建网站如何赚钱,西宁企业网站建设公司,小学生信息科学做网站,网站开发项目经验总结教训算法沉淀——动态规划之路径问题 01.不同路径02.不同路径 II03.珠宝的最高价值04.下降路径最小和05.最小路径和06.地下城游戏 01.不同路径
题目链接#xff1a;https://leetcode.cn/problems/unique-paths/
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 #xff08;起始点在下图… 算法沉淀——动态规划之路径问题 01.不同路径02.不同路径 II03.珠宝的最高价值04.下降路径最小和05.最小路径和06.地下城游戏 01.不同路径
题目链接https://leetcode.cn/problems/unique-paths/
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 起始点在下图中标记为 “Start” 。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角在下图中标记为 “Finish” 。
问总共有多少条不同的路径
示例 1
输入m 3, n 7
输出28示例 2
输入m 3, n 2
输出3
解释
从左上角开始总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 - 向下 - 向下
2. 向下 - 向下 - 向右
3. 向下 - 向右 - 向下示例 3
输入m 7, n 3
输出28示例 4
输入m 3, n 3
输出6提示
1 m, n 100题目数据保证答案小于等于 2 * 109
思路
这是一个典型的动态规划问题。以下是解题的一般步骤 状态表示 对于路径类问题有两种状态表示方式选择其中之一。这里选择从起始位置出发到达 [i, j] 位置的方式 dp[i][j] 表示从起始位置到达 [i, j] 位置的路径数。 状态转移方程 分析从 [i, j] 位置出发的一小步有两种情况 从 [i-1, j] 位置向下走一步转移到 [i, j] 位置从 [i, j-1] 位置向右走一步转移到 [i, j] 位置。 因此状态转移方程为dp[i][j] dp[i-1][j] dp[i][j-1]。 初始化 在 dp 数组前添加一行和一列初始化 dp[0][1] 位置为 1。 填表顺序 从上往下每一行从左往右填写。 返回值 返回 dp[m][n] 的值表示从起始位置到达终点位置的路径数。
代码
class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {vectorvectorint dp(m1,vectorint(n1,0));dp[1][1]1;for(int i1;im;i){for(int j1;jn;j){if(i1j1) continue;dp[i][j]dp[i-1][j]dp[i][j-1];}}return dp[m][n];}
};02.不同路径 II
题目链接https://leetcode.cn/problems/unique-paths-ii/
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 起始点在下图中标记为 “Start” 。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角在下图中标记为 “Finish”。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1
输入obstacleGrid [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出2
解释3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径
1. 向右 - 向右 - 向下 - 向下
2. 向下 - 向下 - 向右 - 向右示例 2
输入obstacleGrid [[0,1],[0,0]]
输出1 提示
m obstacleGrid.lengthn obstacleGrid[i].length1 m, n 100obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1
思路
根据上题分析这题如果某个位置 [i - 1, j] 或者 [i, j - 1] 上存在障碍物说明从这两个位置到达 [i, j] 的路径是被阻挡的因此在计算 dp[i][j]表示从起点到达 [i, j] 的路径数时可以直接将 dp[i][j] 设为零其余同上题。
代码
class Solution {
public:int uniquePathsWithObstacles(vectorvectorint obstacleGrid) {int mobstacleGrid.size(),nobstacleGrid[0].size();vectorvectorint dp(m1,vectorint(n1,0));dp[1][0]1;for(int i1;im;i)for(int j1;jn;j)if(obstacleGrid[i-1][j-1]0)dp[i][j]dp[i-1][j]dp[i][j-1];return dp[m][n];}
};03.珠宝的最高价值
题目链接https://leetcode.cn/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof/
现有一个记作二维矩阵 frame 的珠宝架其中 frame[i][j] 为该位置珠宝的价值。拿取珠宝的规则为
只能从架子的左上角开始拿珠宝每次可以移动到右侧或下侧的相邻位置到达珠宝架子的右下角时停止拿取
注意珠宝的价值都是大于 0 的。除非这个架子上没有任何珠宝比如 frame [[0]]。
示例 1:
输入: frame [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最高价值的珠宝提示
0 frame.length 2000 frame[0].length 200
思路
在处理这类问题时动态规划的状态表可以采用两种主要形式一是从某个位置出发描述到达其他位置的情况二是从起始位置到达某个位置描述达到该位置时的状态。在这里我们选择第二种方式定义状态表
我们使用 dp[i][j] 表示从起始位置到达 [i, j] 位置时的最大价值。在考虑到达 [i, j] 的两种方式时即从上方 [i - 1, j] 或从左侧 [i, j - 1] 到达我们需要选择其中最大价值的路径。因此状态转移方程为
dp[i][j]max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])frame[i-1][j-1];
在初始化过程中可以添加一个辅助结点并将所有值初始化为零。填表的顺序是从上往下逐行填写每一行从左往右。最后我们应该返回 dp[m][n] 的值表示在整个网格中的最大价值。
代码
class Solution {
public:int jewelleryValue(vectorvectorint frame) {int mframe.size(),nframe[0].size();vectorvectorint dp(m1,vectorint(n1,0));for(int i1;im;i)for(int j1;jn;j)dp[i][j]max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])frame[i-1][j-1];return dp[m][n];}
};04.下降路径最小和
题目链接https://leetcode.cn/problems/minimum-falling-path-sum/
给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix 请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。
下降路径 可以从第一行中的任何元素开始并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素。具体来说位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row 1, col - 1)、(row 1, col) 或者 (row 1, col 1) 。
示例 1
输入matrix [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出13
解释如图所示为和最小的两条下降路径示例 2
输入matrix [[-19,57],[-40,-5]]
输出-59
解释如图所示为和最小的下降路径提示
n matrix.length matrix[i].length1 n 100-100 matrix[i][j] 100
在处理这种「路径类」的问题时动态规划的状态表一般有两种常见形式一是从某个位置出发描述到达其他位置的情况二是从起始位置到达某个位置描述达到该位置时的状态。在这里我们选择第二种方式定义状态表
我们使用 dp[i][j] 表示到达 [i, j] 位置时所有下降路径中的最小和。在考虑到达 [i, j] 的三种方式时即从正上方 [i - 1, j]、左上方 [i - 1, j - 1] 和右上方 [i - 1, j 1] 转移到 [i, j] 位置我们需要选择三者中的最小值再加上矩阵在 [i, j] 位置的值。因此状态转移方程为
dp[i][j]matrix[i-1][j-1]min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j1]));
在初始化过程中我们添加一个辅助结点将其值初始化为正无穷大以保证后续填表时是正确的。同时需要注意下标的映射关系。在本题中我们添加了一行和两列将第一行的值初始化为 0。填表的顺序是从上往下逐行填写。最后我们不是返回 dp[m][n] 的值而是返回 dp 表中最后一行的最小值因为题目要求只要到达最后一行即可。
代码
class Solution {
public:int minFallingPathSum(vectorvectorint matrix) {int mmatrix.size(),nmatrix[0].size();vectorvectorint dp(n1,vectorint(n2,INT_MAX));for(int i0;in2;i) dp[0][i]0;for(int i1;in;i)for(int j1;jn;j)dp[i][j]matrix[i-1][j-1]min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j1]));int retINT_MAX;for(int i1;in;i)retmin(ret,dp[n][i]);return ret;}
};05.最小路径和
题目链接https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/
给定一个包含非负整数的 *m* x *n* 网格 grid 请找出一条从左上角到右下角的路径使得路径上的数字总和为最小。
**说明**每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1
输入grid [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出7
解释因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。示例 2
输入grid [[1,2,3],[4,5,6]]
输出12提示
m grid.lengthn grid[i].length1 m, n 2000 grid[i][j] 200
思路
在处理这种路径类问题时我们通常选择两种状态表现形式一是从某个位置出发描述到达其他位置的情况二是从起始位置到达某个位置描述达到该位置时的状态。在这里我们选择第二种方式定义状态表
我们使用 dp[i][j] 表示到达 [i, j] 位置处的最小路径和。在分析 dp[i][j] 的情况时我们考虑到达 [i, j] 位置之前的一小步有两种情况一是从上方 [i - 1, j] 向下走一步转移到 [i, j] 位置二是从左方 [i, j - 1] 向右走一步转移到 [i, j] 位置。由于我们要找的是最小路径因此只需要这两种情况下的最小值再加上 [i, j] 位置上本身的值即可。
也就是说状态转移方程为dp[i][j]min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])grid[i-1][j-1];
在初始化过程中我们可以在最前面加上一个「辅助结点」帮助我们初始化。使用这种技巧需要注意两个点一是辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的二是下标的映射关系。在本题中添加了一行和一列所有位置的值可以初始化为无穷大然后让 dp[0][1] dp[1][0] 1 即可。
填表的顺序是从上往下逐行填写每一行从左往右。最后我们返回 dp 表中最后一个位置的值即 dp[m][n]。
代码
class Solution {
public:int minPathSum(vectorvectorint grid) {int mgrid.size(),ngrid[0].size();vectorvectorint dp(m1,vectorint(n1,INT_MAX));dp[0][1]dp[1][0]0;for(int i1;im;i)for(int j1;jn;j)dp[i][j]min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])grid[i-1][j-1];return dp[m][n];}
};06.地下城游戏
题目链接https://leetcode.cn/problems/dungeon-game/
恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。
骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下他会立即死亡。
有些房间由恶魔守卫因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数若房间里的值为负整数则表示骑士将损失健康点数其他房间要么是空的房间里的值为 0要么包含增加骑士健康点数的魔法球若房间里的值为正整数则表示骑士将增加健康点数。
为了尽快解救公主骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。
返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
**注意**任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁也可能增加骑士的健康点数包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。
示例 1
输入dungeon [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出7
解释如果骑士遵循最佳路径右 - 右 - 下 - 下 则骑士的初始健康点数至少为 7 。示例 2
输入dungeon [[0]]
输出1 提示
m dungeon.lengthn dungeon[i].length1 m, n 200-1000 dungeon[i][j] 1000
思路
这道题可以通过动态规划求解首先需要定义状态表现形式。如果我们定义为“从起点开始到达 [i, j] 位置的时候所需的最低初始健康点数”分析状态转移时可能会受到后续路径的影响。因此更合适的状态表现形式是“从 [i, j] 位置出发到达终点时所需要的最低初始健康点数”。
综上我们定义状态表达为dp[i][j]表示从 [i, j] 位置出发到达终点时所需的最低初始健康点数。
在状态转移方程中我们考虑从 [i, j] 位置出发的两种选择 i. 向右走到终点即从 [i, j] 到 [i, j 1] ii. 向下走到终点即从 [i, j] 到 [i 1, j]。
对于这两种选择我们需要选择使得到达终点时的初始健康点数最小的路径。因此状态转移方程为 dp[i][j]min(dp[i1][j],dp[i][j1])-dungeon[i][j];
然而由于 dungeon[i][j] 可能是一个较大的正数计算得到的dp[i][j]的值可能会小于等于 0。如果初始健康点数小于等于 0马上死亡因此我们需要处理这种情况将 dp[i][j] 与 1 取最大值dp[i][j]max(1,dp[i][j]);
在初始化阶段我们在最前面加上一个“辅助结点”来帮助初始化需要注意辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的以及下标的映射关系。在本题中我们在 dp 表的最后一行和最后一列分别添加一行和一列将所有的值初始化为无穷大然后让 dp[m][n - 1] dp[m - 1][n] 1。
填表的顺序是从下往上逐行填写每一行从右往左。最后我们返回 dp[0][0] 的值。
代码
class Solution {
public:int calculateMinimumHP(vectorvectorint dungeon) {int mdungeon.size(),ndungeon[0].size();vectorvectorint dp(m1,vectorint(n1,INT_MAX));dp[m][n-1]dp[m-1][n]1;for(int im-1;i0;i--)for(int jn-1;j0;j--){dp[i][j]min(dp[i1][j],dp[i][j1])-dungeon[i][j];dp[i][j]max(1,dp[i][j]);}return dp[0][0];}
};
