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给定一个序列a1,a2,…,an#xff0c;如果存在ij并且aiaj#xff0c;那么我们称之为逆序对#xff0c;求逆序对的数目。
注意#xff1a;n105#xff0c;ai105
输入
第一行为n,表示序列长度。
接下来的n行#xff0c;第i1行表示序列中的第i…题目描述
给定一个序列a1,a2,…,an如果存在ij并且aiaj那么我们称之为逆序对求逆序对的数目。
注意n105ai105
输入
第一行为n,表示序列长度。
接下来的n行第i1行表示序列中的第i个数。
输出
所有逆序对总数。
样例输入
4
3
2
3
2
样例输出
3
问题分析
直观方法:
最直接的方法是使用两层循环遍历所有元素对检查是否构成逆序对。但这种方法的时间复杂度为O(n2)对于大数据量来说效率较低。
高效算法:
归并排序提供了一种更有效的方式来计算逆序对。
在归并排序的过程中当一个元素从右半部分移动到左半部分时它与左半部分所有剩余元素构成逆序对。
这样可以在O(nlogn) 的时间复杂度内计算出逆序对的总数。
分治策略:
使用分治方法将序列分成更小的子序列分别计算每个子序列的逆序对然后合并结果。
在合并两个已排序的子序列时可以计算跨越两个子序列的逆序对。
#include bits/stdc.h
#define int long long // 使用长整型
using namespace std;// 定义一个函数 merge用于合并两个子数组并计算逆序对
int merge(vectorint a, int l, int mid, int r) {vectorint temp(r - l 1); // 创建一个临时数组存储合并后的结果int i l, j mid 1, k 0, count 0; // 初始化指针和计数器// 合并两个子数组while (i mid j r) {if (a[i] a[j]) {// 如果左侧元素小于等于右侧元素复制左侧元素temp[k] a[i];} else {// 如果左侧元素大于右侧元素复制右侧元素// 并增加逆序对的数量左侧剩余的元素个数temp[k] a[j];count count (mid - i 1);}}// 复制剩余的左侧元素while (i mid) {temp[k] a[i];}// 复制剩余的右侧元素while (j r) {temp[k] a[j];}// 将合并后的数组复制回原数组for (int i l, k 0; i r; i, k) {a[i] temp[k];}return count; // 返回计数的逆序对数量
}// 定义一个函数 mSmergeSort 的缩写用于递归地分治和合并
int mS(vectorint a, int l, int r) {int count 0; // 初始化逆序对计数器if (l r) {int mid (l r) / 2; // 计算中点// 递归地对左右子数组进行排序并计算逆序对count count mS(a, l, mid);count count mS(a, mid 1, r);// 合并两个子数组并计算逆序对count count merge(a, l, mid, r);}return count; // 返回逆序对总数
}signed main() {int n;cin n; // 读取序列长度vectorint a(n); // 创建序列数组for (int i 0; i n; i) {cin a[i]; // 读取序列元素}int vi mS(a, 0, n - 1); // 调用 mS 函数计算逆序对cout vi endl; // 输出逆序对的数量
}
