水利建设相关网站,wordpress安装主题后没内容,wap php网站源码,得到app公司1.雪球的融化
设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例#xff0c;并且在融化过程中它始终为球体。该雪球在开始时的半径为6cm#xff0c;经过2h后#xff0c;其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解 ~~~~~ 设 t t t时刻雪球的体积为 V ( t ) V(t) V(t)并且在融化过程中它始终为球体。该雪球在开始时的半径为6cm经过2h后其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解 ~~~~~ 设 t t t时刻雪球的体积为 V ( t ) V(t) V(t)其表面积为 S ( t ) S(t) S(t)由题设得 d V d t − r V 2 3 , V ( 0 ) 288 π , V ( 2 ) 36 π \frac{dV}{dt}-rV^{\frac{2}{3}},V(0)288\pi,V(2)36\pi dtdV−rV32,V(0)288π,V(2)36π 分离变量积分得方程的通解为 V ( t ) 1 27 ( C − r t ) 3 V(t)\frac{1}{27}(C-rt)^3 V(t)271(C−rt)3 利用条件 V ( 0 ) 288 π V(0)288\pi V(0)288π和 V ( 2 ) 36 π V(2)36\pi V(2)36π确定出常数 C C C和 r r r代入后得雪球的体积随时间变化关系为 V ( t ) π 6 ( 12 − 3 t ) 3 V(t)\frac{\pi}{6}(12-3t)^3 V(t)6π(12−3t)3 注意尽管解的表达式中 t t t的取值可以是任意实数但由于实际问题的要求 t t t的取值是在 [ 0 , 4 ] [0,4] [0,4]内。
2.化学反应问题
设有两种化学物质 A A A和 B B B它们反应后生成另一种物质 C C C。设反应速度与物质 A A A和 B B B当时剩余量之积成正比而且在反应过程中每克物质 B B B需要2g物质 A A A与之反应而生成物质 C C C。已知原有的 A , B A,B A,B物质分别是10g和20g而且在20min内反应生成的物质 C C C为6g求在任意时刻物质 C C C的质量。
解 ~~~~~ 设 x ( t ) x(t) x(t)表示 t t t时刻所生成的物质 C C C的总量则 d x d t \frac{dx}{dt} dtdx 为反应速度。由题意知生成 x g 的物质 为反应速度。由题意知生成xg的物质 为反应速度。由题意知生成xg的物质C 需要 需要 需要\frac{2}{3}x g 的物质 g的物质 g的物质A 和 和 和\frac{1}{3}x g 的物质 g的物质 g的物质B 。此时物质 。此时物质 。此时物质A 和 和 和B$分别剩余 10 − 2 3 x 10-\frac{2}{3}x 10−32x和 20 − 1 3 x 20-\frac{1}{3}x 20−31x于是由题意得 d x d t k ( 10 − 2 3 x ) ( 20 − 1 3 x ) , \frac{dx}{dt}k\bigg(10-\frac{2}{3}x\bigg)\bigg(20-\frac{1}{3}x\bigg), dtdxk(10−32x)(20−31x), x ( 0 ) 0 , x ( 20 ) 6. x(0)0,x(20)6. x(0)0,x(20)6. 为了方便令 r 2 9 k r\frac{2}{9}k r92k将此微分方程改写为 d x d t r ( 15 − x ) ( 60 − x ) \frac{dx}{dt}r(15-x)(60-x) dtdxr(15−x)(60−x) 分离上式变量积分得 ∫ d x ( 15 − x ) ( 60 − x ) ∫ r d t c \int \frac{dx}{(15-x)(60-x)}\int rdtc ∫(15−x)(60−x)dx∫rdtc 1 45 ln 60 − x 15 − x r t c \frac{1}{45}\ln \frac{60-x}{15-x}rtc 451ln15−x60−xrtc 60 − x 15 − x c 1 e 45 r t , c 1 e 45 c . \frac{60-x}{15-x}c_1e^{45rt},c_1e^{45c}. 15−x60−xc1e45rt,c1e45c. 利用初始条件 x ( 0 ) 0 x(0)0 x(0)0得 c 1 4 c_14 c14再利用 x ( 20 ) 6 x(20)6 x(20)6得 r 1 900 ln 3 2 r\frac{1}{900}\ln \frac{3}{2} r9001ln23。将 c 1 c_1 c1和 r r r的值代入上式解出 x x x得 x ( t ) 60 ( 1 − e t 20 ln 3 2 ) 1 − 4 e t 20 ln 3 2 x(t)\frac{60\bigg(1-e^{\frac{t}{20}\ln\frac{3}{2}}\bigg)}{1-4e^{\frac{t}{20}\ln\frac{3}{2}}} x(t)1−4e20tln2360(1−e20tln23) 这就是在此化学反应过程中生成物 C C C的质量随时间变化的规律。
由此表达式可以看出 lim t → ∞ x ( t ) 15 \lim\limits_{t\to\infty}x(t)15 t→∞limx(t)15。
