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GramSchmidt
设存在 B { x 1 , x 2 , … , x n } \mathcal{B}\left\{\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\ldots,\mathbf{x}_{n}\right\} B{x1,x2,…,xn}在施密特正交化过程中 q 1 x 1 ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ q_1\frac{x_1}{||x_1||} q1∣∣x1∣∣x1 q k …矩阵的QR分解
GramSchmidt
设存在 B { x 1 , x 2 , … , x n } \mathcal{B}\left\{\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\ldots,\mathbf{x}_{n}\right\} B{x1,x2,…,xn}在施密特正交化过程中 q 1 x 1 ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ q_1\frac{x_1}{||x_1||} q1∣∣x1∣∣x1 q k x k − ∑ i 1 k − 1 q i , x k u i ∣ ∣ x k − ∑ i 1 k − 1 q i , x k u i ∣ ∣ q_k\frac{x_k-\sum_{i1}^{k-1}\left q_i,x_k\rightu_i}{||x_k-\sum_{i1}^{k-1}\left q_i,x_k\rightu_i||} qk∣∣xk−∑i1k−1⟨qi,xk⟩ui∣∣xk−∑i1k−1⟨qi,xk⟩ui
对于任意一个矩阵 A m × n { a 1 ∣ a 2 ∣ … ∣ a n } A_{m\times n}\{a_1|a_2|\dots|a_n\} Am×n{a1∣a2∣…∣an}其行向量线性无关则存在 A Q R AQR AQR其 Q m × n { q 1 ∣ q 2 ∣ … ∣ q n } Q_{m\times n}\{q_1|q_2|\dots|q_n\} Qm×n{q1∣q2∣…∣qn}矩阵是 R ( A ) R(A) R(A)的一组正交基 R m × m R_{m\times m} Rm×m是一个上三角矩阵则 R ( ν 1 q 1 ∗ a 2 q 1 ∗ a 3 ⋯ q 1 ∗ a n 0 ν 2 q 2 ∗ a 3 ⋯ q 2 ∗ a n 0 0 ν 3 ⋯ q 3 ∗ a n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ ν n ) \mathbf{R}\begin{pmatrix}\nu_1\mathbf{q}_1^*\mathbf{a}_2\mathbf{q}_1^*\mathbf{a}_3\cdots\mathbf{q}_1^*\mathbf{a}_n\\0\nu_2\mathbf{q}_2^*\mathbf{a}_3\cdots\mathbf{q}_2^*\mathbf{a}_n\\00\nu_3\cdots\mathbf{q}_3^*\mathbf{a}_n\\\vdots\vdots\vdots\ddots\vdots\\000\cdots\nu_n\end{pmatrix} R ν100⋮0q1∗a2ν20⋮0q1∗a3q2∗a3ν3⋮0⋯⋯⋯⋱⋯q1∗anq2∗anq3∗an⋮νn 其中 v 1 ∣ ∣ a 1 ∣ ∣ , v k ∣ ∣ a k − ∑ i 1 k − 1 q i , a k q i ∣ ∣ for k1 v_1||a_1||,v_k||a_k-\sum_{i1}^{k-1}q_i,a_kq_i|| \quad\text{for k1} v1∣∣a1∣∣,vk∣∣ak−∑i1k−1qi,akqi∣∣for k1 Householder
酉矩阵一个复数矩阵 U n × n U_{n\times n} Un×n它的行或列构成一个 C n C^n Cn的正交基其中 U ∗ U I ∣ ∣ U x ∣ ∣ 2 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 U^*UI||Ux||_2||x||_2 U∗UI∣∣Ux∣∣2∣∣x∣∣2
对于非0向量 U ∈ C n × 1 U \in C^{n\times 1} U∈Cn×1 则 U U U的正交投影是 P u U U ∗ U ∗ U P_u\frac{UU^*}{U^*U} PuU∗UUU∗其垂直方向的投影是 P u ⊥ I − U U ∗ U ∗ U P_{u\perp}I-\frac{UU^*}{U^*U} Pu⊥I−U∗UUU∗
初等反射 householder 变换
其中对于 u ⊥ u^{\perp} u⊥ 的初等反射为 R I − 2 U U ∗ U ∗ U RI-2\frac{UU^*}{U^*U} RI−2U∗UUU∗
对于矩阵 A m × n [ A ∗ 1 ∣ A ∗ 2 ∣ ⋯ ∣ A ∗ n ] \mathbf{A}_{m\times n}[\mathbf{A}_{*1}|\mathbf{A}_{*2}|\cdots|\mathbf{A}_{*n}] Am×n[A∗1∣A∗2∣⋯∣A∗n]
构建基本反射 R I − 2 U U ∗ U ∗ U RI-2\frac{UU^*}{U^*U} RI−2U∗UUU∗其中 u A ∗ 1 ± μ ∣ ∣ A ∗ 1 ∣ ∣ e 1 , μ { 1 if x 1 is real , x 1 / ∣ x 1 ∣ if x 1 is not real , uA_{*1}\pm\mu||A_{*1}||e_1,\quad\left.\mu\left\{\begin{matrix}1\text{if }x_1\text{ is real},\\x_1/|x_1|\text{if }x_1\text{ is not real},\end{matrix}\right.\right. uA∗1±μ∣∣A∗1∣∣e1,μ{1x1/∣x1∣if x1 is real,if x1 is not real,
根据householder变换可得 R 1 A ∗ 1 ∓ μ ∥ A ∗ 1 ∥ e 1 ( t 11 , 0 , ⋯ , 0 ) T \mathbf{R}_1\mathbf{A}_{*1}\mp\mu\|\mathbf{A}_{*1}\|\mathbf{e}_1(t_{11},0,\cdots,0)^T R1A∗1∓μ∥A∗1∥e1(t11,0,⋯,0)T
所以 R 1 A [ R 1 A ∗ 1 ∣ R 1 A ∗ 2 ∣ ⋯ ∣ R 1 A ∗ n ] ( t 11 t 1 T 0 A 2 ) \left.\mathbf{R}_1\mathbf{A}[\mathbf{R}_1\mathbf{A}_{*1}|\mathbf{R}_1\mathbf{A}_{*2}|\cdots|\mathbf{R}_1\mathbf{A}_{*n}]\left(\begin{array}{cc}t_{11}\mathbf{t}_1^T\\\mathbf{0}\mathbf{A}_2\end{array}\right.\right) R1A[R1A∗1∣R1A∗2∣⋯∣R1A∗n](t110t1TA2)其中 A 2 A_2 A2 是一个 ( m − 1 × n − 1 ) (m-1\times n-1) (m−1×n−1)的矩阵
若同时对 A 2 A_2 A2矩阵进行操作可以得到一个上三角矩阵 ( m n ) (mn) (mn)即 P A T PAT PAT其中 P P P矩阵为elementary reflector矩阵的乘积 T T T矩阵为上梯形 Givens 旋转 对于正交矩阵 P P P形式如上表示在平面 ( i , j ) (i,j) (i,j)上旋转其中 s 2 c 2 1 s^2c^21 s2c21
对于向量 X { x 1 , x 2 … , x n } T X\{x_1,x_2\dots,x_n\}^T X{x1,x2…,xn}T P i j X { x 1 , x 2 , … , c x i s x j , … , − s x i c x j , … , x n } T P_{ij}X\{x_1,x_2,\dots,cx_isx_j,\dots,-sx_icx_j,\dots,x_n\}^T PijX{x1,x2,…,cxisxj,…,−sxicxj,…,xn}T易知旋转矩阵乘某一个向量其只有在该旋转平面上的值发生改变若存在 c x i x i 2 x j 2 , s x j x i 2 x j 2 c\frac{x_i}{\sqrt{x_i^2x_j^2}},s\frac{x_j}{\sqrt{x_i^2x_j^2}} cxi2xj2 xi,sxi2xj2 xj 则 P i j X { x 1 , x 2 , … , x i 2 x j 2 , … , 0 , … , x n } T P_{ij}X\{x_1,x_2,\dots,\sqrt{x_i^2x_j^2},\dots,0,\dots,x_n\}^T PijX{x1,x2,…,xi2xj2 ,…,0,…,xn}T
由此可以实现消去向量的第j个值即存在 P 12 x ( x 1 2 x 2 2 0 x 3 x 4 ⋮ x n ) , P 13 P 12 x ( x 1 2 x 2 2 x 3 2 0 x 4 ⋮ x n ) , … , P 1 n ⋯ P 13 P 12 x ( ∥ x ∥ 0 0 ⋮ 0 ) . \mathbf P_{12}\mathbf x\begin{pmatrix}\sqrt{x_1^2x_2^2}\\0\\x_3\\x_4\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},~\mathbf P_{13}\mathbf P_{12}\mathbf x\begin{pmatrix}\sqrt{x_1^2x_2^2x_3^2}\\0\\x_4\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},~\ldots,~\mathbf P_{1n}\cdots\mathbf P_{13}\mathbf P_{12}\mathbf x\begin{pmatrix}\|\mathbf x\|\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}. P12x x12x22 0x3x4⋮xn , P13P12x x12x22x32 0x4⋮xn , …, P1n⋯P13P12x ∥x∥00⋮0 . 若 A A A矩阵是非奇异矩阵则可以利用householder、givens以及Gram-schmidt来产生一个正交矩阵 Q Q Q以及一个上三角矩阵 R R R其对角线上全为正数可以得到形如 A Q R AQR AQR的形式
