|M_1$$且$$\sum_{i0}^{n-1}|g(x_{i1})-g(x… 设$f,g$是$[a,b]$上的[有界变差函数],则$fg$也是$[a,b]$上的有界变差函数. 证明设$P\{x_0,\cdots,x_n\}$是对$[a,b]$的任意分割.由于$f$是$[a,b]$上的有界变差函数因此$$\sum_{i0}^{n-1}|f(x_{i1})-f(x_i)|M_1$$且$$\sum_{i0}^{n-1}|g(x_{i1})-g(x_i)|M_2$$其中$M_1$和$M_2$是固定的常数.因此$$\sum_{i0}^{n-1}|(f(x_{i1})g(x_{i1}))-(f(x_i)g(x_i))|\sum_{i0}^{n-1}|(f(x_{i1})-f(x_i))(g(x_{i1})-g(x_i))|\leq \sum_{i0}^{n-1}|f(x_{i1}-f(x_i)|\sum_{i0}^{n-1}|g(x_{i1}-g(x_i)|M_1M_2$$可见$fg$是$[a,b]$上的有界变差函数. 设$f$和$g$都是$[a,b]$上的有界变差函数,则$f(x)g(x)$在$[a,b]$上有界变差函数. 证明我先证明若$f$是$[a,b]$上的有界变差函数则$f^2$是$[a,b]$上的有界变差函数.证明设$P\{x_0,\cdots,x_n\}$是对于$[a,b]$的任意分割则$$\sum_{i0}^{n-1}|f^2(x_{i1})-f^2(x_i)|\sum_{i0}^{n-1}|f(x_{i1})f(x_i)||f(x_{i1})-f(x_i)|$$根据数学分析_Tom M.Apostol_定理6.7$f$是$[a,b]$上的有界函数.因此$\forall x\in [a,b]$,$|f(x)|\leq K$,其中$K$是给定正实数.因此$$\sum_{i0}^{n-1}|f^2(x_{i1})-f^2(x_i)|\sum_{i0}^{n-1}|f(x_{i1})f(x_i)||f(x_{i1})-f(x_i)|\leq \sum_{i0}^{n-1}(|f(x_{i1})||f(x_i)|)|f(x_{i1})-f(x_i)|\leq \sum_{i0}^{n-1}2K|f(x_{i1}-f(x_i)|\leq 2KM$$其中$M$是给定正实数.可见$f^2$是$[a,b]$上的有界变差函数.由于$fg\frac{(fg)^2-(f-g)^2}{4}$,且根据同一个闭区间上两个有界变差函数的和仍然是有界变差函数可得$fg$是有界变差函数.转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/02/09/3827779.html
