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309.最佳买卖股票时机含冷冻期
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题目#xff1a;给定一个整数数组#xff0c;其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下#xff0c;你可以尽可能地完成更多的交易#xff08;多…刷题
309.最佳买卖股票时机含冷冻期
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题目给定一个整数数组其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下你可以尽可能地完成更多的交易多次买卖一支股票: 你不能同时参与多笔交易你必须在再次购买前出售掉之前的股票。 卖出股票后你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例: 输入: [1,2,3,0,2] 输出: 3 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
思路及实现
动规五部曲分析如下
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i] [j]第i天状态为j所剩的最多现金为dp[i] [j]。
其实本题很多同学搞的比较懵是因为出现冷冻期之后状态其实是比较复杂度例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期都是不能操作股票的。
具体可以区分出如下四个状态 状态一持有股票状态今天买入股票或者是之前就买入了股票然后没有操作一直持有 不持有股票状态这里就有两种卖出股票状态 状态二保持卖出股票的状态两天前就卖出了股票度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态一直没操作 状态三今天卖出股票 状态四今天为冷冻期状态但冷冻期状态不可持续只有一天 j的状态为 0状态一 1状态二 2状态三 3状态四
很多题解为什么讲的比较模糊是因为把这四个状态合并成三个状态了其实就是把状态二和状态四合并在一起了。
从代码上来看确实可以合并但从逻辑上分析合并之后就很难理解了所以我下面的讲解是按照这四个状态来的把每一个状态分析清楚。
本题为什么要单独列出「今天卖出股票」 一个状态呢
因为本题我们有冷冻期而冷冻期的前一天只能是 「今天卖出股票」状态如果是 「不持有股票状态」那么就很模糊因为不一定是 卖出股票的操作。
如果没有按照 代码随想录 顺序去刷的录友可能看这里的讲解 会有点困惑建议把代码随想录本篇之前股票内容的讲解都看一下领会一下每天 状态的设置。
注意这里的每一个状态例如状态一是持有股票股票状态并不是说今天一定就买入股票而是说保持买入股票的状态即可能是前几天买入的之后一直没操作所以保持买入股票的状态。
2.确定递推公式
达到买入股票状态状态一即dp[i] [0]有两个具体操作 操作一前一天就是持有股票状态状态一dp[i] [0] dp[i - 1] [0] 操作二今天买入了有两种情况 前一天是冷冻期状态四dp[i - 1] [3] - prices[i] 前一天是保持卖出股票的状态状态二dp[i - 1] [1] - prices[i]
那么dp[i] [0] max(dp[i - 1] [0], dp[i - 1] [3] - prices[i], dp[i - 1] [1] - prices[i]);
达到保持卖出股票状态状态二即dp[i] [1]有两个具体操作 操作一前一天就是状态二 操作二前一天是冷冻期状态四
dp[i] [1] max(dp[i - 1] [1], dp[i - 1] [3]);
达到今天就卖出股票状态状态三即dp[i] [2] 只有一个操作
昨天一定是持有股票状态状态一今天卖出
即dp[i] [2] dp[i - 1] [0] prices[i];
达到冷冻期状态状态四即dp[i] [3]只有一个操作
昨天卖出了股票状态三
dp[i] [3] dp[i - 1] [2];
综上分析递推代码如下
dp[i][0] max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
dp[i][1] max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] dp[i - 1][0] prices[i];
dp[i][3] dp[i - 1][2];
3.dp数组如何初始化
这里主要讨论一下第0天如何初始化。
如果是持有股票状态状态一那么dp[0] [0] -prices[0]一定是当天买入股票。
保持卖出股票状态状态二这里其实从 「状态二」的定义来说 很难明确应该初始多少这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。
如果i为1第1天买入股票那么递归公式中需要计算 dp[i - 1] [1] - prices[i] 即 dp[0] [1] - prices[1]那么大家感受一下 dp[0] [1] 即第0天的状态二应该初始成多少只能初始为0。想一想如果初始为其他数值是我们第1天买入股票后 手里还剩的现金数量是不是就不对了。
今天卖出了股票状态三同上分析dp[0] [2]初始化为0dp[0] [3]也初始为0。
4.确定遍历顺序
从递归公式上可以看出dp[i] 依赖于 dp[i-1]所以是从前向后遍历。
5.举例推导dp数组
以 [1,2,3,0,2] 为例dp数组如下 最后结果是取 状态二状态三和状态四的最大值不少同学会把状态四忘了状态四是冷冻期最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。
代码如下
class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {if (prices null || prices.length 2) {return 0;}int[][] dp new int[prices.length][2];
// bad casedp[0][0] 0;dp[0][1] -prices[0];dp[1][0] Math.max(dp[0][0], dp[0][1] prices[1]);dp[1][1] Math.max(dp[0][1], -prices[1]);
for (int i 2; i prices.length; i) {// dp公式dp[i][0] Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] prices[i]);dp[i][1] Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);}
return dp[prices.length - 1][0];}
}
714.买卖股票的最佳时机含手续费
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题目给定一个整数数组 prices其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例 1: 输入: prices [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee 2 输出: 8
解释: 能够达到的最大利润: 在此处买入 prices[0] 1 在此处卖出 prices[3] 8 在此处买入 prices[4] 4 在此处卖出 prices[5] 9 总利润: ((8 - 1) - 2) ((9 - 4) - 2) 8.
注意: 0 prices.length 50000. 0 prices[i] 50000. 0 fee 50000.
思路及实现
相对于动态规划122.买卖股票的最佳时机II 本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了代码几乎是一样的。
唯一差别在于递推公式部分所以本篇也就不按照动规五部曲详细讲解了主要讲解一下递推公式部分。
这里重申一下dp数组的含义
dp[i] [0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i] [1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
如果第i天持有股票即dpi 那么可以由两个状态推出来 第i-1天就持有股票那么就保持现状所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即dp[i - 1] [0] 第i天买入股票所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即dp[i - 1] [1] - prices[i]
所以dp[i] [0] max(dp[i - 1] [0], dp[i - 1] [1] - prices[i]);
在来看看如果第i天不持有股票即dp[i] [1]的情况 依然可以由两个状态推出来 第i-1天就不持有股票那么就保持现状所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即dp[i - 1] [1] 第i天卖出股票所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金注意这里需要有手续费了即dp[i - 1] [0] prices[i] - fee
所以dp[i] [1] max(dp[i - 1] [1], dp[i - 1] [0] prices[i] - fee);
本题和动态规划122.买卖股票的最佳时机II的区别就是这里需要多一个减去手续费的操作。
以上分析完毕代码如下
/*** 卖出时支付手续费* param prices* param fee* return*/
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int len prices.length;// 0 : 持股买入// 1 : 不持股售出// dp 定义第i天持股/不持股 所得最多现金int[][] dp new int[len][2];dp[0][0] -prices[0];for (int i 1; i len; i) {dp[i][0] Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);dp[i][1] Math.max(dp[i - 1][0] prices[i] - fee, dp[i - 1][1]);}return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]);
}
/*** 买入时支付手续费* param prices* param fee* return*/
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int len prices.length;// 0 : 持股买入// 1 : 不持股售出// dp 定义第i天持股/不持股 所得最多现金int[][] dp new int[len][2];// 考虑买入的时候就支付手续费dp[0][0] -prices[0] - fee;for (int i 1; i len; i) {dp[i][0] Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i] - fee);dp[i][1] Math.max(dp[i - 1][0] prices[i], dp[i - 1][1]);}return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]);
}
// 一维数组优化
class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int[] dp new int[2];dp[0] -prices[0];dp[1] 0;for (int i 1; i prices.length; i) {dp[0] Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i - 1]);dp[1] Math.max(dp[1], dp[0] prices[i - 1] - fee);}return dp[1];}
}
Java
//使用 2*2 array
class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int dp[][] new int[2][2];int len prices.length;//[i][0] holding the stock//[i][1] not holding the stockdp[0][0] -prices[0];
for(int i 1; i len; i){dp[i % 2][0] Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);dp[i % 2][1] Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], dp[(i - 1) % 2][0] prices[i] - fee);}
return dp[(len - 1) % 2][1];}
}
