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模拟肿瘤细胞增生进化轨迹 | 肿瘤生长的随机空间细胞自动机模型 | 模拟穿刺活检的收集空间局部的肿瘤块模拟针吸活检采集长而薄的组织样本 | 构建不同参数模拟合成肿瘤测试集 | 算法模型计算先验分布、计算概率分布的瓦瑟斯坦距离和欧氏距离 | 细胞进化系统动力学量化分裂差异模型。
病理学用例
Python和C骨髓细胞进化解析数学模型
Python成像质谱流式细胞术病理生理学
Python流感传播感染康复图模型计算和算法
Python脑溶质扩散生理几何模型计算
Python流感常微分方程房室数学模型
Python药物副作用生物图分析算法和矩阵降维算法
语言内容分比 R瓦瑟斯坦距离
两个概率测度 μ \mu μ 和 ν \nu ν 之间的 p th p^{\text {th }} pth 瓦瑟斯坦距离在有限 p th p^{\text {th }} pth 矩下可以定义为 W p ( μ , ν ) p inf E [ d ( X , Y ) p ] W_p(\mu, \nu)^p\inf E \left[d(X, Y)^p\right] Wp(μ,ν)pinfE[d(X,Y)p] 其中 d d d 是一个度量 E [ Z ] E [Z] E[Z] 表示随机变量 Z Z Z 的期望值下确界取随机变量 X X X 和 Y Y Y 的所有联合分布边际为分别为 μ \mu μ 和 ν \nu ν。对于 p 1 p1 p1表明 R R R 上的两个累积分布函数 F 1 F_1 F1 和 F 2 F_2 F2 之间的一维一维瓦瑟斯坦-1 度量可以写为 L 1 L_1 L1距离 W 1 ( F 1 , F 2 ) ∫ R ∣ F 1 ( x ) − F 2 ( x ) ∣ d x W_1\left(F_1, F_2\right)\int_{ R }\left|F_1(x)-F_2(x)\right| d x W1(F1,F2)∫R∣F1(x)−F2(x)∣dx 因此对于具有数值可处理的累积分布函数的分布瓦瑟斯坦-1 度量可以用数值积分来近似。值得注意的是该距离在单调变换例如在尺度变换下下不是不变的。
接下来我们展示分布 F ( ⋅ ; θ ) F(\cdot ; \theta) F(⋅;θ) 和嵌套兴趣分布 F ( ⋅ ; θ 0 ) F\left(\cdot ; \theta_0\right) F(⋅;θ0) 之间瓦瑟斯坦-1 度量的数值计算示例对于 θ 0 \theta_0 θ0 的某个固定值。我们省略了位置和比例参数但可以轻松调整 R 代码以包含这些参数。我们还展示了该函数的图 M ( θ ) W 1 ( F ( ⋅ ; θ ) , F ( ⋅ ; θ 0 ) ) ∫ R ∣ F ( x ; θ ) − F ( x ; θ 0 ) ∣ d x M(\theta)W_1\left(F(\cdot ; \theta), F\left(\cdot ; \theta_0\right)\right)\int_{ R }\left|F(x ; \theta)-F\left(x ; \theta_0\right)\right| d x M(θ)W1(F(⋅;θ),F(⋅;θ0))∫R∣F(x;θ)−F(x;θ0)∣dx 可以解释为测量参数 θ \theta θ 效果的函数。
偏斜正态概率密度函数为 f ( x ; λ ) 2 ϕ ( x ) Φ ( λ x ) f(x ; \lambda)2 \phi(x) \Phi(\lambda x) f(x;λ)2ϕ(x)Φ(λx) 其中 ϕ \phi ϕ 和 Φ \Phi Φ 分别是标准正态概率密度函数和累积分布函数 λ ∈ R \lambda \in R λ∈R。在这里我们计算 f ( x ; λ ) f(x ; \lambda) f(x;λ) 和 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 之间的瓦瑟斯坦-1 度量。
library(sn)
library(knitr)
MW1 - Vectorize(function(par){tempf - Vectorize(function(x) abs(psn(x, alphapar) - pnorm(x)) )val - integrate(tempf,-Inf,Inf)$valuereturn(val)
})lambda - -5:5
W1 - MW1(lambda)
print(kable(cbind(lambda,W1),digits4))##
##
## lambda W1
## ------- -------
## -5 0.7824
## -4 0.7741
## -3 0.7569
## -2 0.7136
## -1 0.5642
## 0 0.0000
## 1 0.5642
## 2 0.7136
## 3 0.7569
## 4 0.7741
## 5 0.7824结果绘图
curve(MW1,-10,10, xlab ~lambda, ylabM, cex.axis1.5, cex.lab1.5, lwd2, n 250)两部分正态概率密度函数定义为 f ( x ; γ ) ϕ ( x 1 γ ) I ( x 0 ) ϕ ( x 1 − γ ) I ( x ≥ 0 ) f(x ; \gamma)\phi\left(\frac{x}{1\gamma}\right) I(x0)\phi\left(\frac{x}{1-\gamma}\right) I(x \geq 0) f(x;γ)ϕ(1γx)I(x0)ϕ(1−γx)I(x≥0) 其中 ϕ \phi ϕ 是标准正态概率密度函数 γ ∈ ( − 1 , 1 ) \gamma \in(-1,1) γ∈(−1,1)。在这里我们计算 f ( x ; γ ) f(x ; \gamma) f(x;γ) 和 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 之间的瓦瑟斯坦-1度量。
library(twopiece)
library(knitr)MW1 - Vectorize(function(par){tempf - Vectorize(function(x) abs(ptp3(x, 0, 1, par, FUN pnorm, param eps) - pnorm(x)) )val - integrate(tempf,-Inf,Inf)$valuereturn(val)
})gamma - seq(-0.9,0.9,by0.1)
W1 - MW1(gamma)
print(kable(cbind(gamma,W1),digits4))##
##
## gamma W1
## ------ -------
## -0.9 1.4362
## -0.8 1.2766
## -0.7 1.1170
## -0.6 0.9575
## -0.5 0.7979
## -0.4 0.6383
## -0.3 0.4787
## -0.2 0.3192
## -0.1 0.1596
## 0.0 0.0000
## 0.1 0.1596
## 0.2 0.3192
## 0.3 0.4787
## 0.4 0.6383
## 0.5 0.7979
## 0.6 0.9575
## 0.7 1.1170
## 0.8 1.2766
## 0.9 1.4362结果绘图
curve(MW1,-0.99,0.99, xlab ~gamma, ylabM, cex.axis1.5, cex.lab1.5, lwd2, n 250)指数威布尔分布是一种三参数分布。它包含一个尺度参数、一个形状参数和一个幂形状参数 α \alpha α。 指数威布尔分布包含作为特殊情况 ( α 1 ) (\alpha1) (α1) 的威布尔分布。 指数威布尔分布已用于对生存时间进行建模因为它的风险函数可以捕获基本形状常数、递增、递减、浴盆和单峰。
如果我们有兴趣比较两条生存曲线 S 1 S_1 S1 和 S 2 S_2 S2一种可能的方法是计算生存曲线之间的面积即它们之间的 L 1 L_1 L1 距离。此外由于 S i ( ⋅ ) 1 − F i ( ⋅ ) , i 1 , 2 S_i(\cdot)1-F_i(\cdot), i1,2 Si(⋅)1−Fi(⋅),i1,2因此 ∫ R ∣ S 1 ( x ) − S 2 ( x ) ∣ d x ∫ R ∣ F 1 ( x ) − F 2 ( x ) ∣ d x W 1 ( F 1 , F 2 ) \int_{ R _{}}\left|S_1(x)-S_2(x)\right| d x\int_{ R _{}}\left|F_1(x)-F_2(x)\right| d xW_1\left(F_1, F_2\right) ∫R∣S1(x)−S2(x)∣dx∫R∣F1(x)−F2(x)∣dxW1(F1,F2) 在这里我们将测量在尺度和形状参数为 1 的情况下功率参数 α \alpha α 的影响与具有单位尺度和形状参数的威布尔分布相比。
library(knitr)pexpweibull- function(t,lambda,kappa,alpha,log.pFALSE){log.cdf - alpha*pweibull(t,scalelambda,shapekappa,log.pTRUE)ifelse(log.p, return(log.cdf), return(exp(log.cdf)))
} MW1 - Vectorize(function(par){tempf - Vectorize(function(x) abs(pexpweibull(x, 1, 1, par) - pweibull(x,1,1)) )val - integrate(tempf,0,Inf)$valuereturn(val)
})alpha - seq( 0.1,5,by0.1)
W1 - MW1(alpha)
print(kable(cbind(alpha,W1),digits4))##
##
## alpha W1
## ------ -------
## 0.1 0.8465
## 0.2 0.7118
## 0.3 0.5920
## 0.4 0.4842
## 0.5 0.3863
## 0.6 0.2967
## 0.7 0.2142
## 0.8 0.1378
## 0.9 0.0666
## 1.0 0.0000
## 1.1 0.0626
## 1.2 0.1215
## 1.3 0.1773
## 1.4 0.2301
## 1.5 0.2804
## 1.6 0.3283
## 1.7 0.3740
## 1.8 0.4178
## 1.9 0.4597
## 2.0 0.5000
## 2.1 0.5387
## 2.2 0.5761
## 2.3 0.6120
## 2.4 0.6468
## 2.5 0.6804
## 2.6 0.7129
## 2.7 0.7444
## 2.8 0.7749
## 2.9 0.8045
## 3.0 0.8333
## 3.1 0.8613
## 3.2 0.8886
## 3.3 0.9151
## 3.4 0.9409
## 3.5 0.9661
## 3.6 0.9907
## 3.7 1.0146
## 3.8 1.0381
## 3.9 1.0610
## 4.0 1.0833
## 4.1 1.1052
## 4.2 1.1266
## 4.3 1.1476
## 4.4 1.1682
## 4.5 1.1883
## 4.6 1.2080
## 4.7 1.2274
## 4.8 1.2464
## 4.9 1.2650
## 5.0 1.2833结果绘图
curve(MW1,0.001,5, xlab ~alpha, ylabM, cex.axis1.5, cex.lab1.5, lwd2, n 1000)参阅、更新计算思维 | 亚图跨际
