响应式网站首页,怎么做网站赚钱吗,悟空crm系统,烟台网络公司网站建设文章目录 1.1 一点的应力状态1.2 一点主应力状态1.3 应力偏张量、球张量、应力不变量 1.1 一点的应力状态
物体在受到外力或者自身不均匀的温度场等作用时#xff0c;在其内部会产生内力#xff0c;物体的内力与方向和截面都有关系。假设有一个受到外力作用的变形体#xf… 文章目录 1.1 一点的应力状态1.2 一点主应力状态1.3 应力偏张量、球张量、应力不变量 1.1 一点的应力状态
物体在受到外力或者自身不均匀的温度场等作用时在其内部会产生内力物体的内力与方向和截面都有关系。假设有一个受到外力作用的变形体被一个平面截成A、B两个部分B部分对A部分施加有作用力在该截面上的dS微小面积上作用力为dP那么我们成dP与dS的比例极限为应力如下式 σ lim Δ S → 0 d P d S (1) \boldsymbol\sigma\lim_{\Delta S\to0} \frac{d\mathbf P}{dS}\tag{1} σΔS→0limdSdP(1) 上式黑体表明是方向相关量。 应力是有方向我们规定垂直于截面的分量成为正应力平行于截面的分量为剪应力。 为了分析一点的应力状态从物体内任一点取一微小的四面体单元如下图。其中 σ x x \sigma_{xx} σxx、 σ y y \sigma_{yy} σyy、 σ z z \sigma_{zz} σzz为正应力 τ x y \tau_{xy} τxy、 τ x z \tau_{xz} τxz、 τ y z \tau_{yz} τyz、 τ y x \tau_{yx} τyx、 τ z x \tau_{zx} τzx、 τ z y \tau_{zy} τzy为剪应力在很多时候我们借鉴矩阵的应用将这些分量放在一起来表示一点的应力状态比如如下形式。实际上更方便的表示一点的应力状态就是应力张量后面在专门学习张量的时候引入张量的概念和计算应力张量是二阶张量具有矩阵的显像化形式 写成矩阵形式如下式 [ σ x x τ x y τ x z τ y x σ y y τ y z τ z x τ z y σ z z ] \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \tau_{xy} \tau_{xz}\\ \tau_{yx} \sigma_{yy} \tau_{yz}\\ \tau_{zx} \tau_{zy} \sigma_{zz} \end{bmatrix} σxxτyxτzxτxyσyyτzyτxzτyzσzz
1.2 一点主应力状态
假设该斜面上只有正应力分量没有剪应力即四面体的斜面上 σ v \boldsymbol\sigma_{v} σv为正应力其中 σ v \boldsymbol\sigma_{v} σv的应力方向余弦为 ( l , m , n ) (l,m,n) (l,m,n)根据力的平衡可得下式。 σ x x ⋅ S Δ B O C τ z x ⋅ S Δ A O B τ y x ⋅ S Δ A O C σ v x S Δ A B C σ y y ⋅ S Δ A O C τ z y ⋅ S Δ A O B τ x y ⋅ S Δ B O C σ v y S Δ A B C σ z z ⋅ S Δ A O B τ y z ⋅ S Δ A O C τ x z ⋅ S Δ B O C σ v z S Δ A B C (2) \sigma_{xx}\cdot S_{\Delta BOC}\tau_{zx}\cdot S_{\Delta AOB}\tau_{yx}\cdot S_{\Delta AOC}\sigma_{vx}S_{\Delta ABC}\\ \sigma_{yy}\cdot S_{\Delta AOC}\tau_{zy}\cdot S_{\Delta AOB}\tau_{xy}\cdot S_{\Delta BOC}\sigma_{vy}S_{\Delta ABC}\\ \sigma_{zz}\cdot S_{\Delta AOB}\tau_{yz}\cdot S_{\Delta AOC}\tau_{xz}\cdot S_{\Delta BOC}\sigma_{vz}S_{\Delta ABC}\tag{2} σxx⋅SΔBOCτzx⋅SΔAOBτyx⋅SΔAOCσvxSΔABCσyy⋅SΔAOCτzy⋅SΔAOBτxy⋅SΔBOCσvySΔABCσzz⋅SΔAOBτyz⋅SΔAOCτxz⋅SΔBOCσvzSΔABC(2) 其中 S Δ A O C 1 2 d x d z S Δ A B C ⋅ m S Δ A O B 1 2 d x d y S Δ A B C ⋅ n S Δ B O C 1 2 d y d z S Δ A B C ⋅ l (3) S_{\Delta AOC}\frac{1}{2}dxdzS_{\Delta ABC}\cdot m\\ S_{\Delta AOB}\frac{1}{2}dxdyS_{\Delta ABC}\cdot n\\ S_{\Delta BOC}\frac{1}{2}dydzS_{\Delta ABC}\cdot l \tag{3} SΔAOC21dxdzSΔABC⋅mSΔAOB21dxdySΔABC⋅nSΔBOC21dydzSΔABC⋅l(3) 那么力平衡方程改为 σ x x ⋅ l τ z x ⋅ n τ y x ⋅ m σ v x σ v l σ y y ⋅ m τ z y ⋅ n τ x y ⋅ l σ v y σ v m σ z z ⋅ n τ y z ⋅ m τ x z ⋅ l σ v z σ v n (4) \sigma_{xx}\cdot l\tau_{zx}\cdot n\tau_{yx}\cdot m\sigma_{vx}\sigma_{v}l\\ \sigma_{yy}\cdot m\tau_{zy}\cdot n\tau_{xy}\cdot l\sigma_{vy}\sigma_{v}m\\ \sigma_{zz}\cdot n\tau_{yz}\cdot m\tau_{xz}\cdot l\sigma_{vz}\sigma_{v}n \tag{4} σxx⋅lτzx⋅nτyx⋅mσvxσvlσyy⋅mτzy⋅nτxy⋅lσvyσvmσzz⋅nτyz⋅mτxz⋅lσvzσvn(4) 合并同类相将其改为 ( σ x x − σ v ) ⋅ l τ y x ⋅ m τ z x ⋅ n 0 τ x y ⋅ l ( σ y y − σ v ) ⋅ m τ z y ⋅ n 0 τ x z ⋅ l τ y z ⋅ m ( σ z z − σ v ) ⋅ n 0 (5) (\sigma_{xx}-\sigma_{v})\cdot l\tau_{yx}\cdot m\tau_{zx}\cdot n0\\ \tau_{xy}\cdot l(\sigma_{yy}-\sigma_{v})\cdot m\tau_{zy}\cdot n0\\ \tau_{xz}\cdot l\tau_{yz}\cdot m(\sigma_{zz}-\sigma_{v})\cdot n0 \tag{5} (σxx−σv)⋅lτyx⋅mτzx⋅n0τxy⋅l(σyy−σv)⋅mτzy⋅n0τxz⋅lτyz⋅m(σzz−σv)⋅n0(5) 写成矩阵形式如下式 [ σ x x − σ v τ y x τ z x τ x y σ y y − σ v τ z y τ x z τ y z σ z z − σ v ] [ l m n ] [ 0 0 0 ] (6) \begin{bmatrix} \sigma_{xx}-\sigma_{v} \tau_{yx} \tau_{zx}\\ \tau_{xy} \sigma_{yy}-\sigma_{v} \tau_{zy}\\ \tau_{xz} \tau_{yz} \sigma_{zz}-\sigma_{v} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l \\m \\n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\0 \\0 \end{bmatrix} \tag{6} σxx−σvτxyτxzτyxσyy−σvτyzτzxτzyσzz−σv lmn 000 (6) 方向余弦存在非零解那么系数行列式需为零如下所示。 ∣ σ x x − σ v τ y x τ z x τ x y σ y y − σ v τ z y τ x z τ y z σ z z − σ v ∣ 0 (7) \begin{vmatrix} \sigma_{xx}-\sigma_{v} \tau_{yx} \tau_{zx}\\ \tau_{xy} \sigma_{yy}-\sigma_{v} \tau_{zy}\\ \tau_{xz} \tau_{yz} \sigma_{zz}-\sigma_{v} \end{vmatrix}0 \tag{7} σxx−σvτxyτxzτyxσyy−σvτyzτzxτzyσzz−σv 0(7) 将其展开如下式并利用剪应力互等关系。 ∣ σ x x − σ v τ y x τ z x τ x y σ y y − σ v τ z y τ x z τ y z σ z z − σ v ∣ ( σ x x − σ v ) ( σ y y − σ v ) ( σ z z − σ v ) τ y x τ z y τ x z τ z x τ x y τ y z − ( σ y y − σ v ) τ z x τ x z − ( σ z z − σ v ) τ y x τ x y − ( σ x x − σ v ) τ z y τ y z σ x x σ y y σ z z − ( σ x x σ y y σ x x σ z z σ y y σ z z ) σ v ( σ x x σ y y σ z z ) σ v 2 − σ v 3 2 τ x z τ x y τ y z ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 ) σ v − σ y y τ x z 2 − σ z z τ x y 2 − σ x x τ y z 2 − σ v 3 ( σ x x σ y y σ z z ) σ v 2 ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 − σ x x σ y y − σ x x σ z z − σ y y σ z z ) σ v σ x x σ y y σ z z 2 τ x z τ x y τ y z − σ y y τ x z 2 − σ z z τ x y 2 − σ x x τ y z 2 − σ v 3 I 1 σ v 2 I 2 σ v I 3 (8) \begin{aligned} \begin{vmatrix} \sigma_{xx}-\sigma_{v} \tau_{yx} \tau_{zx}\\ \tau_{xy} \sigma_{yy}-\sigma_{v} \tau_{zy}\\ \tau_{xz} \tau_{yz} \sigma_{zz}-\sigma_{v} \end{vmatrix}(\sigma_{xx}-\sigma_{v})(\sigma_{yy}-\sigma_{v})(\sigma_{zz}-\sigma_{v})\tau_{yx}\tau_{zy}\tau_{xz}\tau_{zx}\tau_{xy}\tau_{yz}\\ -(\sigma_{yy}-\sigma_{v})\tau_{zx}\tau_{xz}-(\sigma_{zz}-\sigma_{v})\tau_{yx}\tau_{xy}-(\sigma_{xx}-\sigma_{v})\tau_{zy}\tau_{yz}\\ \sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}-(\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{xx}\sigma_{zz}\sigma_{yy}\sigma_{zz})\sigma_{v}(\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz})\sigma_{v}^2\\ -\sigma_{v}^32\tau_{xz}\tau_{xy}\tau_{yz}(\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2)\sigma_{v}-\sigma_{yy}\tau_{xz}^2-\sigma_{zz}\tau_{xy}^2-\sigma_{xx}\tau_{yz}^2\\ -\sigma_{v}^3(\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz})\sigma_{v}^2\\ (\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2-\sigma_{xx}\sigma_{yy}-\sigma_{xx}\sigma_{zz}-\sigma_{yy}\sigma_{zz})\sigma_{v}\\ \sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}2\tau_{xz}\tau_{xy}\tau_{yz}-\sigma_{yy}\tau_{xz}^2-\sigma_{zz}\tau_{xy}^2-\sigma_{xx}\tau_{yz}^2\\ -\sigma_{v}^3I_1\sigma_{v}^2I_2\sigma_{v}I_3 \end{aligned}\tag{8} σxx−σvτxyτxzτyxσyy−σvτyzτzxτzyσzz−σv (σxx−σv)(σyy−σv)(σzz−σv)τyxτzyτxzτzxτxyτyz−(σyy−σv)τzxτxz−(σzz−σv)τyxτxy−(σxx−σv)τzyτyzσxxσyyσzz−(σxxσyyσxxσzzσyyσzz)σv(σxxσyyσzz)σv2−σv32τxzτxyτyz(τxz2τxy2τyz2)σv−σyyτxz2−σzzτxy2−σxxτyz2−σv3(σxxσyyσzz)σv2(τxz2τxy2τyz2−σxxσyy−σxxσzz−σyyσzz)σvσxxσyyσzz2τxzτxyτyz−σyyτxz2−σzzτxy2−σxxτyz2−σv3I1σv2I2σvI3(8)
其中 I 1 I_1 I1、 I 2 I_2 I2、 I 3 I_3 I3成为应力不变量如下所示。 I 1 σ x x σ y y σ z z t r [ σ ] I 2 τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 − σ x x σ y y − σ x x σ z z − σ y y σ z z I 3 σ x x σ y y σ z z 2 τ x z τ x y τ y z − σ y y τ x z 2 − σ z z τ x y 2 − σ x x τ y z 2 ∣ σ ∣ (9) I_1\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}tr[\boldsymbol \sigma]\\ I_2\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2-\sigma_{xx}\sigma_{yy}-\sigma_{xx}\sigma_{zz}-\sigma_{yy}\sigma_{zz}\\ I_3\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}2\tau_{xz}\tau_{xy}\tau_{yz}-\sigma_{yy}\tau_{xz}^2-\sigma_{zz}\tau_{xy}^2-\sigma_{xx}\tau_{yz}^2|\boldsymbol \sigma| \tag{9} I1σxxσyyσzztr[σ]I2τxz2τxy2τyz2−σxxσyy−σxxσzz−σyyσzzI3σxxσyyσzz2τxzτxyτyz−σyyτxz2−σzzτxy2−σxxτyz2∣σ∣(9)
难么公式7就变为 ∣ σ x x − σ v τ y x τ z x τ x y σ y y − σ v τ z y τ x z τ y z σ z z − σ v ∣ − σ v 3 I 1 σ v 2 I 2 σ v I 3 0 (10) \begin{aligned} \begin{vmatrix} \sigma_{xx}-\sigma_{v} \tau_{yx} \tau_{zx}\\ \tau_{xy} \sigma_{yy}-\sigma_{v} \tau_{zy}\\ \tau_{xz} \tau_{yz} \sigma_{zz}-\sigma_{v} \end{vmatrix}-\sigma_{v}^3I_1\sigma_{v}^2I_2\sigma_{v}I_30 \end{aligned}\tag{10} σxx−σvτxyτxzτyxσyy−σvτyzτzxτzyσzz−σv −σv3I1σv2I2σvI30(10)
那么 σ v \boldsymbol\sigma_{v} σv可以通过公式10来求解回代公式6可以解的 ( l , m , n ) (l,m,n) (l,m,n)。 根据三次方程的韦达定理有三个方程的根也就是主应力的和等于下式。 σ 1 σ 2 σ 3 − I 1 − 1 I 1 (11) \sigma_1\sigma_2\sigma_3-\frac{I_1}{-1}I_1\tag{11} σ1σ2σ3−−1I1I1(11)
其实观察上面的计算不难发现正应力 σ v \boldsymbol\sigma_{v} σv和方向余弦 ( l , m , n ) (l,m,n) (l,m,n)为应力矩阵的特征值和特征向量。
1.3 应力偏张量、球张量、应力不变量
下图为能反映一点的应力状态的六面体众多的金属实验表明在常见的应力范围内当六面体各个面上只有相等正应力无切应力时物体不发生塑性变形和形状变化。由此定义了这么一种应力状态即 [ σ m ] [ σ m 0 0 0 σ m 0 0 0 σ m ] (12) [\boldsymbol\sigma_m]\begin{bmatrix} \sigma_{m} 0 0\\ 0 \sigma_{m} 0\\ 0 0 \sigma_{m} \end{bmatrix}\tag{12} [σm] σm000σm000σm (12) σ m σ 1 σ 2 σ 3 1 3 ( σ 1 σ 2 σ 3 ) 1 3 I 1 (13) \sigma_m\sigma_1\sigma_2\sigma_3\frac{1}{3}(\sigma_1\sigma_2\sigma_3)\frac{1}{3}I_1\tag{13} σmσ1σ2σ331(σ1σ2σ3)31I1(13) 那么将应力张量减去应力应力球张量可得应力偏张量同时可以确定的是[s]也是对称矩阵由于剪应力互等 [ s ] [ σ x x − σ m τ x y τ x z τ y x σ y y − σ m τ y z τ z x τ z y σ z z − σ m ] [ s x x s x y s x z s y x s y y s y z s z x s z y s z z ] (14) [\boldsymbol s]\begin{bmatrix} \sigma_{xx}-\sigma_{m} \tau_{xy} \tau_{xz}\\ \tau_{yx} \sigma_{yy}-\sigma_{m} \tau_{yz}\\ \tau_{zx} \tau_{zy} \sigma_{zz}-\sigma_{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_{xx} s_{xy} s_{xz}\\ s_{yx} s_{yy} s_{yz}\\ s_{zx} s_{zy} s_{zz} \end{bmatrix}\tag{14} [s] σxx−σmτyxτzxτxyσyy−σmτzyτxzτyzσzz−σm sxxsyxszxsxysyyszysxzsyzszz (14)
同样按照1.2的过程可以得到应力偏张量的主应力的公式如下所示。 ∣ s x x − s v s y x s z x s x y s y y − s v s z y s x z s y z s z z − s v ∣ ∣ s x x − s v s x y s x z s y x s y y − s v s y z s z x s z y s z z − s v ∣ − s v 3 I ^ 1 s v 2 I ^ 2 s v I ^ 3 0 (15) \begin{aligned} \begin{vmatrix} s_{xx}-s_{v} s_{yx} s_{zx}\\ s_{xy} s_{yy}-s_{v} s_{zy}\\ s_{xz} s_{yz} s_{zz}-s_{v} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} s_{xx}-s_{v} s_{xy} s_{xz}\\ s_{yx} s_{yy}-s_{v} s_{yz}\\ s_{zx} s_{zy} s_{zz}-s_{v} \end{vmatrix}\\ -s_{v}^3\hat I_1s_{v}^2\hat I_2s_{v}\hat I_30 \end{aligned}\tag{15} sxx−svsxysxzsyxsyy−svsyzszxszyszz−sv sxx−svsyxszxsxysyy−svszysxzsyzszz−sv −sv3I^1sv2I^2svI^30(15) 其中有应力偏张量的不变量如下所示。 I ^ 1 s x x s y y s z z σ x x − σ m σ y y − σ m σ z z − σ m 0 I ^ 2 s x z 2 s x y 2 s y z 2 − s x x s y y − s x x s z z − s y y s z z I ^ 3 s x x s y y s z z 2 s x z s x y s y z − s y y s x z 2 − s z z s x y 2 − s x x s y z 2 (16) \hat I_1s_{xx}s_{yy}s_{zz}\sigma_{xx}-\sigma_{m} \sigma_{yy}-\sigma_{m} \sigma_{zz}-\sigma_{m}0\\ \hat I_2s_{xz}^2s_{xy}^2s_{yz}^2-s_{xx}s_{yy}-s_{xx}s_{zz}-s_{yy}s_{zz}\\ \hat I_3s_{xx}s_{yy}s_{zz}2s_{xz}s_{xy}s_{yz}-s_{yy}s_{xz}^2-s_{zz}s_{xy}^2-s_{xx}s_{yz}^2 \tag{16} I^1sxxsyyszzσxx−σmσyy−σmσzz−σm0I^2sxz2sxy2syz2−sxxsyy−sxxszz−syyszzI^3sxxsyyszz2sxzsxysyz−syysxz2−szzsxy2−sxxsyz2(16) 对公式15进行展开合并同类项等过程如下所示 − s v 3 I ^ 1 s v 2 I ^ 2 s v I ^ 3 − s v 3 I ^ 2 s v I ^ 3 − s v 3 ( s x z 2 s x y 2 s y z 2 − s x x s y y − s x x s z z − s y y s z z ) s v s x x s y y s z z 2 s x z s x y s y z − s y y s x z 2 − s z z s x y 2 − s x x s y z 2 − s v 3 ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 ) s v − [ ( σ x x − σ m ) ( σ y y − σ m ) ( σ x x − σ m ) ( σ z z − σ m ) ( σ y y − σ m ) ( σ z z − σ m ) ] s v ( σ x x − σ m ) ( σ y y − σ m ) ( σ z z − σ m ) 2 τ x z τ x y τ y z − ( σ y y − σ m ) τ x z 2 − ( σ z z − σ m ) τ x y 2 − ( σ x x − σ m ) τ y z 2 − s v 3 ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 ) s v − ( σ x x σ y y σ x x σ z z σ y y σ z z ) s v ( σ x x σ y y σ x x σ z z σ y y σ z z ) σ m s v − 3 σ m 2 s v σ x x σ y y σ z z − ( σ x x σ y y σ x x σ z z σ y y σ z z ) σ m ( σ x x σ y y σ z z ) σ m 2 − σ m 3 2 τ x z τ x y τ y z − ( σ y y τ x z 2 σ z z τ x y 2 σ x x τ y z 2 ) ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 ) σ m − s v 3 ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 ) ( s v σ m ) − ( σ x x σ y y σ x x σ z z σ y y σ z z ) ( s v σ m ) 6 σ m 2 s v − 3 σ m 2 s v σ x x σ y y σ z z 3 σ m 3 − σ m 3 2 τ x z τ x y τ y z − ( σ y y τ x z 2 σ z z τ x y 2 σ x x τ y z 2 ) − s v 3 3 σ m 2 s v 2 σ m 3 ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 − σ x x σ y y − σ x x σ z z − σ y y σ z z ) ( s v σ m ) σ x x σ y y σ z z 2 τ x z τ x y τ y z − ( σ y y τ x z 2 σ z z τ x y 2 σ x x τ y z 2 ) − s v 3 − σ m 3 3 σ m 2 s v 3 σ m 3 I 2 ( s v σ m ) I 3 − ( s v σ m ) ( s v 2 − s v σ m σ m 2 − 3 σ m 2 ) I 2 ( s v σ m ) I 3 − ( s v σ m ) ( s v σ m ) ( s v − 2 σ m ) I 2 ( s v σ m ) I 3 − ( s v σ m ) 2 ( s v σ m − 3 σ m ) I 2 ( s v σ m ) I 3 − ( s v σ m ) 3 3 σ m ( s v σ m ) 2 I 2 ( s v σ m ) I 3 − ( s v σ m ) 3 I 1 ( s v σ m ) 2 I 2 ( s v σ m ) I 3 0 (17) \begin{aligned} -s_{v}^3\hat I_1s_{v}^2\hat I_2s_{v}\hat I_3-s_{v}^3\hat I_2s_{v}\hat I_3\\ -s_{v}^3(s_{xz}^2s_{xy}^2s_{yz}^2-s_{xx}s_{yy}-s_{xx}s_{zz}-s_{yy}s_{zz})s_{v}\\ \quads_{xx}s_{yy}s_{zz}2s_{xz}s_{xy}s_{yz}-s_{yy}s_{xz}^2-s_{zz}s_{xy}^2-s_{xx}s_{yz}^2\\ -s_{v}^3(\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2)s_{v} \\ \quad- [(\sigma_{xx}-\sigma_{m})(\sigma_{yy}-\sigma_{m})(\sigma_{xx}-\sigma_{m})(\sigma_{zz}-\sigma_{m})(\sigma_{yy}-\sigma_{m})( \sigma_{zz}-\sigma_{m})]s_{v}\\ \quad(\sigma_{xx}-\sigma_{m})(\sigma_{yy}-\sigma_{m})(\sigma_{zz}-\sigma_{m})2\tau_{xz}\tau_{xy}\tau_{yz}\\ \quad-(\sigma_{yy}-\sigma_{m})\tau_{xz}^2-(\sigma_{zz}-\sigma_{m})\tau_{xy}^2-(\sigma_{xx}-\sigma_{m})\tau_{yz}^2\\ -s_{v}^3(\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2)s_{v}-(\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{xx}\sigma_{zz}\sigma_{yy}\sigma_{zz})s_{v}\\ \quad(\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{xx}\sigma_{zz}\sigma_{yy}\sigma_{zz})\sigma_{m}s_{v}-3\sigma_{m}^2s_{v}\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}\\ \quad-(\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{xx}\sigma_{zz}\sigma_{yy}\sigma_{zz})\sigma_{m}(\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz})\sigma_{m}^2-\sigma_{m}^32\tau_{xz}\tau_{xy}\tau_{yz}\\ \quad-(\sigma_{yy}\tau_{xz}^2\sigma_{zz}\tau_{xy}^2\sigma_{xx}\tau_{yz}^2)(\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2)\sigma_{m}\\ -s_{v}^3(\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2)(s_{v}\sigma_{m})-(\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{xx}\sigma_{zz}\sigma_{yy}\sigma_{zz})(s_{v}\sigma_{m})\\ \quad6\sigma_{m}^2s_{v}-3\sigma_{m}^2s_{v}\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}3\sigma_{m}^3-\sigma_{m}^32\tau_{xz}\tau_{xy}\tau_{yz}\\ \quad-(\sigma_{yy}\tau_{xz}^2\sigma_{zz}\tau_{xy}^2\sigma_{xx}\tau_{yz}^2)\\ -s_{v}^33\sigma_{m}^2s_{v}2\sigma_{m}^3(\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2-\sigma_{xx}\sigma_{yy}-\sigma_{xx}\sigma_{zz}-\sigma_{yy}\sigma_{zz})(s_{v}\sigma_{m})\\ \quad\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}2\tau_{xz}\tau_{xy}\tau_{yz}-(\sigma_{yy}\tau_{xz}^2\sigma_{zz}\tau_{xy}^2\sigma_{xx}\tau_{yz}^2)\\ -s_{v}^3-\sigma_{m}^33\sigma_{m}^2s_{v}3\sigma_{m}^3I_2(s_{v}\sigma_{m})I_3\\ -(s_{v}\sigma_{m})(s_{v}^2-s_{v}\sigma_{m}\sigma_{m}^2-3\sigma_{m}^2)I_2(s_{v}\sigma_{m})I_3\\ -(s_{v}\sigma_{m})(s_{v}\sigma_{m})(s_{v}-2\sigma_{m})I_2(s_{v}\sigma_{m})I_3\\ -(s_{v}\sigma_{m})^2(s_{v}\sigma_{m}-3\sigma_{m})I_2(s_{v}\sigma_{m})I_3\\ -(s_{v}\sigma_{m})^33\sigma_{m}(s_{v}\sigma_{m})^2I_2(s_{v}\sigma_{m})I_3\\ -(s_{v}\sigma_{m})^3I_1(s_{v}\sigma_{m})^2I_2(s_{v}\sigma_{m})I_30 \end{aligned}\tag{17} −sv3I^1sv2I^2svI^3−sv3I^2svI^3−sv3(sxz2sxy2syz2−sxxsyy−sxxszz−syyszz)svsxxsyyszz2sxzsxysyz−syysxz2−szzsxy2−sxxsyz2−sv3(τxz2τxy2τyz2)sv−[(σxx−σm)(σyy−σm)(σxx−σm)(σzz−σm)(σyy−σm)(σzz−σm)]sv(σxx−σm)(σyy−σm)(σzz−σm)2τxzτxyτyz−(σyy−σm)τxz2−(σzz−σm)τxy2−(σxx−σm)τyz2−sv3(τxz2τxy2τyz2)sv−(σxxσyyσxxσzzσyyσzz)sv(σxxσyyσxxσzzσyyσzz)σmsv−3σm2svσxxσyyσzz−(σxxσyyσxxσzzσyyσzz)σm(σxxσyyσzz)σm2−σm32τxzτxyτyz−(σyyτxz2σzzτxy2σxxτyz2)(τxz2τxy2τyz2)σm−sv3(τxz2τxy2τyz2)(svσm)−(σxxσyyσxxσzzσyyσzz)(svσm)6σm2sv−3σm2svσxxσyyσzz3σm3−σm32τxzτxyτyz−(σyyτxz2σzzτxy2σxxτyz2)−sv33σm2sv2σm3(τxz2τxy2τyz2−σxxσyy−σxxσzz−σyyσzz)(svσm)σxxσyyσzz2τxzτxyτyz−(σyyτxz2σzzτxy2σxxτyz2)−sv3−σm33σm2sv3σm3I2(svσm)I3−(svσm)(sv2−svσmσm2−3σm2)I2(svσm)I3−(svσm)(svσm)(sv−2σm)I2(svσm)I3−(svσm)2(svσm−3σm)I2(svσm)I3−(svσm)33σm(svσm)2I2(svσm)I3−(svσm)3I1(svσm)2I2(svσm)I30(17) 对比公式17和公式10如下所示。 − ( s v σ m ) 3 I 1 ( s v σ m ) 2 I 2 ( s v σ m ) I 3 0 − σ v 3 I 1 σ v 2 I 2 σ v I 3 0 -(s_{v}\sigma_{m})^3I_1(s_{v}\sigma_{m})^2I_2(s_{v}\sigma_{m})I_30\\ -\sigma_{v}^3I_1\sigma_{v}^2I_2\sigma_{v}I_30 −(svσm)3I1(svσm)2I2(svσm)I30−σv3I1σv2I2σvI30 不难发现 s v σ m σ v s_{v}\sigma_{m}\sigma_{v} svσmσv即应力偏张量主值和应力张量主值存在以上转换关系。 同时从公式16的 I ^ 1 \hat I_1 I^1 I ^ 1 s x x s y y s z z 0 \hat I_1s_{xx}s_{yy}s_{zz}0 I^1sxxsyyszz0 那么可以得到 ( s x x s y y s z z ) 2 s x x 2 s y y 2 s z z 2 2 ( s x x s y y s x x s z z s y y s z z ) 0 (18) (s_{xx}s_{yy}s_{zz})^2s_{xx}^2s_{yy}^2s_{zz}^22(s_{xx}s_{yy}s_{xx}s_{zz}s_{yy}s_{zz})0\tag{18} (sxxsyyszz)2sxx2syy2szz22(sxxsyysxxszzsyyszz)0(18) 于是 − 6 ( s x x s y y s x x s z z s y y s z z ) 2 s x x 2 2 s y y 2 2 s z z 2 − 2 ( s x x s y y s x x s z z s y y s z z ) ( s x x − s y y ) 2 ( s x x − s z z ) 2 ( s y y − s z z ) 2 ( σ x x − σ y y ) 2 ( σ x x − σ z z ) 2 ( σ y y − σ z z ) 2 (19) \begin{aligned} -6(s_{xx}s_{yy}s_{xx}s_{zz}s_{yy}s_{zz})2s_{xx}^22s_{yy}^22s_{zz}^2-2(s_{xx}s_{yy}s_{xx}s_{zz}s_{yy}s_{zz})\\ (s_{xx}-s_{yy})^2(s_{xx}-s_{zz})^2(s_{yy}-s_{zz})^2\\ (\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2(\sigma_{xx}-\sigma_{zz})^2(\sigma_{yy}-\sigma_{zz})^2 \end{aligned}\tag{19} −6(sxxsyysxxszzsyyszz)2sxx22syy22szz2−2(sxxsyysxxszzsyyszz)(sxx−syy)2(sxx−szz)2(syy−szz)2(σxx−σyy)2(σxx−σzz)2(σyy−σzz)2(19) 把公式16的 I ^ 2 \hat I_2 I^2那么 − 6 ( s x x s y y s x x s z z s y y s z z ) 6 [ I ^ 2 − ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 ) ] ( σ x x − σ y y ) 2 ( σ x x − σ z z ) 2 ( σ y y − σ z z ) 2 (20) \begin{aligned} -6(s_{xx}s_{yy}s_{xx}s_{zz}s_{yy}s_{zz})6[\hat I_2-(\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2)]\\ (\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2(\sigma_{xx}-\sigma_{zz})^2(\sigma_{yy}-\sigma_{zz})^2 \end{aligned}\tag{20} −6(sxxsyysxxszzsyyszz)6[I^2−(τxz2τxy2τyz2)](σxx−σyy)2(σxx−σzz)2(σyy−σzz)2(20) I ^ 2 1 6 [ ( σ x x − σ y y ) 2 ( σ x x − σ z z ) 2 ( σ y y − σ z z ) 2 6 ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 ) ] (21) \hat I_2\frac{1}{6}[(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2(\sigma_{xx}-\sigma_{zz})^2(\sigma_{yy}-\sigma_{zz})^26(\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2)]\tag{21} I^261[(σxx−σyy)2(σxx−σzz)2(σyy−σzz)26(τxz2τxy2τyz2)](21)
应力偏张量的第二不变量更常用的还有一个形式如下。 I ^ 2 1 6 [ ( σ 1 − σ 2 ) 2 ( σ 1 − σ 3 ) 2 ( σ 2 − σ 3 ) 2 ] (22) \hat I_2\frac{1}{6}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2(\sigma_{1}-\sigma_{3})^2(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2]\tag{22} I^261[(σ1−σ2)2(σ1−σ3)2(σ2−σ3)2](22) 看公式2122是不是特别的眼熟其实他就是等效应力的来源定义应力强度 σ e \sigma_e σe为 σ e 3 I 2 1 2 [ ( σ 1 − σ 2 ) 2 ( σ 1 − σ 3 ) 2 ( σ 2 − σ 3 ) 2 ] 1 2 [ ( σ x x − σ y y ) 2 ( σ x x − σ z z ) 2 ( σ y y − σ z z ) 2 6 ( τ x z 2 τ x y 2 τ y z 2 ) ] (22) \sigma_e\sqrt{3I_2}\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2(\sigma_{1}-\sigma_{3})^2(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2]}\\ \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2(\sigma_{xx}-\sigma_{zz})^2(\sigma_{yy}-\sigma_{zz})^26(\tau_{xz}^2\tau_{xy}^2\tau_{yz}^2)]} \tag{22} σe3I2 21[(σ1−σ2)2(σ1−σ3)2(σ2−σ3)2] 21[(σxx−σyy)2(σxx−σzz)2(σyy−σzz)26(τxz2τxy2τyz2)] (22)
