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下面我们来看几道典型例题。
1质数Prime number又称素数指在大于1的自然数中除了1和该数自身外无法被其他自然数整除的数也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数。给定任意一个大于100的自然数n例如n135389请判断n是否为质数。
思路我们可以遍历从2到n-1的所有整数检查它们是否能够整除n。如果找到任何一个能够整除n的整数那么n就不是质数否则n就是质数。
n 135389; %要判断的数n
is_prime true; % 初始化标志变量is_prime为true此时代表n是质数
for ii 2:n-1 % 思考如何缩小循环遍历的范围来提高代码运行的效率留作本章课后习题% 检查ii是否能够整除nif mod(n, ii) 0% 如果能整除则n不是质数将标志变量is_prime重新赋值为falseis_prime false;break; % 跳出循环end
end
disp(is_prime)
2一副扑克牌有54张牌桃杏梅方四种花色的A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K加双王假设三名玩家玩斗地主其中地主有20张牌两个农民各17张牌。若你是其中一名玩家且你每次都选择当农民。请编程模拟以下场景先玩第一把若这把手上有炸弹则这把玩完后下场换其他人玩若手上没有炸弹则继续玩第二把直到玩到第k把时手上有炸弹此时玩完这一把后下场换其他人玩。请输出你模拟的k。注意假设每把牌都洗的足够的混乱确保为无序有炸弹是指手上有双王或者有四张相同的牌例如4张3。这里的k表示你作为农民首次出现炸弹的轮数由于发牌过程是随机的那么k肯定也是一个随机的变量即每次模拟的k可能都不相同。比如运气好可能第一把就出现了炸弹此时k等于1运气不好可能需要好多把才会出现炸弹此时k较大。 思路由于循环的次数不定因此我们可以使用while循环来不断模拟游戏的进行直到满足退出的条件。在每一轮中我们作为农民会随机抽取17张牌并检查是否有双王或者普通的炸弹。如果有任何一种炸弹就会退出循环否则会增加游戏的轮数继续下一轮。最后我们可以输出模拟的k值表示玩到第k把时手上有炸弹。
% 用1至13分别代替A 2 3 ... J Q K, 重复4次表示四种花色用14和15分别代表大小王
poke [repmat(1:13,1,4),14,15]; % 生成一副扑克牌
k 1; % 玩了多少把游戏
while 1% 从1:54中随机抽取17个数表示17张牌对应的下标idx randperm(54,17); % randperm函数的用法:《第3章课后习题讲解中拓展的函数》% 发牌并排序排序后牌面看起来更清楚一点事实上不排序也不影响下面的代码p sort(poke(idx));% 检查是否有大小王v1 all(ismember([14,15],p)); % v1为true表示有双王为false表示没有双王% 检查是否有普通的炸弹v2 false; % v2表示是否有普通的炸弹先假设没有因此初始化为falsefor ii 1:13if sum(p ii) 4 % 如果有四张一样的牌v2 true; % % 将v2赋值为ture表示有普通的炸弹break % 只要有一个普通的炸弹就可以退出for循环了endendif v1 || v2 % 如果有王炸或者普通炸弹就可以退出while循环break % 跳出while循环elsek k 1; % 没有炸弹就再玩一把end
end
disp(k) % 输出首次出现炸弹时玩的轮数
在本题中既用到了while循环又用到了for循环且出现了两个不同用途的break大家课后一定要认真消化并尝试自己求解这个例题当然判断是否存在普通的炸可以不用循环语句我们在第三章的课后习题中有讲解详情请看第三章课后习题挑战篇的Q5。
MATLAB课程第3章课后习题讲解——数学建模清风老师_哔哩哔哩_bilibili
另外本题还能继续扩展下去例如重复上面的模拟过程N次N可以设置得大一点例如N等于10万得到这N次模拟结果的k并计算这N次k的平均值这个平均值就能表示你作为农民首次出现炸弹所需的期望轮数。这个拓展的问题将留作本章最后的课后习题我们下一道题也会介绍类似的思想。 3一只失明的小猫掉进山洞里山洞有三个门其中进入第一个门后走2h后可以回到地面进入第二个门后走4h会回到原始的出发点进入第三个门后走6h还是回到原始的出发点。假设小猫每次都随机地选择这三个门中的一个进入求小猫走出山洞的期望时间
思路在上一章的课后习题中我们见到过类似的题目当时我们介绍过蒙特卡罗模拟这种方法蒙特卡罗模拟将所求解的问题同一定的概率模型相联系用计算机实现统计模拟或抽样来获得问题的近似解。我们可以模拟这个过程N次N一般要设置的大一点例如让N等于10万每次模拟中我们都让一只猫走出山洞并记录下这只猫所需的时间。接下来我们只需要对这N次模拟结果得到的时间计算平均值就能估计小猫走出山洞的期望时间。
N 100000; % 设置模拟的次数
T zeros(N,1); % T用来存储每次模拟得到的时间
for ii 1:N % 开始进行 N 次模拟t 0; % 初始化时间while 1 % 开始模拟小猫走出山洞的过程choose randi(3); % 随机选择第几个门if choose 1 % 选择第1个门t t 2; % 走2小时回到地面break % 小猫成功走出山洞结束模拟elseif choose 2 % 选择第2个门t t 4; % 走4小时回到原始出发点else % 选择第3个门t t 6; % 走6小时回到原始出发点endendT(ii) t; % 记录每次模拟得到的时间
end
mean(T) % 计算所有模拟结果的平均值即小猫走出山洞的期望时间的估计
