fqapps网站建设,高邮建设局网站,微信小程序怎么写,wordpress500错误【机器学习】12.十大算法之一支持向量机#xff08;SVM - Support Vector Machine#xff09;算法原理讲解 一摘要二个人简介三基本概念四支持向量与超平面4.1 超平面#xff08;Hyperplane#xff09;4.2 支持向量#xff08;Support Vectors#xff09;4.3 核技巧… 【机器学习】12.十大算法之一支持向量机SVM - Support Vector Machine算法原理讲解 一·摘要二·个人简介三·基本概念四·支持向量与超平面4.1 超平面Hyperplane4.2 支持向量Support Vectors4.3 核技巧Kernel Trick4.4 软间隔与正则化 五·SVM算法原理5.1 点到超平面的距离公式5.2 最大间隔的优化模型 六·松弛变量6.1 松弛变量的定义6.2 优化模型的修改6.3 软间隔与硬间隔6.4 核技巧与松弛变量 七·核函数7.1 核函数的基本概念7.2 常用的核函数7.3 核函数的作用 一·摘要 支持向量机SVM是一种高效的监督学习算法广泛应用于分类和回归问题。它通过在特征空间中寻找一个最优的超平面来区分不同类别的数据点目标是最大化两类数据点之间的间隔从而提高模型的泛化能力。SVM的关键概念包括超平面、间隔、支持向量以及核函数其中核函数允许SVM处理非线性问题通过将数据映射到更高维的空间来寻找线性可分的超平面。此外软间隔和正则化技术用于处理数据的非完全线性可分性同时控制模型复杂度防止过拟合。SVM的实现涉及选择合适的核函数构建并求解一个凸二次规划问题以及评估和应用训练好的模型。它的优点在于模型简单、易于实现且具有良好的泛化能力但计算复杂度高对核函数和参数选择敏感且在处理大规模数据集时可能会遇到性能瓶颈。
二·个人简介
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悲索之人烈焰加身堕落者不可饶恕。永恒燃烧的羽翼带我脱离凡间的沉沦。 希望大家能持续支持共同向前迈进 如果您觉得文章有价值 欢迎留言点赞收藏并关注我们➕。 热门专栏 类型专栏Python基础Python基础入门—详解版Python进阶Python基础入门—模块版Python高级Python网络爬虫从入门到精通Web全栈开发Django基础入门Web全栈开发HTML与CSS基础入门Web全栈开发JavaScript基础入门Python数据分析Python数据分析项目机器学习机器学习算法人工智能人工智能
三·基本概念
支持向量机Support Vector Machine, SVM是一种强大的机器学习算法主要用于解决分类和回归问题。它基于统计学习理论中的结构风险最小化原则通过在特征空间中寻找一个最优的决策边界即超平面来区分不同的数据类别。这个超平面的选择旨在最大化数据点到超平面的最短距离这个距离被称为间隔margin。间隔越大模型的泛化能力通常越好。
SVM的核心是支持向量这是一组对确定超平面位置和方向至关重要的数据点它们是距离超平面最近的点。如果数据不是线性可分的SVM通过引入核函数将原始数据映射到一个更高维的空间在这个新空间中寻找线性可分的超平面。常用的核函数包括线性核、多项式核、径向基函数RBF核等。
为了处理数据中的噪声和异常点SVM引入了软间隔的概念允许一些数据点被错误分类以换取更好的泛化性能。同时通过正则化项控制模型的复杂度避免过拟合。SVM的训练过程通常涉及到求解一个凸二次规划问题以找到最优的超平面参数。
见下图在一个二维环境中其中点RSG点和其它靠近中间黑线的点可以看作为支持向量它们可以决定分类器也就是黑线的具体参数。
四·支持向量与超平面
支持向量和超平面是支持向量机SVM算法中的核心概念。下面我将详细解释这两个概念
4.1 超平面Hyperplane
在数学中超平面是一个线性子空间其维度比它所在的空间低一维。例如在二维空间中超平面是一条直线在三维空间中它是平面在更高维空间中它仍然是一个线性边界但可能难以直观理解。
在SVM中超平面用于将数据分为不同的类别。对于二维空间你可以想象超平面是一条直线将空间分为两部分每部分包含一个类别的数据点。对于更高维度的空间超平面是一个更高维的线性边界同样用于分隔数据点。
4.2 支持向量Support Vectors
支持向量是那些位于距离超平面最近的数据点。它们是SVM在训练过程中用来确定超平面位置的关键数据点。如果从这些点中移除任何一个都会改变超平面的位置和方向。
支持向量之所以重要是因为它们定义了数据点之间的边界即间隔。SVM的目标是找到这样一个超平面使得最近的这些支持向量即距离超平面最近的数据点与超平面之间的距离间隔最大化。这个间隔的大小是衡量模型泛化能力的一个重要指标。
4.3 核技巧Kernel Trick
在实际应用中数据可能不是线性可分的。这时SVM可以使用核技巧来处理非线性问题。核函数可以将原始数据映射到一个更高维的空间在新的空间中寻找一个线性可分的超平面。常用的核函数包括线性核、多项式核、径向基函数RBF核等。
4.4 软间隔与正则化
在处理实际数据时可能无法找到一个完美的超平面来完全分开所有数据点。这时SVM引入了软间隔的概念允许一些数据点被错误分类以换取更好的泛化能力。同时通过正则化项通常是法向量的范数来控制模型的复杂度避免过拟合。 五·SVM算法原理
5.1 点到超平面的距离公式
点到超平面的距离公式用于计算一个点到给定超平面的最短距离。超平面在n维空间中可以用以下方程式表示 其中 w 是一个n维的法向量垂直于超平面。 x 是一个n维的点位于空间中。 b 是超平面的偏置项。 点 x 到这个超平面的垂直距离 d 可以通过以下公式计算 这个公式的几何意义是从点 向超平面作垂线垂足到点 的距离就是这个距离也代表了点 到超平面的“间隔”。在支持向量机中间隔的大小是非常重要的因为它与模型的泛化能力有关。SVM的目标是找到这样一个超平面使得间隔最大化即所有数据点到这个超平面的距离之和最大。
5.2 最大间隔的优化模型
线性可分情况下的优化模型 当数据是线性可分的即存在一个超平面能够完美地将不同类别的数据点分开SVM的目标是找到一个超平面使得距离最近的两个数据点即支持向量到超平面的距离最大化。这个距离被称为间隔margin。 超平面可以表示为 最大间隔优化问题 SVM的目标函数是最大化间隔可以表示为 引入拉格朗日乘子 对偶问题
六·松弛变量
在支持向量机SVM中松弛变量Slack Variables是引入的一种机制用于处理数据集中的非线性可分情况。在理想情况下如果数据是线性可分的SVM可以找到一个超平面将不同类别的数据点完全分开同时最大化间隔。然而在现实世界中很多数据集并不是完全线性可分的这就需要使用松弛变量来允许一些数据点被错误分类从而提高模型的泛化能力。
6.1 松弛变量的定义 6.2 优化模型的修改 这里的 是一个正的调节参数用于控制模型对误分类的惩罚程度。的值越大模型对误分类的惩罚越重越倾向于找到没有误分类的解的值越小模型对误分类的容忍度越高越容易找到间隔更大的解即使这意味着更多的误分类。
6.3 软间隔与硬间隔
硬间隔Hard Margin没有引入松弛变量的SVM要求所有数据点都在间隔边界的外侧或边界上即不允许任何误分类。软间隔Soft Margin引入了松弛变量的SVM允许一些数据点在间隔边界的内侧即允许一定程度的误分类。 核技巧与松弛变量.
6.4 核技巧与松弛变量
即使在非线性可分的情况下通过使用核技巧将数据映射到高维空间结合松弛变量SVM仍然可以找到具有最大间隔的超平面。
七·核函数
核函数Kernel Function是支持向量机SVM中的一种重要工具它允许SVM在高维空间中有效地处理非线性问题。核函数的基本思想是通过映射将原始数据从低维空间映射到高维空间在这个高维空间中寻找数据的线性可分性。
7.1 核函数的基本概念 7.2 常用的核函数 7.3 核函数的作用
处理非线性问题通过映射到高维空间核函数使得原本在低维空间中线性不可分的数据在高维空间中线性可分。提高模型表达能力不同的核函数可以捕捉数据的不同特征提高模型的表达能力。减少计算复杂度使用核函数可以避免直接在高维空间中进行计算从而减少计算复杂度。
