wordpress多站点版,徐州城乡建设局网站,西安网站建设联系电话,下一页360傅里叶级数 法国数学家傅里叶发现#xff0c;任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示#xff08;选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的#xff09;#xff0c;后世称为傅里叶级数#xff08;法语#xff1a;srie de Fourier#xf…傅里叶级数 法国数学家傅里叶发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的后世称为傅里叶级数法语série de Fourier或译为傅里叶级数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 目录 1傅里叶级数的公式2傅里叶级数的收敛性3三角函数族的正交性4奇函数和偶函数5傅里叶级数的一些例子6参阅7参考书目、资料来源
傅里叶级数的公式
给定一个周期为T的函数x(t)那么它可以表示为无穷级数
i为虚数单位1其中可以按下式计算
2注意到是周期为T的函数故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系即它们都具有一个共同周期T。k0时1式中对应的这一项称为直流分量也就是在整个周期的平均值。时具有基波频率称为一次谐波或基波类似的有二次谐波三次谐波等等。
傅里叶级数的收敛性
至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件但是对于实际问题中出现的函数有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利赫里条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下
在定义区间上x(t)须绝对可积在任一有限区间中x(t)只能取有限个极值点在任何有限区间上x(t)只能有有限个第一类间断点。
事实上傅立叶级数在第一类间断点上收敛于初始函数左右极限的算术平均值。
1966年里纳特·卡尔松证明了勒贝格二次可积函数的傅立叶级数一定是几乎处处收敛的即级数在除了一个可数点集外均收敛。
吉布斯现象在x(t)的不可导点上如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。
三角函数族的正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如在三维欧氏空间中互相垂直的向量之间是正交的。事实上正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的所以必然可以张成一个n维空间也就是说空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是 奇函数和偶函数
奇函数可以表示为正弦级数
傅里叶级数的一些例子
参阅
离散时间傅里叶级数傅里叶变换维尔斯特拉斯逼近定理
