做网站都需要买什么问题,网站代码如何优化,php网站的html文件放在那个里面的,宠物网站 html模板Hermite矩阵 文章目录 Hermite矩阵一、正规矩阵【定义】A^H^矩阵【定理】 A^H^的运算性质【定义】正规矩阵、特殊的正规矩阵【定理】与正规矩阵酉相似的矩阵也是正规矩阵【定理】正规的上(下)三角矩阵必为对角矩阵【定义】复向量的内积【定理】Schmitt正交化 二、酉矩阵#x…Hermite矩阵 文章目录 Hermite矩阵一、正规矩阵【定义】A^H^矩阵【定理】 A^H^的运算性质【定义】正规矩阵、特殊的正规矩阵【定理】与正规矩阵酉相似的矩阵也是正规矩阵【定理】正规的上(下)三角矩阵必为对角矩阵【定义】复向量的内积【定理】Schmitt正交化 二、酉矩阵unitary【定理】酉矩阵的判定【定理】数值矩阵与酉矩阵性质的类比【定理】酉矩阵的所有特征值模都等于1并且属于不同特征值的特征向量正交【定理】Schur定理【定理】A酉相似于对角矩阵则A为正规矩阵 三、Hermite矩阵【定理】Hermite矩阵的特征值必为实数并且属于不同特征值的特征向量正交【定理】反Hermite矩阵的特征值为0或纯虚数并且属于不同特征值的特征向量正交【定理】Hermite/反Hermite矩阵当且仅当的判断 四、Hermite二次型【定义】Hermite二次型【定义】复相合【定理】每个二次型都可酉变换为标准型【定理】Hermite二次型经过适当可逆线性替换可化为规范型【定理】Hermite二次型的规范型唯一 五、正定Hermite矩阵【定义】Hermite二次型的正定、负定、半正定、半负定、不定【定理】正定、负定、半正定、半负定、不定 与 正负惯性指数 的关系【定义】Hermite矩阵的正定、负定、半正定、半负定、不定【定理】正定的当且仅当条件 将线性代数中的实矩阵扩展为复矩阵 一、正规矩阵
【定义】AH矩阵 对复矩阵 A A A A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A \begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots \vdots \\ a_{n1} a_{n2} \cdots a_{nn} \\ \end{bmatrix} A a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann 有 A H A^H AH 矩阵为 A H A T ‾ A ‾ T [ a 11 ‾ a 12 ‾ ⋯ a 1 n ‾ a 21 ‾ a 22 ‾ ⋯ a 2 n ‾ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ‾ a n 2 ‾ ⋯ a n n ‾ ] A^H\overline{A^T}\overline{A}^T \begin{bmatrix} \overline{a_{11}} \overline{a_{12}} \cdots \overline{a_{1n}} \\ \overline{a_{21}} \overline{a_{22}} \cdots \overline{a_{2n}} \\ \vdots \vdots \vdots \\ \overline{a_{n1}} \overline{a_{n2}} \cdots \overline{a_{nn}} \\ \end{bmatrix} AHATAT a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann 【定理】 AH的运算性质 由 A H A^H AH 的定义可知 ( A H ) H A (A^H)^HA (AH)HA ( A B ) H A H B H (AB)^HA^HB^H (AB)HAHBH ( A B ) H B H A H (AB)^HB^HA^H (AB)HBHAH ( k A ) H k ‾ A H , k ∈ C (kA)^H\overline{k}A^H,k\in\mathbb C (kA)HkAH,k∈C ( A H ) H A (A^H)^HA (AH)HA 【定义】正规矩阵、特殊的正规矩阵 正规矩阵是满足 A H A A A H A^HAAA^H AHAAAH 的矩阵有 酉矩阵 A H A A A H E A^HAAA^HE AHAAAHE 参考正交矩阵 A T A A A T E A^TAAA^TE ATAAATE 是正规矩阵Hermite矩阵 A H A A^HA AHA 参考对阵矩阵 A H A A^HA AHA是正规矩阵反Hermite矩阵 A H − A A^H-A AH−A 参考反对称矩阵/反称矩阵 A T − A A^T-A AT−A是正规矩阵对角矩阵是正规矩阵 【定理】与正规矩阵酉相似的矩阵也是正规矩阵
【定理】正规的上(下)三角矩阵必为对角矩阵
【定义】复向量的内积 α j , α i α i H α j \alpha_j,\alpha_i\alpha^H_i\alpha_j αj,αiαiHαj 比如 复向量 γ 1 [ 1 − i , 1 , 2 ] T , γ 2 [ 1 , − 1 , i ] T \gamma_1[1-i,1,2]^T,\gamma_2[1,-1,i]^T γ1[1−i,1,2]T,γ2[1,−1,i]T求其内积 γ 1 , γ 2 γ 2 H γ 1 ( 1 , − 1 , − i ) [ 1 − i , 1 , 2 ] T − 3 i \gamma_1,\gamma_2\gamma_2^H\gamma_1(1,-1,-i)[1-i,1,2]^T-3i γ1,γ2γ2Hγ1(1,−1,−i)[1−i,1,2]T−3i γ 2 , γ 1 γ 1 H γ 2 ( 1 i , 1 , 2 ) [ 1 , − 1 , i ] T 3 i \gamma_2,\gamma_1\gamma_1^H\gamma_2(1i,1,2)[1,-1,i]^T3i γ2,γ1γ1Hγ2(1i,1,2)[1,−1,i]T3i
【定理】Schmitt正交化 注意下面的内积是复向量内积 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性无关 ⟶ \longrightarrow ⟶ β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,⋯,βn正交 ⟶ \longrightarrow ⟶ η 1 , η 2 , ⋯ , η n \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n η1,η2,⋯,ηn标准正交 β 1 α 1 \beta_1\alpha_1 β1α1 β 2 α 2 − α 2 , β 1 β 1 , β 1 β 1 \beta_2\alpha_2-\frac{\alpha_2,\beta_1}{\beta_1,\beta_1}\beta_1 β2α2−β1,β1α2,β1β1 β 3 α 3 − α 3 , β 2 β 2 , β 2 β 2 − α 3 , β 1 β 1 , β 1 β 1 \beta_3\alpha_3-\frac{\alpha_3,\beta_2}{\beta_2,\beta_2}\beta_2-\frac{\alpha_3,\beta_1}{\beta_1,\beta_1}\beta_1 β3α3−β2,β2α3,β2β2−β1,β1α3,β1β1 二、酉矩阵unitary
酉矩阵是正交矩阵的推广
【定理】酉矩阵的判定 矩阵 A A A 为酉矩阵当且仅当下列条件之一被满足 A H A A A H E A^HAAA^HE AHAAAHE A − 1 A H A^{-1}A^H A−1AH 【定理】数值矩阵与酉矩阵性质的类比 数值矩阵的很多性质都可以在酉矩阵得到对应 正交 正交矩阵 A T A A A T E A^TAAA^TE ATAAATE ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] A[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n] A[α1,α2,⋯,αn] 是标准正交向量组不一定非得是基 酉矩阵 A H A A A H E A^HAAA^HE AHAAAHE ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] A[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n] A[α1,α2,⋯,αn] 是标准正交向量组 相似 相似 P − 1 A P B P^{-1}APB P−1APB其中 P P P 可逆正交相似 Q − 1 A Q Q T A Q B Q^{-1}AQQ^{T}AQB Q−1AQQTAQB其中 Q Q Q 正交酉相似 U H A U U − 1 A U B U^HAUU^{-1}AUB UHAUU−1AUB其中 U U U 是酉矩阵 【定理】酉矩阵的所有特征值模都等于1并且属于不同特征值的特征向量正交
这是因为在产生酉矩阵的过程中所有的向量都进行了Schmitt正交化
【定理】Schur定理 设 A ∈ C n × n A\in\mathbb C^{n\times n} A∈Cn×n 则存在n阶酉矩阵 U U U使得 T U H A U TU^HAU TUHAU 为上三角矩阵其主对角元为 A A A 的全部特征值 【定理】A酉相似于对角矩阵则A为正规矩阵 设 A ∈ C n × n A\in\mathbb C^{n\times n} A∈Cn×n 则 A A A 为正规矩阵当且仅当 A A A 酉相似于对角矩阵 d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) diag(λ1,λ2,⋯,λn)其中 ∣ λ i ∣ 1 |\lambda_i|1 ∣λi∣1 三、Hermite矩阵
【定理】Hermite矩阵的特征值必为实数并且属于不同特征值的特征向量正交
【定理】反Hermite矩阵的特征值为0或纯虚数并且属于不同特征值的特征向量正交
【定理】Hermite/反Hermite矩阵当且仅当的判断 设 A ∈ C n × n A\in\mathbb C^{n\times n} A∈Cn×n则 A A A 为Hermite矩阵 当且仅当 A A A 酉相似于对角矩阵 d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) diag(λ1,λ2,⋯,λn)其中 λ i \lambda_i λi 均为实数它们为 A A A 的全部特征值 设 A ∈ C n × n A\in\mathbb C^{n\times n} A∈Cn×n则 A A A 为反Hermite矩阵 当且仅当 A A A 酉相似于对角矩阵 d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) diag(λ1,λ2,⋯,λn)其中 λ i \lambda_i λi 的实部均为0它们为 A A A 的全部特征值 求酉相似对角化的酉矩阵的方法类似本科线性代数 U − 1 A U Λ [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] U^{-1}AU\Lambda \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \ddots \\ \lambda_n \end{bmatrix} U−1AUΛ λ1λ2⋱λn 两边同时左乘 U U U 有 A U U A AUUA AUUA 按列分块得到 A [ η 1 , η 2 , ⋯ , η n ] [ η 1 , η 2 , ⋯ , η n ] [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] A[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n][\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n] \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \ddots \\ \lambda_n \end{bmatrix} A[η1,η2,⋯,ηn][η1,η2,⋯,ηn] λ1λ2⋱λn 将 A A A 和 λ i \lambda_i λi 乘进去得到 A η i λ i η i A\eta_i\lambda_i\eta_i Aηiλiηi
四、Hermite二次型
将线性代数的实二次型扩展到复二次型
【定义】Hermite二次型 复二次型的表达式 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ∑ ∑ a i j x i ‾ x j f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\sum\sum a_{ij} \overline{x_i}x_j f(x1,x2,⋯,xn)∑∑aijxixj 其中 a i j a j i ‾ a_{ij}\overline{a_{ji}} aijaji 因为 A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A \begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots \vdots \\ a_{n1} a_{n2} \cdots a_{nn} \\ \end{bmatrix} A a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann 具有性质 A H A A^HA AHA故 A A A 为 Hermite 矩阵即为 Hermite 二次型可以写为 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) x H A x f(x_1,x_2,\cdots,x_n)x^HAx f(x1,x2,⋯,xn)xHAx 二次型的核心问题是怎么把二次型标准化在一定的可逆变换下消除掉所有的交叉项
【定义】复相合 设 A , B ∈ C n × n A,B\in\mathbb C^{n\times n} A,B∈Cn×n如果存在 n 阶可逆矩阵 Q Q Q使得 Q H A Q B Q^HAQB QHAQB则称 A A A 与 B B B 复相合 【定理】每个二次型都可酉变换为标准型 任意 Hermite 二次型经过某个酉变换 x U y xUy xUy U H U − 1 U^HU^{-1} UHU−1可以化为标准型 λ 1 y 1 ‾ y 1 λ 2 y 2 ‾ y 2 ⋯ λ n y 2 ‾ y n \lambda_1\overline{y_1}y_1\lambda_2\overline{y_2}y_2\cdots\lambda_n\overline{y_2}y_n λ1y1y1λ2y2y2⋯λny2yn这里 λ i \lambda_i λi 为 A A A 的全部特征值 【定理】Hermite二次型经过适当可逆线性替换可化为规范型 Hermite二次型经过适当的可逆线性替换 x Q z xQz xQz这里 Q ∈ C n × n Q\in\mathbb C^{n\times n} Q∈Cn×n 为可逆矩阵可以华为规范型 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) z 1 ‾ z 1 ⋯ z p ‾ z p − z p 1 ‾ z p 1 − ⋯ z r ‾ z r f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\overline{z_1}z_1\cdots\overline{z_p}z_p-\overline{z_{p1}}z_{p1}-\cdots\overline{z_r}z_r f(x1,x2,⋯,xn)z1z1⋯zpzp−zp1zp1−⋯zrzr 这里 r r r 为二次型 f f f 的秩 【定理】Hermite二次型的规范型唯一
五、正定Hermite矩阵
【定义】Hermite二次型的正定、负定、半正定、半负定、不定 正定如果 ∀ x ≠ 0 \forall x\neq0 ∀x0 x H A x 0 x^HAx0 xHAx0 且 x H A x 0 x^HAx0 xHAx0 当且仅当 x 0 x0 x0则称二次型 f f f 为正定的负定如果 ∀ x ≠ 0 \forall x\neq0 ∀x0 x H A x 0 x^HAx0 xHAx0 且 x H A x 0 x^HAx0 xHAx0 当且仅当 x 0 x0 x0则称二次型 f f f 为负定的半正定如果 ∀ x ≠ 0 \forall x\neq0 ∀x0 x H A x ≥ 0 x^HAx\geq0 xHAx≥0 且 ∃ x ≠ 0 \exist x\neq0 ∃x0使得 x H A x 0 x^HAx0 xHAx0则称二次型 f f f 为半正定的半负定如果 ∀ x ≠ 0 \forall x\neq0 ∀x0 x H A x ≤ 0 x^HAx\leq0 xHAx≤0 且 ∃ x ≠ 0 \exist x\neq0 ∃x0使得 x H A x 0 x^HAx0 xHAx0则称二次型 f f f 为半负定的不定如果 ∃ x 1 ≠ 0 \exist x_1\neq0 ∃x10使得 x H A x 0 x^HAx0 xHAx0又 ∃ x 2 ≠ 0 \exist x_2\neq0 ∃x20使得 x H A x 0 x^HAx0 xHAx0则称二次型 f f f 为不定的 【定理】正定、负定、半正定、半负定、不定 与 正负惯性指数 的关系 p p p 是正惯性指数 n n n 是负惯性指数 r r r 是二次型的秩 正定 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ p r n prn prn负定 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ p 0 r n p0rn p0rn半正定 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ p r n prn prn半负定 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ p 0 r n p0rn p0rn不定 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ 0 p r ≤ n 0pr\leq n 0pr≤n 【定义】Hermite矩阵的正定、负定、半正定、半负定、不定 如果 Hermite 矩阵对应的二次型是正定、负定、半正定、半负定、不定的则该Hermite矩阵是正定、负定、半正定、半负定、不定的 【定理】正定的当且仅当条件 设 A A A 为 n 阶矩阵则 A A A 为正定的当且仅当下列条件之一 A A A 的所有特征值全部大于0存在可逆矩阵 P ∈ C n × n P\in \mathbb C^{n\times n} P∈Cn×n使得 P H A P E P^HAPE PHAPE存在可逆矩阵 Q ∈ C n × n Q\in \mathbb C^{n\times n} Q∈Cn×n使得 A Q H Q AQ^HQ AQHQ A A A 的各级顺序主子式全大于0
