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一个控制系统就和一个社会一样稳定性是首先要解决的重要问题是其他一切工作的基础。稳定性问题的字面意思很好理解了那就是系统在受到扰动后能否能有能力在平衡态继续工作。大家都知道历史上社会改革成本很高且以失败者居多从控制论的角度来看就是对社会这个大系统的稳定性研究不够导致扰动发生后社会发散了。
要研究稳定首先要研究稳定点那什么是稳定点呢我们以发射火箭为例 可见稳定点就是系统状态不再发生变化的点它可能不止一个它也可能很脆弱稍微有个扰动就不稳定了。
二、什么是李雅普诺夫稳定
早在1892年俄国有一个叫李雅普诺夫的学者发表了一篇著名的文章《运动稳定性一般》问题建立了关于运动稳定的一般理论光看这个文章的名字就不一般也确实在尔后百余年这个理论在数学、力学和控制理论中全面开花已经成为稳定性研究方向的基础性理论俄罗斯人对于数学上和工程上的直觉确实令人赞叹。 李雅普诺夫稳定性理论研究的是在扰动下稳定点的稳定性问题。 简单来说如果稳定状态 xex_exe 受到扰动后仍然停留在 xex_exe 附近我们就称 xex_exe 在李雅普诺夫意义下是稳定的Lyapunov stable。
如果稳定状态 xex_exe 受到扰动后最终都会收敛到 xex_exe我们就称 xex_exe在李雅普诺夫意义下是渐进稳定的Asymptotically stable。
如果稳定状态xex_exe受到任何扰动后最终都会收敛到 xex_exe我们就称 xex_exe在李雅普诺夫意义下是大范围内渐进稳定的Asymptotically stable in large。
相反如果稳定状态 xex_exe 受到某种扰动后状态开始偏离 xex_exe我们就称xex_exe 在李雅普诺夫意义下是不稳定的Unstable。
示意图如下 下面我们就分别具体看一下。
2.1 什么是李雅普诺夫意义下的稳定 2.2 什么是渐进稳定 2.3 什么是大范围渐进稳定 2.4 什么是不稳定 三、李雅普诺夫第一法 可见与原轨迹还是比较接近的。一般的书上对于李雅普诺夫第一法都是一笔带过其实在工程实践中第一法应用非常多比如复杂的飞机飞行控制就是将飞机模型线性化成多个线性化模型进行设计感兴趣的可参见Design an LQR Servo Controller in Simulink。
四、李雅普诺夫第二法 五、MATLAB代码
鉴于很多知友对文章中插图的MATLAB代码感兴趣先将部分代码附录如下其余按格式更改即可。
首先是定义状态方程函数
function ddxdt(t,x)d[ x(2)x(1)*(2-x(1)^2-x(2)^2); -x(1)x(2)*(2-x(1)^2-x(2)^2) ]; 根据状态方程画出变量轨迹
figure(color,w);
hold on
for theta[0:20]*pi/10x03*[cos(theta);sin(theta)];%定义初始值数组[t,x]ode45(dxdt,[0:0.1:8],x0);plot(x(:,1),x(:,2),linewidth,0.5)quiver(x(:,1),x(:,2),gradient(x(:,1)),gradient(x(:,2)),linewidth,3.0);%增加轨迹方向箭头
end
for theta[0:2:20]*pi/10x01e-5*[cos(theta);sin(theta)];[t,x]ode45(dxdt,[0:0.2:20],x0);plot(x(:,1),x(:,2),linewidth,0.5)quiver(x(:,1),x(:,2),gradient(x(:,1)),gradient(x(:,2)),linewidth,1.5)xlabel(x1,FontSize,18,FontWeight,bold,Color,r);ylabel(x2,FontSize,18,FontWeight,bold,Color,r)title(Made by J Phttps://zhuanlan.zhihu.com/p/58738073
