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数据分析是在大数据时代下不可获取的一环#xff0c;合理、全面地分析数据#xff0c;能够使得决策者在决策时作出最为明智的决定。在数据分析过程中#xff0c;常常可以使用插值算法来根据已知的数据估算出未知的数据#xff0c;从而模拟产生一些新的值来满…插值算法简介
数据分析是在大数据时代下不可获取的一环合理、全面地分析数据能够使得决策者在决策时作出最为明智的决定。在数据分析过程中常常可以使用插值算法来根据已知的数据估算出未知的数据从而模拟产生一些新的值来满足要求。
一维插值
在许多插值问题中我们常常研究的是一维插值 设函数 yf(x)yf(x)yf(x) 在区间 [a,b][a, b][a,b] 上有定义且已知在点 a≤x0x1⋯xn≤ba \leq x_0 x_1 \cdots x_n \leq ba≤x0x1⋯xn≤b 上的值分别为y0,y1,⋯,yn,y_0, y_1, \cdots, y_n,y0,y1,⋯,yn, 若存在一简单函数P(x)P(x)P(x)使 P(xi)yi(i0,1,2,⋯,xn)P(x_i) y_i (i 0, 1, 2, \cdots, x_n)P(xi)yi(i0,1,2,⋯,xn)则称 P(x)P(x)P(x) 为f(x)f(x)f(x) 的插值函数点 x0,x1,⋯,xnx_0, x_1, \cdots, x_nx0,x1,⋯,xn 称为插值节点包含插值节点的区间 [a,b][a, b][a,b] 称为插值区间求插值函数 P(x)P(x)P(x) 的方法称为插值法。
主要插值法
若 P(x)P(x)P(x) 是次数不超过 nnn 的代数多项式即P(x)a0a1x⋯anxnP(x)a_0a_1x\cdotsa_nx^nP(x)a0a1x⋯anxn分段插值即一段一段的进行插值得到的插值函数比较复杂但是准确度较高。三角插值主要会使用傅里叶变换。
插值算法 拉格朗日插值法 ∙\bullet∙ 两个点(x0,y0)(x1,y1)(x_0, y_0)(x_1, y_1)(x0,y0)(x1,y1) 可以设出插值函数为f(x)x−x0x0−x1y0x−x0x1−x0y1f(x)\frac{x-x_0}{x_0-x_1}y_0 \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1f(x)x0−x1x−x0y0x1−x0x−x0y1 ∙\bullet∙ 三个点(x0,y0)(x1,y1)(x2,y2)(x_0, y_0)(x_1, y_1)(x_2, y_2)(x0,y0)(x1,y1)(x2,y2) 可以设出插值函数为f(x)(x−x1)(x−x2)(x0−x1)(x0−x2)y0(x−x0)(x−x2)(x1−x0)(x1−x2)y1(x−x0)(x−x1)(x2−x0)(x2−x1)y2f(x) \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}y_0 \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}y_1 \\ \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}y_2f(x)(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)(x−x2)y0(x1−x0)(x1−x2)(x−x0)(x−x2)y1(x2−x0)(x2−x1)(x−x0)(x−x1)y2 以此类推可以得出4个、5个……点的拉格朗日插值函数。 然而拉格朗日插值法在平常的插值问题分析中并不常用原因是会产生龙格现象即多项式的次数越高函数两端的波动便会越大越不准确。 分段线性以及分段二次插值 顾名思义就是将函数分为一段一段的每一段都是用线性函数或者二次函数来进行估计。 牛顿插值 f(x)f(x0)f[x0,x1](x−x0)f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)⋯f[x0,x1,⋯,xn−2,xn−1](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−3)(x−xn−2)f[x0,x1,⋯,xn−1,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−2)(x−xn−1)\begin{aligned}f(x) f(x_0) f[x_0, x_1](x-x_0) \\ f[x_0, x_1, x_2](x-x_0)(x-x_1) \cdots \\ f[x_0, x_1, \cdots, x_{n-2}, x_{n-1}](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-3})(x-x_{n-2}) \\ f[x_0, x_1, \cdots, x_{n-1}, x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-2})(x-x_{n-1}) \end{aligned}f(x)f(x0)f[x0,x1](x−x0)f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)⋯f[x0,x1,⋯,xn−2,xn−1](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−3)(x−xn−2)f[x0,x1,⋯,xn−1,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−2)(x−xn−1) 其中 f[x0,x1]f[x_0, x_1]f[x0,x1] 是指 f(x)f(x)f(x) 关于点 x0,x1x_0, x_1x0,x1 的差商。 一阶差商f[x0,xk]f(xk)−f(x0)xk−x0f[x_0, x_k] \frac{f(x_k)-f(x_0)}{x_k-x_0}f[x0,xk]xk−x0f(xk)−f(x0) 二阶差商f[x0,x1,x2]f[x1,x2]−f[x0,x1]x2−x0f[x_0, x_1, x_2] \frac{f[x_1, x_2]-f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}f[x0,x1,x2]x2−x0f[x1,x2]−f[x0,x1] ⋯\cdots⋯ k阶差商f[x0,x1,⋯,xk]f[x1,⋯,xk−1,xk]−f[x0,x1,⋯,xk−1]xk−x0f[x_0, x_1, \cdots, x_k] \frac{f[x_1, \cdots, x_{k-1}, x_{k}]-f[x_0, x_1, \cdots, x_{k-1}]}{x_k-x_0}f[x0,x1,⋯,xk]xk−x0f[x1,⋯,xk−1,xk]−f[x0,x1,⋯,xk−1] 但是牛顿插值法也会存在龙格现象的问题。 最为常用的两种插值方法三次埃尔米特插值以及三次样条插值 4.1 三次埃尔米特插值 ∙\bullet∙ 埃尔米特插值原理 设函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a, b][a,b]上有 n 1 个互异节点 ax0x1x2⋯xnbax_0 x_1 x_2 \cdots x_nbax0x1x2⋯xnb定义在[a,b][a, b][a,b]上函数f(x)f(x)f(x)在节点上满足 f(xi)yi,f′(xi)yi′(i0,1,2,⋯,n)(2n2个条件)f(x_i)y_i, f(x_i)y_i(i0, 1, 2, \cdots, n)(2n2\text{个条件})f(xi)yi,f′(xi)yi′(i0,1,2,⋯,n)(2n2个条件) 可唯一确定一个次数不超过2n12n12n1的多项式H2n1(x)H(x)H_{2n1}(x)H(x)H2n1(x)H(x)满足 H(xj)yj,H′(xj)mj(j0,1,⋯,n)H(x_j)y_j, H(x_j)m_j(j0, 1, \cdots, n)H(xj)yj,H′(xj)mj(j0,1,⋯,n)其余项为R(x)f(x)−H(x)f2n2(ξ)(2n2)!ω2n2(x)R(x)f(x)-H(x)\frac{f^{2n2}(\xi)}{(2n2)!}\omega_{2n2}(x)R(x)f(x)−H(x)(2n2)!f2n2(ξ)ω2n2(x) 三次埃尔米特插值可在 MatlabMatlabMatlab 中调用 phipphipphip 函数进行直接求取详见后面的例题。 4.2 三次样条插值 ∙\bullet∙ 三次样条插值条件 设 yf(x)yf(x)yf(x) 在点 x0,x1,⋯,xnx_0, x_1, \cdots, x_nx0,x1,⋯,xn 的值为 y0,y1,⋯,yny_0, y_1, \cdots, y_ny0,y1,⋯,yn若函数 S(x)S(x)S(x) 满足下列条件 △\triangle△ S(xi)f(xi)yi,i0,1,2,⋯,nS(x_i) f(x_i) y_i, i 0, 1, 2,\cdots,nS(xi)f(xi)yi,i0,1,2,⋯,n △\triangle△ 在每个子区间 [xix_ixi,xi1x_{i1}xi1](i0,1,2,⋯,n−1i0,1,2,\cdots,n-1i0,1,2,⋯,n−1)上S(x)S(x)S(x)是三次多项式 △\triangle△ S(x)S(x)S(x)在[a,b]上二阶连续可微则称S(x)S(x)S(x)为函数f(x)f(x)f(x)的三次样条插值函数 同样三次样条插值也可在 MatlabMatlabMatlab 中调用 splinesplinespline 函数进行直接求取详见后面的例题。
例题淡水养殖中池塘水体质量的评估 原始数据 三次埃尔米特插值 MatlabMatlabMatlab代码为 [n,m]size(Pool_1);x1:2:15;new_x1:15;res_2zeros(n,size(new_x,2));%pchip埃尔米特数据处理结果 可以看到原始数据只有15周内奇数周的数据经过插值过后获得了完整的15周池塘水体质量的数据。 三次样条插值 MatlabMatlabMatlab代码为
[n,m]size(Pool_1);
x1:2:15;
new_x1:15;
res_1zeros(n,size(new_x,2));%spline 得到的y数据处理结果为 同样也获得了15周内完整的池塘水体质量数据。
注意这样的插值方法还可以对未来进行短期的预测。方法不同预测结果同样会有些差异。
如果想要深入了解插值算法推荐 刘春凤教授中国大学MOOC数值计算方法 这本书。
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