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在算法与数据结构的探索之路上二维平面几何问题一直占据着独特的地位它们不仅考验我们的空间思维能力还要求我们能够巧妙地运用算法逻辑。今天我们将深入剖析一道极具代表性的二维平面几何算法题 —— 在多个矩形的交集中寻找能够容纳的最大正方形面积。
一、题目剖析
在二维平面上给定n个矩形。通过两个下标从 0 开始的二维整数数组bottomLeft和topRight来描述这些矩形两个数组的大小均为n x 2。其中bottomLeft[i]和topRight[i]分别代表第i个矩形的左下角和右上角坐标。我们的任务是选择由两个矩形交集形成的区域并找出能够放入该区域内的最大正方形面积。若矩形之间不存在任何交集区域返回 0。
二、解题思路
解决这个问题的关键在于清晰地计算出每两个矩形的交集区域进而确定交集中能容纳的最大正方形。具体步骤如下
遍历所有矩形对使用双重循环遍历所有矩形组合这样可以确保对每一对矩形都进行分析。计算交集区域边界对于每一对矩形通过比较它们的左下角和右上角坐标确定交集区域的左、右、上、下边界。具体而言交集区域的左边界是两个矩形左边界的较大值右边界是两个矩形右边界的较小值上边界是两个矩形上边界的较小值下边界是两个矩形下边界的较大值。检查交集是否存在通过判断左边界是否小于右边界且下边界是否小于上边界来确定两个矩形是否存在交集。若满足这两个条件则说明存在交集区域。确定最大正方形边长在存在交集的情况下计算交集区域的宽度和高度取两者中的较小值作为最大正方形的边长。这是因为正方形的边长受限于交集区域的最小维度。计算并更新最大面积根据确定的边长计算正方形的面积并与当前记录的最大面积进行比较更新最大面积值。
三、代码实现
class Solution {public long largestSquareArea(int[][] bottomLeft, int[][] topRight) {long maxArea 0;int n bottomLeft.length;for (int i 0; i n; i) {for (int j i 1; j n; j) {// 计算两个矩形交集的边界int left Math.max(bottomLeft[i][0], bottomLeft[j][0]);int right Math.min(topRight[i][0], topRight[j][0]);int bottom Math.max(bottomLeft[i][1], bottomLeft[j][1]);int top Math.min(topRight[i][1], topRight[j][1]);// 检查是否存在交集if (left right bottom top) {// 计算交集区域的宽度和高度int width right - left;int height top - bottom;// 确定交集区域内可容纳的最大正方形边长int side Math.min(width, height);// 计算正方形面积long area (long) side * side;// 更新最大面积maxArea Math.max(maxArea, area);}}}return maxArea;}
}四、复杂度分析
时间复杂度算法的时间复杂度为 \(O(n^2)\)其中n是矩形的数量。这是因为我们需要通过双重循环遍历所有的矩形对对于每一对矩形计算交集和最大正方形面积的操作时间复杂度为常数级。空间复杂度算法的空间复杂度为 \(O(1)\)在整个计算过程中只使用了常数级别的额外空间用于存储中间计算结果和最大面积值。
五、总结
这道题目通过矩形交集和正方形面积的计算巧妙地融合了几何知识和算法逻辑。解题过程中我们不仅加深了对二维平面坐标系统的理解还进一步熟悉了嵌套循环、条件判断和数学运算在算法设计中的应用。希望通过本文的讲解读者能对这类问题有更深入的认识提升解决算法问题的能力。
