网站建设功能图,网站开发新技术探索,网络加速器app,盐城手机网站建设公司挖掘数据背后的规律是数学建模的重要任务#xff0c;拟合与插值是常用的分析方法
掌握拟合与插值的基本概念和方法熟悉Matlab相关程序实现能够从数据中挖掘数学规律
拟合问题的基本提法
拟合问题的概念
已知一组数据(以二维为例)#xff0c;即平面上n个点 ( x i , y i ) …挖掘数据背后的规律是数学建模的重要任务拟合与插值是常用的分析方法
掌握拟合与插值的基本概念和方法熟悉Matlab相关程序实现能够从数据中挖掘数学规律
拟合问题的基本提法
拟合问题的概念
已知一组数据(以二维为例)即平面上n个点 ( x i , y i ) , i 1 , 2 , … , n (x_{i},y_{i}),i 1,2,\dots,n (xi,yi),i1,2,…,n寻求一个函数 y f ( x ) yf(x) yf(x)使得 f ( x ) f(x) f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近 ∑ i 1 n ( δ i ) 2 → m i n \sum_{i1}^{n}(\delta_{i})^{2}\to min i1∑n(δi)2→min
确定 f ( x ) f(x) f(x)表达式的形式估计 f ( x ) f(x) f(x)中待定系数
拟合要解决的两个基本问题
确定 f ( x ) f(x) f(x)表达式的形式 数据可视化直观判断 f ( x ) f(x) f(x)的形式 通过机理分析来确定 f ( x ) f(x) f(x)的形式 饮酒驾车中酒精浓度拟合问题 y k e − a t y ke^{-at} yke−at SARS的传播规律拟合问题 i ( t ) 1 1 ( 1 i 0 − 1 ) e − λ t i(t)\frac{1}{1\left( \frac{1}{i_{0}}-1 \right)e^{-\lambda t}} i(t)1(i01−1)e−λt1 估计 f ( x ) f(x) f(x)中的待定参数 根据 f ( x ) f(x) f(x)表达式中待定参数具体形式的不同一般有两种方法 线性最小二乘法适用于 f ( x ) f(x) f(x)中待定参数为线性形式 非线性最小二乘法适用于 f ( x ) f(x) f(x)中待定参数为非线性形式
线性最小二乘拟合及其实现
线性最小二乘拟合
基本思路
选定一组基本函数 r 1 ( x ) , r 2 ( x ) , … , r m ( x ) ; m n r_{1}(x),r_{2}(x),\dots,r_{m}(x);mn r1(x),r2(x),…,rm(x);mn确定 f ( x ) f(x) f(x)表达式 f ( x ) a 1 r 1 ( x ) a 2 r 2 ( x ) ⋯ a m r m ( x ) f(x)a_{1}r_{1}(x)a_{2}r_{2}(x)\dotsa_{m}r_{m}(x) f(x)a1r1(x)a2r2(x)⋯amrm(x) 其中 a 1 , a 2 , … , a m a_{1},a_{2},\dots,a_{m} a1,a2,…,am为待定参数按照最小二乘原则确定待定系数 求 a 1 , a 2 , … , a m a_{1},a_{2},\dots,a_{m} a1,a2,…,am使n个点 ( x i , y i ) (x_{i},y_{i}) (xi,yi)与曲线 f ( x ) f(x) f(x)的距离平方和 J ( a 1 , a 2 , … , a m ) J(a_{1},a_{2},\dots,a_{m}) J(a1,a2,…,am)最小 m i n a 1 , a 2 , … , a m J ( a 1 , a 2 , … , a m ) ∑ i 1 n ( δ i ) 2 min_{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}}J(a_{1},a_{2},\dots,a_{m})\sum_{i1}^{n}(\delta_{i})^{2} mina1,a2,…,amJ(a1,a2,…,am)i1∑n(δi)2 ∑ i 1 n ( y i − a 1 r 1 x i − a 1 r 1 x i − ⋯ − a m r m x i ) 2 \sum_{i1}^{n}(y_{i}-a_{1}r_{1}x_{i}-a_{1}r_{1}x_{i}-\dots-a_{m}r_{m}x_{i})^{2} i1∑n(yi−a1r1xi−a1r1xi−⋯−amrmxi)2
优化问题的求解 超定方程组方程个数大于未知量个数的方程组 { r 11 a 1 r 12 a 2 ⋯ r 1 m a m y 1 r 21 a 1 r 22 a 2 ⋯ r 2 m a m y 2 … … r n 1 a 1 r n 2 a 2 ⋯ r n m a m y n \left\{\begin{matrix} r_{11}a_{1}r_{12}a_{2}\dotsr_{1m}a_{m}y_{1} \\ r_{21}a_{1}r_{22}a_{2}\dotsr_{2m}a_{m}y_{2} \\ \dots\dots \\ r_{n1}a_{1}r_{n2}a_{2}\dotsr_{nm}a_{m}y_{n} \end{matrix}\right. ⎩ ⎨ ⎧r11a1r12a2⋯r1mamy1r21a1r22a2⋯r2mamy2……rn1a1rn2a2⋯rnmamyn R ( r 11 r 12 … r 1 m r 21 r 22 … r 2 m … … … … r n 1 r n 2 … r n m ) R\begin{pmatrix} r_{11}r_{12}\dotsr_{1m} \\ r_{21}r_{22}\dotsr_{2m} \\ \dots\dots\dots\dots \\ r_{n1}r_{n2}\dotsr_{nm} \end{pmatrix} R r11r21…rn1r12r22…rn2…………r1mr2m…rnm a ( a 1 a 2 … a m ) y ( y 1 y 2 … y n ) a\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \dots \\ a_{m} \end{pmatrix}\qquad y\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \dots \\ y_{n} \end{pmatrix} a a1a2…am y y1y2…yn 超定方程组可改写为 R a y Ray Ray 一般地超定方程组是不存在解的矛盾方程组不存在准确解 需要在最小二乘的意义下求解 ∑ i 1 n ( δ i ) 2 ∑ i 1 n ( y i − a 1 r 1 x i − a 1 r 1 x i − ⋯ − a m r m x i ) 2 \sum_{i1}^{n}(\delta_{i})^{2}\sum_{i1}^{n}(y_{i}-a_{1}r_{1}x_{i}-a_{1}r_{1}x_{i}-\dots-a_{m}r_{m}x_{i})^{2} i1∑n(δi)2i1∑n(yi−a1r1xi−a1r1xi−⋯−amrmxi)2 最小化的解 a 1 , a 2 , … , a m a_{1},a_{2},\dots,a_{m} a1,a2,…,am称为超定方程组的线性最小二乘解
线性最小二乘的求解
当 R T R R^{T}R RTR可逆时超定方程组 R a y Ray Ray存在最小二乘解且为如下正规方程组的解 R T R a R T y R^{T}RaR^{T}y RTRaRTy a ( R T R ) − 1 R T y a(R^{T}R)^{-1}R^{T}y a(RTR)−1RTy 线性最小二乘的Matlab实现 对超定方程组 R n × m a m × 1 y n × 1 R_{n\times m}a_{m\times_{1}}y_{n\times_{1}} Rn×mam×1yn×1
a R \ y即可得到相应的最小二乘解
例 求二次多项式 f ( x ) a 1 x 2 a 2 x a 3 f(x)a_{1}x^{2}a_{2}xa_{3} f(x)a1x2a2xa3 中的系数 a 1 , a 2 , a 3 a_{1},a_{2},a_{3} a1,a2,a3 ( x 1 2 x 1 1 x 2 2 x 2 1 … … … x 11 2 x 11 1 ) ( a 1 a 2 a 3 ) ( y 1 y 2 … y 11 ) \begin{pmatrix} x_{1}^{2} x_{1}1\\ x_{2}^{2} x_{2}1\\ \dots \dots\dots\\ x_{11}^{2}x_{11}1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \dots \\ y_{11} \end{pmatrix} x12x22…x112x1x2…x1111…1 a1a2a3 y1y2…y11
x 0 : 0.1 : 1;
y [-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.58, 9.48, 9.30, 11.2];
R [(x.^2),x,ones(11,1)];
AR\y计算结果
A [-9.8108, 20.1293, -0.0317]f ( x ) − 9.8108 x 2 20.1293 x − 0.0317 f(x)-9.8108x^{2}20.1293x-0.0317 f(x)−9.8108x220.1293x−0.0317
非线性最小二乘拟合及其实现
基本思路
确定问题的函数表达式的形式 y f ( a 1 , a 2 , … , a m ; x ) yf(a_{1},a_{2},\dots,a_{m};x) yf(a1,a2,…,am;x) 其中 a 1 , a 2 , … , a m a_{1},a_{2},\dots,a_{m} a1,a2,…,am为待定参数按照最小二乘原则确定待定参数 在最小二乘意义下求使得 m i n a 1 , a 2 , … , a m J ( a 1 , a 2 , … , a m ) ∑ i 1 n ( δ i ) 2 min_{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}}J(a_{1},a_{2},\dots,a_{m})\sum_{i1}^{n}(\delta_{i})^{2} mina1,a2,…,amJ(a1,a2,…,am)i1∑n(δi)2 ∑ i 1 n ( y i − f ( a 1 , a 2 , … , a m ; x i ) ) 2 \sum_{i1}^{n}(y_{i}-f(a_{1},a_{2},\dots,a_{m};x_{i}))^{2} i1∑n(yi−f(a1,a2,…,am;xi))2 最小化的解 a 1 ^ , a 2 ^ , … , a m ^ \hat{a_{1}},\hat{a_{2}},\dots,\hat{a_{m}} a1^,a2^,…,am^称为待定系数 a 1 , a 2 , … , a m a_{1},a_{2},\dots,a_{m} a1,a2,…,am的非线性最小二乘解
非线性最小二乘拟合的Matlab实现
两个非线性最小二乘拟合函数
lsqcurvefitlsqnonlin
非线性最小二乘求解命令lsqcurvefit 已知数据点 x d a t a ( x d a t a 1 , x d a t a 2 , … , x d a t a n ) T xdata(xdata_{1},xdata_{2},\dots,xdata_{n})^{T} xdata(xdata1,xdata2,…,xdatan)T y d a t a ( y d a t a 1 , y d a t a 2 , … , y d a t a n ) T ydata(ydata_{1},ydata_{2},\dots,ydata_{n})^{T} ydata(ydata1,ydata2,…,ydatan)T lsqcurvefit通过求解如下最小二乘问题得到参数向量x的估计 m i n ∣ ∣ y d a t a − F ( x , x d a t a ) ∣ ∣ 2 2 m i n x ∑ i ( y d a t a i − F ( x , x d a t a i ) 2 min| |ydata-F(x,xdata)| |_{2}^{2}min_{x}\sum_{i}(ydata_{i}-F(x,xdata_{i})^{2} min∣∣ydata−F(x,xdata)∣∣22minxi∑(ydatai−F(x,xdatai)2 其中 F ( x , x d a t a ) F(x,xdata) F(x,xdata)表示预测值向量 F ( x , x d a t a ) ( F ( x , x d a t a 1 ) F ( x , x d a t a 2 ) … F ( x , x d a t a n ) ) F(x, xdata)\begin{pmatrix} F(x,xdata_{1}) \\ F(x,xdata_{2}) \\ \dots \\ F(x,xdata_{n}) \end{pmatrix} F(x,xdata) F(x,xdata1)F(x,xdata2)…F(x,xdatan) 基本格式
x lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata);fun是预先定义的函数实现待拟合非线性函数 F ( x , x d a t a ) F(x,xdata) F(x,xdata)x0给定参数初始值(lsqcurvefit求解非线性优化问题的初始迭代点)xdata和ydata是样本数据的输入和输出向量(或矩阵)x为未知参数的非线性最小二乘估计
例 F ( x , x d a t a ) ( F ( x , x d a t a 1 ) F ( x , x d a t a 2 ) … F ( x , x d a t a n ) ) F(x, xdata)\begin{pmatrix} F(x,xdata_{1}) \\ F(x,xdata_{2}) \\ \dots \\ F(x,xdata_{n}) \end{pmatrix} F(x,xdata) F(x,xdata1)F(x,xdata2)…F(x,xdatan)
x三个待定参数组成的向量xdata所有的自变量的取值组成的向量输出是待拟合的函数在每一个样本点处对应的拟合值 ( a b e − 0.02 k t 1 a b e − 0.02 k t 2 … a b e − 0.02 k t 11 ) \begin{pmatrix} abe^{-0.02kt_{1}} \\ abe^{-0.02kt_{2}} \\ \dots \\ abe^{-0.02kt_{11}} \end{pmatrix} abe−0.02kt1abe−0.02kt2…abe−0.02kt11
function f curvefun(x, tdata)
f x(1) x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中x(1)a;x(2)b;x(3)k%主程序命令
tdata 100:100:1000
ydata 1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];
x0 [0.1; 0.1; 0.1];
x lsqcurvefit(curvefun, x0, xdata, ydata)
y_pred curvefun(x, tdata)
plot(tdata, ydata, bo, tdata, y_pred, r.:) %可视化预测结果运算结果
x 0.0070 -0.0030 0.1012
y_pred 0.0045 0.0050 0.0054 0.0057 0.0059 0.0061 0.0063 0.0064 0.0065 0.0066结论 a 0.0070, b-0.0030, k1012 f ( t ) 0.0070 − 0.0030 e − 0.02 × 0.1012 × t f(t)0.0070-0.0030e^{-0.02\times 0.1012\times t} f(t)0.0070−0.0030e−0.02×0.1012×t
一维插值及其实现
一维插值的定义
已知n1个节点 ( x i , y i ) i 0 , 1 , … , n (x_{i},y_{i})i 0,1,\dots,n (xi,yi)i0,1,…,n其中 x i x_{i} xi互不相同设 a x 0 x 1 ⋯ x n b a x_{0}x_{1}\dotsx_{n}b ax0x1⋯xnb 构建一个函数 y f ( x ) yf(x) yf(x)通过全部节点即 f ( x i ) y i ; i 0 , 1 , … , n f(x_{i})y_{i};\quad i0,1,\dots,n f(xi)yi;i0,1,…,n 用函数 f ( x ) f(x) f(x)计算任一被插值点 x ∗ x^{*} x∗处的插值即 y ∗ f ( x ∗ ) y^{*}f(x^{*}) y∗f(x∗)
拉格朗日插值
已知n1个节点 ( x i , y i ) i 0 , 1 , … , n (x_{i},y_{i})i 0,1,\dots,n (xi,yi)i0,1,…,n构造一个n次多项式 P n ( x ) P_{n}(x) Pn(x)满足 P n ( x i ) y i ; i 1 , 2 , … , n P_{n}(x_{i})y_{i};\quad i1,2,\dots,n Pn(xi)yi;i1,2,…,n 被称为拉格朗日插值多项式构造方法如下 P n ( x ) ∑ i 1 n L i ( x ) y i P_{n}(x)\sum_{i1}^{n}L_{i}(x)y_{i} Pn(x)i1∑nLi(x)yi 其中 L i ( x ) L_{i}(x) Li(x)为n次多项式 L i ( x ) ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) … ( x − x i − 1 ) ( x − x i 1 ) … ( x − x n ) ( x i − x 0 ) ( x i − x 1 ) … ( x i − x i − 1 ) ( x i − x i 1 ) … ( x i − x n ) L_{i}(x)\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})\dots(x-x_{i-1})(x-x_{i1})\dots(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})\dots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i1})\dots(x_{i}-x_{n})} Li(x)(xi−x0)(xi−x1)…(xi−xi−1)(xi−xi1)…(xi−xn)(x−x0)(x−x1)…(x−xi−1)(x−xi1)…(x−xn) 称为拉格朗日插值基函数 L i ( x j ) { 0 , i ≠ j 1 , i j L_{i}(x_{j}) \left\{\begin{matrix} 0,\ i\ne j \\ 1,\ ij \end{matrix}\right. Li(xj){0, ij1, ij P n ( x j ) y j j 0 , 1 , … , n P_{n}(x_{j})y_{j}\quad j0,1,\dots,n Pn(xj)yjj0,1,…,n 两点一次线性插值多项式 P 1 ( x ) ( x − x 1 ) ( x 0 − x 1 ) y 0 ( x − x 0 ) ( x 1 − x 0 ) y 1 P_{1}(x)\frac{(x-x_{1})}{(x_{0}-x_{1})}y_{0}\frac{(x-x_{0})}{(x_{1}-x_{0})}y_{1} P1(x)(x0−x1)(x−x1)y0(x1−x0)(x−x0)y1 三点二次抛物插值多项式 P 2 ( x ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) y 0 ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) y 1 ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) y 2 P_{2}(x)\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}y_{0}\frac{(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}y_{1}\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}y_{2} P2(x)(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)(x−x2)y0(x1−x0)(x1−x2)(x−x0)(x−x2)y1(x2−x0)(x2−x1)(x−x0)(x−x1)y2 有可能产生震荡现象
例
随着节点个数的增加多项式阶数不断增大 P n ( x ) P_{n}(x) Pn(x)产生较大的震荡现象
分段线性插值
基本思想构造一条一条的直线段进行插值计算 L n ( x ) ∑ i 1 n l i ( x ) y i L_{n}(x)\sum_{i1}^{n}l_{i}(x)y_{i} Ln(x)i1∑nli(x)yi 其中 l i ( x ) { x − x i − 1 ( x i − x i − 1 ) , x i − 1 ≤ x x i x − x i 1 ( x i − x i 1 ) , x i ≤ x x i 1 0 , o t h e r w i s e l_{i}(x) \left\{\begin{matrix} \frac{x-x_{i-1}}{(x_{i}-x_{i-1})},\qquad x_{i-1}\le xx_{i} \\ \frac{x-x_{i1}}{(x_{i}-x_{i1})},\qquad x_{i}\le xx_{i1} \\ 0,\qquad otherwise \end{matrix}\right. li(x)⎩ ⎨ ⎧(xi−xi−1)x−xi−1,xi−1≤xxi(xi−xi1)x−xi1,xi≤xxi10,otherwise
思路简单易实现计算量小不会产生震荡现象光滑性不好
三次样条插值
基本思想 构造一段一段的三次多项式曲线进行插值计算 s i ( x ) a i ( x ) 3 b i ( x ) 2 c i x d i , i 1 , 2 , … , n s_{i}(x)a_{i}(x)^{3}b_{i}(x)^{2}c_{i}xd_{i},\ i1,2,\dots,n si(x)ai(x)3bi(x)2cixdi, i1,2,…,n 三次样条插值函数 S ( x ) { s i ( x ) , x ∈ [ x i − 1 , x i ] ∣ i 1 , 2 , … , n } S(x)\left \{ s_{i}(x),x\in [x_{i-1},x_{i}]| i1,2,\dots,n \right \} S(x){si(x),x∈[xi−1,xi]∣i1,2,…,n} 利用如下三类条件
插值条件n1 S ( x i ) y i , i 0 , 1 , 2 , … , n S(x_{i})y_{i},\ i0,1,2,\dots,n S(xi)yi, i0,1,2,…,n二阶光滑3n-3 S ( x ) ∈ C 2 [ x 0 , x n ] S(x)\in C^{2}[x_{0},x_{n}] S(x)∈C2[x0,xn]自然边界条件2 S ′ ′ ( x 0 ) S ′ ′ ( x n ) 0 S(x_{0})S(x_{n})0 S′′(x0)S′′(xn)0 可求得三次样条插值函数的所有待定系数
一维插值的Matlab实现
yi interp1(x, y, xi, method)xy插值节点对应的坐标xi被插值节点的坐标yi与xi对应的插值结果‘method’插值方法 nearest最邻近插值 linear分段线性插值 spline三次样条插值 cubic立方插值 缺省时分段线性插值x是单调的xi不能够超过x的范围(内插)
例 hours 1:12;
temps [5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];
h 1 : 0.1 : 12
t_nearest interp1(hours, temps, h, nearest);%邻近插值
t_linear interp1(hours, temps, h, linear);%分段线性插值
t_spline interp1(hours, temps, h, spline);%三次样条插值hours原始的插值节点横坐标的取值向量temps因变量温度的取值h被插值节点对应的向量每隔1/10小时产生一个时间点对应的等差数列
subplot(2,2,1), plot(hours, temps, bo)
subplot(2,2,2), plot(hours, temps, bo, h, t_nearest,r:)%邻近插值
subplot(2,2,3), plot(hours, temps, bo, h, t_linear, r:)%线性插值
subplot(2,2,4), plot(hours, temps, bo, h, t_spline, r:)%三次样条插值二维插值及其实现
二维插值定义 网格节点 已知mxn个节点 ( x i , y i , z i j ) ; i 1 , … , m ; j 1 , … , n (x_{i},y_{i},z_{ij});\ i1,\dots,m;j1,\dots,n (xi,yi,zij); i1,…,m;j1,…,n 其中 x i , y i x_{i},y_{i} xi,yi互不相同设 a x 1 x 2 ⋯ x m b a x_{1}x_{2}\dotsx_{m}b ax1x2⋯xmb c y 1 y 2 ⋯ y n d cy_{1}y_{2}\dotsy_{n}d cy1y2⋯ynd 构造一个二元函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y)通过已知节点即 f ( x i , y j ) z i j ; i 1 , … , m ; j 1 , … , n f(x_{i},y_{j})z_{ij};\ i1,\dots,m;\ j1,\dots,n f(xi,yj)zij; i1,…,m; j1,…,n 并由此计算插值 z ∗ f ( x ∗ , y ∗ ) z^{*}f(x^{*},y^{*}) z∗f(x∗,y∗) 散乱节点 已知n个节点 ( x i , y i , z i ) ; i 1 , … , n (x_{i},y_{i},z_{i});\ i1,\dots,n (xi,yi,zi); i1,…,n 其中 x i , y i x_{i},y_{i} xi,yi互不相同 构造一个二元函数 z f ( x , y ) zf(x,y) zf(x,y)通过已知节点即 f ( x i , y j ) z i ; i 1 , … , n f(x_{i},y_{j})z_{i};\ i1,\dots,n f(xi,yj)zi; i1,…,n 并由此计算插值 z ∗ f ( x ∗ , y ∗ ) z^{*}f(x^{*},y^{*}) z∗f(x∗,y∗)
二维插值方法
最邻近插值 基本思想 将与被插值点最邻近节点的函数值作为插值结果
思路直观易理解计算量小易于实现不连续
分片线性插值 基本思想 构造一片一片的空间三角平面进行插值计算
直观易于实现连续光滑性不好
双线性插值 基本思想 构造一片一片的双线性空间二次曲面进行插值计算 双线性插值函数表达式为 f ( x , y ) ( a x b ) ( c y d ) f(x,y)(axb)(cyd) f(x,y)(axb)(cyd) 四个待定系数的确定 利用矩形四个顶点(插值节点)处的函数值建立四个方程进行求解
易理解实现函数连续光滑性不好
三次卷积插值三次样条插值 保证光滑
二维插值的Matlab实现
网格节点
z interp2(x0, y0, z0, x, y, method)x0y0z0指定插值节点对应的坐标xy指定被插值节点的信息z被插值节点的插值结果method插值方法 nearest最邻近插值 linear线性插值 C 0 C^{0} C0 spline三次样条插值 C 2 C^{2} C2 cubic三次卷积插值 C 1 C^{1} C1 缺省时线性插值x0y0单调xy为同型矩阵或一个行向量另一个列向量xy不能够超过x0y0的范围(内插)
散乱节点
z gridata(x0, y0, z0, x, y, method)x0y0z0指定插值节点对应的坐标xy指定被插值节点的信息z被插值节点的插值结果method插值方法 nearest最邻近插值 linear线性插值 C 0 C^{0} C0 cubic三次插值 C 2 C^{2} C2 v4双调和样条插值 C 2 C^{2} C2 缺省时线性插值xy为同型矩阵或一个行向量另一个列向量xy不能够超过x0y0的范围(内插)
例1 画出原始数据的温度分布图
x1:5;
y1:3;
temps[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];
mesh(x,y, temps)然后在xy方向上每隔0.2个单位处进行插值 再输入以下命令
xi 1: 0.2 : 5;
yi 1: 0.2 : 3;
zi interp2(x, y, temps, xi, yi, cubic);
mesh(xi, yi, zi)画出插值后的温度分布曲面图
例2 画出原始海拔高度数据分布图
x1200: 400: 4000;
y[1200 1600 2400 2800 3200 3600];
[X,Y] meshgrid(x,y);
Z[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;
1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;
1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;
1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;
1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;
1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];
surfc(X, Y, Z);meshgrid对分割向量进行网格交叉得到网格矩阵surfc三维空间曲面绘制
然后对xy方向上的取值向量加密定义被插值数据点
xi linspace(1200, 4000, 50);
yi linspace(1200, 3600, 50);
[XI,YI]meshgrid(xi,yi);linspace从1200到4000产生50个均匀分布的点构成等差数列 进行插值计算并可视化
methods {nearest, linear, spline, cubic};
for i 1 : 4ZI interp2(X, Y, Z, XI, YI, methods{i});subplot(2, 2, i);surfc(XI, YI, ZI);%这个函数直接就是把等高线画在下面title([方法:,methods{i}]);xlabel(x);ylabel(y);
end
