网站如何推广营销,php用户管理系统源码,wordpress 数字格式,南京外贸网站建设Floating Point 浮点数 文章目录 Floating Point 浮点数分数二进制示例能代表的数浮点数的表示方式浮点数编码规格化值规格化值编码示例 非规格化的值特殊值 示例IEEE 编码的一些特殊属性四舍五入#xff0c;相加#xff0c;相乘四舍五入四舍五入的模式二进制数的四舍五入 浮…Floating Point 浮点数 文章目录 Floating Point 浮点数分数二进制示例能代表的数浮点数的表示方式浮点数编码规格化值规格化值编码示例 非规格化的值特殊值 示例IEEE 编码的一些特殊属性四舍五入相加相乘四舍五入四舍五入的模式二进制数的四舍五入 浮点数乘积浮点数加法浮点数的一些数学性质浮点数在C中类型转换的比较 《深入理解计算机系统》书籍学习笔记 浮点主要通过移动二进制小数点来表示尽可能大的取值范围兼顾尽可能高的精度同时还要受到位数有限的限制。 分数二进制示例
值 二进制表示 十进制
5 3/4 101.11 2^2 2^0 1/2^1 1/2^2
2 7/8 10.111 2^1 1/2^1 1/2^2 1/2^3
1 7/16 1.0111 2^0 1/2^2 1/2^3 1/2^4分数除以2就是小数点二进制右移1位。乘以2 就是小数点左移1位数字0.111111111… 小于 1无限接近于1 1/2 1/4 1/8 … 1/2^i … - 1.0记为 1.0 - ε
能代表的数 只能精确地表示x/2k形式的数字 其他有理数有重复的位表示
值 二进制表达 十进制
1/3 0.01010101010101[01]... 1/2^2 1/2^4 1/2^6 1/2^8 ...
1/5 0.001100110011[0011]... 1/2^3 1/2^4 1/2^7 1/2^8 ...
1/10 0.0001100110011[0011]... 1/2^4 1/2^5 1/2^8 1/2^9 ...浮点数的表示方式
同一标准
(–1)^s*M*2^E看着是不是像二进制科学计数法。
符号位s: 决定了数是正数还是负数显著值Mmantissa小数部分 通常是在[1.0,2.0]范围内的分数值。指数Eexponent 以2的幂表示值的权重
浮点数编码 s 符号位exp 字段编码E但是不等于Efrac 字段编码M 但是不等于M
不同精度 单精度32 位(bits) 字段所占位数 s:exp:frac - 1:8:23 双精度: 64 位(bits) 字段所占位数 s:exp:frac - 1:11:52
规格化值
当exp ! 000…0 , 并且exp ! 111…1
指数编码有一个偏置值E Exp - Bias Exp : exp字段无符号值 Bias 2^(k-1) -1 k 表示指数的位数 取值范围 单精度k8, Bias 2^(8-1) - 1 127 (1 Exp 254, -126 E 127) 双精度 k11Bias 2^(11-1) - 1 1023 (1 Exp 2046, -1022 E 1023) 用隐含前导编码的有效数 1: M 1.xxxxxx 二进制 xxxxx: 表示frac 字段编码 最小值frac 000…0(M1.0) 最大值frac 111…1(M2.0-ε)
注意 M 是固定前面有一个1所以最小值才是1开始。
规格化值编码示例 值 Float F 15213.0 15213 十进制 11101101101101 二进制 1.1101101101101 * 2^13 科学计数法 有效数 M小数 1.1101101101101 二进制 frac小数部分编码 1101101101101 0000000000 二进制 指数 E 13 Bias 127 Exp 140 10001100 二进制 结果
非规格化的值
非规格化条件exp 000…0
指数值E 1 - Bias(注意不是E 0 - Bias) 以隐含前导0编码的有效数M 0.xxx…x
案例
exp 000…0, frac 000…0 代表0值exp 000…0, frac ! 000…0 最接近0.0的数字。 平均间隔。
特殊值
特殊值条件exp 111…1
案例 exp 111…1, frac 000…0 代表无穷大。 操作溢出。 例如正无穷大1.0/0.0 -1.0/-0.0 负无穷大1.0/-0.0 exp 111…1, frac ! 000…0 Not-a-Number(NaN) 表示无法确定数值时的情况。 例如sqrt(-1), 无穷大*0
示例
我们用简单的8位浮点数表示法来理解浮点数。
s: 1位符号位 exp: 4位指数位, 偏置位bias2^(4-1)-17 frac: 3位小数位
s exp frac E Value 计算 备注
0 0000 000 -6 0 (-1)^0 * 0 * 2^(-6)
0 0000 001 -6 1/8*1/64 1/512 (-1)^0 * 2^(-3) * 2^(-6) // 最接近0值
0 0000 010 -6 2/8*1/64 2/512 (-1)^0 * 2^(-2) * 2^(-6)
…
0 0000 110 -6 6/8*1/64 6/512 (-1)^0 * 2^(-1)*2^(-2) * 2^(-6)
0 0000 111 -6 7/8*1/64 7/512 (-1)^0 * 2^(-1)*2^(-2)* 2^(-3) * 2^(-6) // 最大的非规格化值
0 0001 000 -6 8/8*1/64 8/512 (-1)^0 * 1 * 2^(-6) // 最小的规格化值
0 0001 001 -6 9/8*1/64 9/512 (-1)^0 * 1 2^(-3) * 2^(-6)
…
0 0110 110 -1 14/8*1/2 14/16 (-1)^0 * (1 2^(-1)*2^(-2)) * 2^(-1)
0 0110 111 -1 15/8*1/2 15/16 (-1)^0 * (1 2^(-1)*2^(-2)* 2^(-3)) * 2^(-1) // 最接近1的小于1的数
0 0111 000 0 8/8*1 1 (-1)^0 * 1 * 2^0
0 0111 001 0 9/8*1 9/8 (-1)^0 * (1 2^(-3)) * 2^0 // 最接近1的大于1的数
0 0111 010 0 10/8*1 10/8 (-1)^0 * (1 2^(-2)) * 2^0
…
0 1110 110 7 14/8*128 224 (-1)^0 * (1 2^(-1)*2^(-2)) * 2^7
0 1110 111 7 15/8*128 240 (-1)^0 * (1 2^(-1)*2^(-2)* 2^(-3)) * 2^7 // 最大的规格化数
0 1111 000 7 inf 值的计算公式v (–1)^s * M * 2^E 规格化数: E Exp – Bias 非规格化数: E 1 – Bias
IEEE 编码的一些特殊属性 浮点数FP的0值和整型0值一样 所有的位都是0 除了非数字(NaN)之外你可以比较任何浮点数。 当作无符号数来比较。
四舍五入相加相乘
四舍五入
基本思想
先计算得到一个准确的值然后根据你期望的精度进行处理 如果指数太大的化可能会溢出可能需要四舍五入来满足小数位数(frac)
四舍五入的模式 $1.40 $1.60 $1.50 $2.50 –$1.50
向0舍入 $1 $1 $1 $2 –$1
向下舍入 $1 $1 $1 $2 –$2
向上舍入 $2 $2 $2 $3 –$1
向偶数舍入 $1 $2 $2 $2 –$2向0舍入向0的方向舍去小数。 向下舍入类似向下取整 向上舍入类似向上取整 向偶数舍入在四舍五入的基础上考虑向偶数靠近主要是在中位数时的处理方式和四舍五入不同。
二进制数的四舍五入
奇数是10是偶数。 二进制中间数100…十进制中间数是500…
精度时小数后两位
Value Binary Rounded Action Rounded Value
2 3/32 10.000112 10.002 (1/2—down) 2
2 3/16 10.001102 10.012 (1/2—up) 2 1/4
2 7/8 10.111002 11.002 ( 1/2—up) 3
2 5/8 10.101002 10.102 ( 1/2—down) 2 1/2浮点数乘积
相乘((–1)^s1 * M1 * 2^E1) x ((–1)^s2 * M2 * 2^E2) 准确值: (–1)^s * M * 2^E 符号位 s: s1 ^ s2 有效位 M: M1 x M2 指数位 E: E1 E2
修正
如果 M 2, M 右移增加E如果E 超出范围溢出四舍五入 M 来符合精度要求。
浮点数加法
相加((–1)^s1 * M1 * 2^E1) ((–1)^s2 * M2 * 2^E2) 假设E1 E2
准确值: (–1)^s * M * 2^E 符号位 s, 有效位 M 对齐相加 指数位E: E1
修正
如果 M 2, 右移M 增加E。小数点右移如果 M 1, 左移 M 的 k 个位置 减少 E 的 k。小数点左移如果E超出范围溢出将 M 适应小数frac精度
浮点数的一些数学性质
浮点数加法的数学性质
与阿贝尔群的比较 加法封闭: 满足 但是可能产生 无穷大和NaN 结合律满足交换律不满足 进行四舍五入时可能溢出和不精确(3.141e10)-1e10 0, 3.14(1e10-1e10) 3.14每个元素都有可加逆几乎满足 除了无穷大和NaN 单调性 a ≥ b ⇒ ac ≥ bc 几乎满足 除了无穷大和NaN
浮点数乘法的数学性质和加法是类似的。
浮点数在C中
无符号和有符号的转换从未改变过位的表示位上的实际值只是改变了某些位的解释方式。
整数单精度浮点数双进度浮点数的转换位的表示发生了变化(实际值改变了)会对位的值产生实际影响。
double/float - int 截取小数部分就像向0舍入 int - double 精确的转换只要int32 53 位大小。int - float 将会进行四舍五入操作。
类型转换的比较
三个不同类型的变量
int x …;
float f …;
double d …;一些特性的比较
* x (int)(float) x // false
• x (int)(double) x // true
• f (float)(double) f // true
• d (double)(float) d // false
• f -(-f); // true
• 2/3 2/3.0 // false. 2/30 整数, 2/3.0 是浮点数。
• d 0.0 ⇒ ((d*2) 0.0) // true, 浮点数即使溢出也是负无穷大数
• d f ⇒ -f -d // true, 单调性
• d * d 0.0 // true
• (df)-d f // false, 不满足结合律《深入理解计算机系统》书籍学习笔记
《深入理解计算机系统》学习笔记 - 第一课 - 课程简介 《深入理解计算机系统》学习笔记 - 第二课 - 位字节和整型 《深入理解计算机系统》学习笔记 - 第三课 - 位字节和整型 《深入理解计算机系统》学习笔记 - 第四课 - 浮点数
