图书馆门户网站建设的意义,重庆100强企业名单,长沙seo培训班,wordpress企业主题源码一、行列式之前的概念
1.全排列#xff1a; 把n个不同的元素排成一列#xff0c;称为n个元素的全排列#xff0c;简称排列 #xff08;实际上就是我们所说的排列组合#xff0c;符号是A#xff0c;arrange#xff09;
2.标准序列#xff1a; 前一项均小于后一项的序列…一、行列式之前的概念
1.全排列 把n个不同的元素排成一列称为n个元素的全排列简称排列 实际上就是我们所说的排列组合符号是Aarrange
2.标准序列 前一项均小于后一项的序列就是标准序列 比如 13679就是标准序列
3.逆序数 序列中满足前一项大于后一项的数对个数 比如有一个序列{169234} 遍历该序列看每个数之前有几个数比它大加和就是逆序数的值
4.奇偶排列
排列的奇偶性与逆序数的奇偶性相同
5.对换 将序列里任意两个元素交换这个过程叫对换 对换相邻元素的称为“相邻对换”
经过任一次对换排列的奇偶性改变
奇排列变成标准序列的对换次数是奇数偶排列变成标准序列的对换次数是偶数
二、N阶行列式的展开 ∣ a b c d ∣ a d − b c \begin{vmatrix} a b \\ c d \end{vmatrix} ad-bc acbd ad−bc
有n行n列的这样的式子是n阶行列式上图为二阶行列式 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 ) − ( a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 ) ( a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 ) − ( a 12 ∗ a 21 ∗ a 32 ) ( a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 ) − ( a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 ) \begin{vmatrix} a11 a12a13 \\ a21 a22a23\\ a31a32a33 \end{vmatrix} (a11*a22*a33)-(a11*a23*a32)(a12*a23*a31)-(a12*a21*a32)(a13*a21*a32)-(a13*a22*a31) a11a21a31a12a22a32a13a23a33 (a11∗a22∗a33)−(a11∗a23∗a32)(a12∗a23∗a31)−(a12∗a21∗a32)(a13∗a21∗a32)−(a13∗a22∗a31)
而行列式的值应按照以下规则计算 按**序列奇偶性(见上文)**决定符号,并逐行把数字相乘 我们可以把矩阵理解为一个值甚至常数所以它满足我们学过的一切乘法加法性质
三、三角行列式
主对角线左上到右下 上三角行列式的主对角线下方都是0行列式值等于主对角线乘积 注意左下到右上不是主对角线
1.三角行列式
上三角行列式 ∣ 1 2 3 0 1 2 0 0 2 ∣ 1 ∗ 1 ∗ 2 \begin{vmatrix} 1 2 3\\ 0 12\\ 002 \end{vmatrix} 1 * 1 *2 100210322 1∗1∗2 下三角行列式 ∣ 1 0 0 4 1 0 3 1 2 ∣ 1 ∗ 1 ∗ 2 \begin{vmatrix} 1 0 0\\ 4 10\\ 312 \end{vmatrix} 1 * 1 *2 143011002 1∗1∗2 对角行列式 ∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ∣ 1 ∗ 1 ∗ 2 \begin{vmatrix} 1 0 0\\ 0 10\\ 002 \end{vmatrix} 1 * 1 *2 100010002 1∗1∗2
四、行列式的性质
1.转置
对每一列从上到下书写到行上行列式的值不变 D ∣ a b c d e f g h i ∣ D T ∣ a d g b e h c f i ∣ D \begin{vmatrix} a b c\\ d ef\\ ghi \end{vmatrix} D^T \begin{vmatrix} a d g\\ b eh\\ cfi \end{vmatrix} D adgbehcfi DT abcdefghi
2.交换
我们可以交换行列式的任意两行或者两列但是会导致值变为相反数 推论1若行列式D交换一次后仍等于D则D0 推论2若行列式有两行(列)相等则行列式为0交换后D-D ∣ a b c d e f g h i ∣ ( − 1 ) ∗ ∣ a b c g h i d e f ∣ \begin{vmatrix} a b c\\ d ef\\ ghi \end{vmatrix} (-1)* \begin{vmatrix} a b c\\ g hi\\ d ef \end{vmatrix} adgbehcfi (−1)∗ agdbhecif
3.提取
我们可以把任意一个行或者一列的系数提取到行列式之前 推论若两行(列)成比例则行列式为0 ∣ 2 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f g h i ∣ 2 ∗ ∣ 2 a 2 b 2 c d e f g h i ∣ \begin{vmatrix} 2a 2 b 2c\\ 2d 2e2f\\ ghi \end{vmatrix} 2* \begin{vmatrix} 2a 2b 2c\\ d ef\\ ghi \end{vmatrix} 2a2dg2b2eh2c2fi 2∗ 2adg2beh2cfi
4.拆分 ∣ a x b y c z d w ∣ ∣ a b y c d w ∣ ∣ x b y z d w ∣ \begin{vmatrix} a x by\\ c z dw\\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a by\\ c dw\\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x by\\ z dw\\ \end{vmatrix} axczbydw acbydw xzbydw 我们可以把行列式任意行(列)拆分成和的形式然后转换为行列式的和 但是要注意我们每次只能拆分一行(列)多行(列)拆分是错误的 ∣ a x b y c z d w ∣ ∣ a b c d ∣ ∣ x y z w ∣ \cancel{ \begin{vmatrix} a x by\\ c z dw\\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a b\\ c d\\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x y\\ z w\\ \end{vmatrix}} axczbydw acbd xzyw
5.调整
把任意一行(列)乘以k之后可以加到另一行(列)上行列式不变 通常这样得到三角行列式来快捷计算 ∣ a b c d e f g h i ∣ ∣ a b c d k ∗ a e k ∗ b f k ∗ c g h i ∣ ( k 任取 ) \begin{vmatrix} a b c\\ d ef\\ ghi \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a b c\\ dk *a ek*bfk*c\\ ghi \end{vmatrix} (k任取) adgbehcfi adk∗agbek∗bhcfk∗ci (k任取) 例如我们可以轻易把某些行列式调整为三角行列式 ∣ 1 1 2 4 3 1 3 2 2 ∣ ∣ 1 1 2 0 − 1 − 7 0 − 1 − 4 ∣ ∣ 1 1 2 0 − 1 − 7 0 0 3 ∣ 1 ∗ ( − 1 ) ∗ 3 − 3 \begin{vmatrix} 1 1 2\\ 4 31\\ 322 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 1 2\\ 0 -1-7\\ 0-1-4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 1 2\\ 0 -1-7\\ 003 \end{vmatrix} 1*(-1)*3 -3 143132212 1001−1−12−7−4 1001−102−73 1∗(−1)∗3−3
五、行列式的余子式和代数余子式
1.余子式 D ∣ a b c d e f g h i ∣ D \begin{vmatrix} a b c\\ d ef\\ ghi \end{vmatrix} D adgbehcfi M i j 是把 D 划去第 i 行 j 列的 ( n − 1 ) 阶行列式 M_{ij}是把D划去第i行j列的(n-1)阶行列式 Mij是把D划去第i行j列的(n−1)阶行列式 M 22 ∣ a b c d e f g h i ∣ ∣ a c g i ∣ M_{22} \begin{vmatrix} a \cancel{b} c\\ \cancel{d} \cancel{e} \cancel{f} \\ g \cancel{h} i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a c\\ g i\\ \end{vmatrix} M22 ad gb e h cf i agci
2.代数余子式 A i j ( − 1 ) i j M i j A_{ij} (-1)^{ij} M_{ij} Aij(−1)ijMij
3.按行或按列展开 D n a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 . . . a i n A i n D_{n}a_{i1}A_{i1}a_{i2}A_{i2}...a_{in}A_{in} Dnai1Ai1ai2Ai2...ainAin 这是按行展开其实就是对某一行遍历然后划掉当前元素所在行列求代数余子式然后乘当前位置的值按列展开同理。
六、特殊行列式
1.和固定型 D n ∣ a b b . . . b b a b . . . b b b a . . . b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b b b . . . b a ∣ ∣ a n b a n b a n b . . . a n b b a b . . . b b b a . . . b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b b b . . . b a ∣ D_{n} \begin{vmatrix} a b b...b\\ b ab...b\\ bba...b\\ ...............\\ ............b\\ bb...ba\\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} anb anb anb...anb\\ b ab...b\\ bba...b\\ ...............\\ ............b\\ bb...ba\\ \end{vmatrix} Dn abb......bbab......bbba........................bbbb...ba anbbb......banbab......banbba........................banbbb...ba ( a n b ) ∣ 1 1 1 . . . 1 b a b . . . b b b a . . . b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b b b . . . b a ∣ (anb) \begin{vmatrix} 1 1 1...1\\ b ab...b\\ bba...b\\ ...............\\ ............b\\ bb...ba\\ \end{vmatrix} (anb) 1bb......b1ab......b1ba........................b1bb...ba 接下来就可以愉快的用第一行把行列式消成三角了 ( a n b ) ∣ 1 1 1 . . . 1 0 a − b 0 . . . 0 0 0 a − b . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0 a − b ∣ ( a − b ) n − 1 (anb) \begin{vmatrix} 1 1 1...1\\ 0 a-b0...0\\ 00a-b...0\\ ...............\\ ............0\\ 00...0a-b\\ \end{vmatrix} (a-b)^{n-1} (anb) 100......01a−b0......010a−b........................0100...0a−b (a−b)n−1
2.范德蒙德行列式 D n ∣ x 1 0 x 2 0 x 3 0 . . . x n 0 x 1 1 x 2 1 x 3 1 . . . x n 1 x 1 2 x 2 2 x 3 2 . . . x n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x n n − 1 x 1 n x 2 n x 3 n . . . x n n ∣ ∣ 1 1 1 . . . 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 . . . x n 1 x 1 2 x 2 2 x 3 2 . . . x n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x n n − 1 x 1 n x 2 n x 3 n . . . x n n ∣ D_{n} \begin{vmatrix} x_1^0 x_2^0 x_3^0...x_n^0\\ x_1^1 x_2^1 x_3^1...x_n^1\\ x_1^2 x_2^2 x_3^2...x_n^2\\ ...............\\ ............x_n^{n-1}\\ x_1^n x_2^nx_3^n...x_n^n\\ \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 1 1...1\\ x_1^1 x_2^1 x_3^1...x_n^1\\ x_1^2 x_2^2 x_3^2...x_n^2\\ ...............\\ ............x_n^{n-1}\\ x_1^n x_2^nx_3^n...x_n^n\\ \end{vmatrix} Dn x10x11x12......x1nx20x21x22......x2nx30x31x32......x3n..................xn0xn1xn2...xnn−1xnn 1x11x12......x1n1x21x22......x2n1x31x32......x3n..................1xn1xn2...xnn−1xnn
这样的行列式称为“范德蒙德行列式” 一般按照以下规则计算 D n ∏ 1 i j n ( x j − x i ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ( x n − x n − 1 ) ( x n − x n − 2 ) . . . ( x n − x 1 ) ( x n − 1 − x n − 2 ) ( x n − 1 − x n − 3 ) . . . ( x n − 1 − x 1 ) . . . ( x 3 − x 2 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 2 − x 1 ) D_n \prod_{1ijn}{(x_j-x_i)} \\ ----------------------------\\ (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})...(x_n-x_{1})\\(x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n-3})...(x_{n-1}-x_{1})\\ ...\\ (x_{3}-x_{2})(x_{3}-x_{1})\\ (x_{2}-x_{1}) Dn∏1ijn(xj−xi)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(xn−xn−1)(xn−xn−2)...(xn−x1)(xn−1−xn−2)(xn−1−xn−3)...(xn−1−x1)...(x3−x2)(x3−x1)(x2−x1)
证明过程如下
七、克莱姆法则Cramer’s Rule { a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 . . . a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 . . . a 2 n x n b 2 . . . a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n 3 x 3 . . . a n n x n b n \begin{cases} a_{11}x_1 a_{12}x_2a_{13}x_3 ... a_{1n}x_n b_1 \\ a_{21}x_1 a_{22}x_2a_{23}x_3 ... a_{2n}x_n b_2 \\ ...\\ a_{n1}x_1 a_{n2}x_2a_{n3}x_3 ... a_{nn}x_n b_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1a12x2a13x3...a1nxnb1a21x1a22x2a23x3...a2nxnb2...an1x1an2x2an3x3...annxnbn 对于这样一个方程组我们定义一个行列式只存它的系数称为”系数行列式” D n ∣ a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n a 31 a 32 a 33 . . . a 3 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ( n − 1 ) n a n 1 a n 2 . . . a n ( n − 1 ) a n n ∣ D_{n} \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} a_{13}...a_{1n}\\ a_{21} a_{22}a_{23}...a_{2n}\\ a_{31}a_{32}a_{33}...a_{3n}\\ ...............\\ ............a_{(n-1)n}\\ a_{n1}a_{n2}...a_{n(n-1)}a_{nn}\\ \end{vmatrix} Dn a11a21a31......an1a12a22a32......an2a13a23a33........................an(n−1)a1na2na3n...a(n−1)nann
应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
当方程组的系数行列式不等于零时方程组且具有唯一解如果方程组无解或者有两个不同的解方程组的系数行列式等于零克莱姆法则不仅仅适用于实数域它在任何域上面都成立。
克莱姆法则的局限性
方程个数与未知数的个数不同时系数的行列式等于零时克莱姆法则失效。运算量较大求解一个N阶线性方程组要计算N1个N阶行列式
