网站转换移动网站,e点互动网站,本地模拟wordpress,西安市高陵区建设局网站PS#xff1a;很近之前自己收集的资料一个正整数如果是另一个整数的完全平方#xff0c;那么我们就称这个数为完全平方数#xff0c;也叫做平方数。如#xff1a;0#xff0c;1#xff0c;4#xff0c;9#xff0c;16#xff0c;25#xff0c;36#xff0c;49#… PS很近之前自己收集的资料一个正整数如果是另一个整数的完全平方那么我们就称这个数为完全平方数也叫做平方数。如0149162536496481100121144169196225256289324361400……(一)完全平方数的性质 通过对这些完全平方数的观察和分析我们可以获得一些规律性的认识。下面是完全平方数的一些常用性质性质1完全平方数的末位数只能是014569。 性质2奇数的平方的个位数字为奇数十位数字为偶数。性质3如果完全平方数的十位数字是奇数则它的个位数字一定是6反之如果完全平方数的个位数字是6则它的十位数字一定是奇数。性质4凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数末尾只有奇数个“0”的自然数(不包括0本身)不是完全平方数个位数字为149而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。性质5偶数的平方是4的倍数奇数的平方是4的倍数加1。性质6奇数的平方是8n1型偶数的平方为8n或8n4型。性质7平方数的形式必为下列两种之一3k3k1。性质8不能被5整除的数的平方为5k±1型能被5整除的数的平方为5k型。性质9平方数的形式具有下列形式之一16m16m116m416m9。性质10完全平方数的各位数字之和只能是01479。性质11 a2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。性质12如果质数p能整除a但p2不能整除a则a不是完全平方数。性质13在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数即若n22 则k一定不是完全平方数。性质14一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。性质15完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。性质16若质数p整除完全平方数a则p2|a。(二)与上述性质相对应的几个结论1.个位数是2378的整数一定不是完全平方数2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数3.个位数是6十位数是偶数的整数一定不是完全平方数4.形如3n2型的整数一定不是完全平方数5.形如4n2和4n3型的整数一定不是完全平方数6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数7.形如8n2 8n3 8n5 8n68n7型的整数一定不是完全平方数8.数字和是23568的整数一定不是完全平方数。(三)范例解析[例1]一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数求此数。解设此自然数为x依题意可得x-45m2................(1)x44n2................(2)(mn为自然数)(2)-(1)可得 n2- m289 (nm)(n-m)89但89为质数它的正因子只能是1与89于是。解之得n45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。[例2]求证四个连续的整数的积加上1等于一个奇数的平方。分析设四个连续的整数为n(n1)(n2)(n3)其中n为整数。欲证n(n1)(n2)(n3)1是一奇数的平方只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。证明设这四个整数之积加上1为m则mn(n1)(n2)(n3)1(n23n1)2[n(n1)(2n1)] 2而n(n1)是两个连续整数的积所以是偶数又因为2n1是奇数因而n(n1)2n1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。[例3]求证111111111......111...1(n个1)这串数中没有完全平方数。分析形如111...1(n个1)的数若是完全平方数必是末位为1或9的数的平方即111...1(n个1)(10a1) 2 或 111...1(n个1)(10a9) 2在两端同时减去1之后即可推出矛盾。证明若111...1(n个1)(10a1) 2100a220a1则111...10100a220a 111...1(n-1个1)10a22a因为左端为奇数右端为偶数所以左右两端不相等。若111...1(n个1)(10a9) 2同理。综上所述不可能是完全平方数。另证由为奇数知若它为完全平方数则只能是奇数的平方。但已证过奇数的平方其十位数字必是偶数而十位上的数字为1所以不是完全平方数。[例4]从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个分析有奇数个约数为完全平方数即求从200至1800的自然数中有多少个完全平方数。解从200到1800的自然数中完全平方数有152162……422。共有42―15128个数满足题意。[例5]用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数解设由300个2和若干个0组成的数为A则其数字和为6003︱600 ∴3︱A此数有3的因子故9︱A。但9︱600∴矛盾。故不可能有完全平方数。[例6]试求一个四位数它是一个完全平方数并且它的前两位数字相同后两位数字也相同。解设此数为aabb则aabba0b*11此数为完全平方则必须是11的倍数。因此11︱a b而ab为0129故共有(29) (38) (47)(92)等8组可能。直接验算可知此数为774488。[例7]求满足下列条件的所有自然数(1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数。解设22n5N2其中nN为自然数可知N为奇数。N2-1611(2n-1) (N4)(N-4)11(2n-1)11︱N - 4或11︱N 4N(2k-1)*114 N22k-5 或 N22k-15 (k12......)经试数可知此自然数为1369 2601 3481 5329 6561 9025。[例8]有两个数它们各个数位的数字从左到右越来越大其中一个六位数是另一个数的平方求这两个数。解由题意可知这个六位数的个位数字应大于或等于6。∵1234563×83×643不是完全平方数又因为完全平方数个位只能是014569。∴这个六位数的个位只能是9。∴另一个数的个位只能是3或7并且另一个数是大于300的三位数。∵数字从左到右越来越大∴个位数只能是7∴可能有347357367457467经检验只有3672134689符合。[例9]甲、乙两人合养了n头羊而每头羊的卖价又恰为n元全部卖完后两人分钱方法如下先由甲拿十元再由乙拿十元如此轮流拿到最后剩下不足十元轮到乙拿去。为了平均分配甲应该补给乙多少元解n头羊的总价为n2元由题意知n2元中含有奇数个10元即完全平方数n2的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数则它的个位数字一定是6。所以n^2的末位数字为6即乙最后拿的是6元从而为平均分配甲应补给乙2元。[例10]矩形四边的长度都是小于10的整数(单位公分)这四个长度数可构成一个四位数这个四位数的千位数字与百位数字相同并且这四位数是一个完全平方数求这个矩形的面积。解设矩形的边长为xy则四位数N1000x100x10yy1100x11y11(100xy)11(99xxy)∵N是完全平方数11为质数 ∴xy能被11整除。又由分析可得xy11。∴N112*(9x1)∴9x1是一个完全平方数验算知x7满足条件。又由xy11得y4。∴Sxy28cm2。[例11]少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡这些灯泡或明或暗十分有趣。这200个灯泡按1—200编号它们的亮暗规则是第一秒全部灯泡变亮第二秒凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗第三秒凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态即亮的变暗暗的变亮一般地第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。这样继续下去每4分钟一个周期。问第200秒时明亮的灯泡有多少个分析灯泡最终是明或暗与开关被拉的次数的奇偶性有关。最后明亮的灯泡开关应被拉过奇数次。而开关被拉动的次数等于该灯泡编号数的约数的个数因此约数个数为奇数个的编号灯泡亮着即编号为完全平方数的灯泡符合题意。解某个灯泡如果它的亮暗变化的次数是奇数那么它是明亮的。根据题意可知号码为K的灯泡亮暗变化的次数等于K的约数的个数若K的约数的个数是奇数则K一定是平方数。所以200秒时那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为200以内有14个平方数所以200秒时明亮的灯泡有14个。[例12]“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数这样的三位数有多少个解设满足题目需求的平方数为χ则由45219931004625421993999552可知4521993100≤χ≤1993999552其中共有462472……542这9个完全平方数。∴共有9个三位数符合要求。(四)练习题1把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……请问这个多位数共有( )位数字。246305乘以一个自然数a积是一个完全平方数则最小的a是 。3祖孙三人孙子和爷爷的年龄之积是1512而爷爷父亲孙子三人的年龄之积是完全平方数父亲的年龄是 。4把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方这个和数是 。5已知n/2是完全平方数n/3是立方数则n的最小值为 。6已知一个自然数的平方的十位数是8这个完全平方数的个位数字 。7如n减58是完全平方数n加31也是完全平方数则n是 。8从19861989199219951998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是 。9用240个5和若干个0组成的数是否为完全平方数10是否存在自然数ab使得2ab11*7是完全平方数11一所小学开运动会全体学生在操场上排队如果每行24人26行排不完27行又有余如果每行23人27行排不完28行又有余。后来体育老师调整了队形正好排成每行人数和行数相等的队形问这所小学共有学生多少人12小东和小明一起到果园去栽树准备好的树苗正好可以把这些果树栽成每行每列相同棵数的方阵每人栽好8棵就休息一次当他们把300多棵树苗都栽好时每人休息的次数相同但最后一次小明栽的树不到8棵。问他们共栽了多少树13小亮邀请小强一起玩弹子游戏小亮拿出一盒弹子(不满100个)弹子的数量是一个完全平方数。他们每人10个、10个的轮流取出但到最后一轮小强只拿到6个。为了平均分配小亮给了小强2个这样两人拿到的弹子就一样多了。问这盒弹子共有多少个14两个正整数的和比积小1997并且其中一个是完全平方数求较大数与较小数的差。15设pmn为一组勾股数其中p为奇质数且np nm。求证2n-1必为完全平方数。16设平方数y2是11个相继整数的平方和求y的最小值。17求自然数n使Sn91725……(8n1)4n25n为完全平方数。18是否存在一个2000位的整数它是某整数的平方且在十进制中至少有1999个数字是519是否存在两个正整数ab使得(a22b)与(b22a)同为完全平方数20若ab为整数求证[a4b4(ab)4]/2是完全平方数。21求k的最大值使得37可以表示为k个连续正整数之和。22若ab为整数且24a21b2。求证ab中有且仅有一个是5的倍数。23求证若a是完全平方数则a的正约数的个数一定是奇数反之若自然数a的正约数的个数为奇数则a是完全平方数。24求出满足下列条件的所有三位数这个三位数的平方的末三位数就是原来的三位数。25若d为自然数求证2d-15d-113d-1不可能都是完全平方数。26加上400后就可以成为完全平方数的四位数有几个27四个连续正整数的倒数和为19/20则这四个整数的平方和是 。28求证对任意正整数k2k-1和2k1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和。29若ab是相邻两个自然数ca*b求证a2b2c2是某个奇数的平方。30使得m2m7是完全平方数的所有整数m的积是多少31设正整数abcd满足a262b2 d2102c2求c2d2-a2-b2的值。32使282112n为完全平方数的n的值。33若A1A2A3……Ak是n的全部正约数求证nk是完全平方数。34设正整数d不等于2513求证在集合{2513d}中可以找到两个不同的元素ab使得ab-1不是完全平方数。35求一个三位数使它等于一个自然数n的平方且各位数字之积等于n-1。36接连写出偶数个1形成的数A再写出一半那么多个的4形成的数B。试证AB1是完全平方数。37若某整数为完全平方数且末四位数字相同求这种整数。38求使得2m3n为完全平方数的所有正整数m和n。39求一个最大的完全平方数在划掉它的最后两位数后仍得到一个完全平方数(假定划掉的两个数字中有一个非零)。40设有四个整数2513及d其中d不等于2513。证明在四个数中存在两个数ab使得a*b-1不是完全平方数。41若xy为正整数使得x2y2-x能被2xy整除。求证x为完全平方数。42证明7111…12888…89是一个完全平方数(1和8均为n-1个)。43已知直角三角形的两直角边长分别为pm斜边长为n且pmn均为正整数l为质数。求证2(pm1)是完全平方数。44。有这样一个数组由K个互不相同的自然数(不含0)组成其中任一两个数之和都是完全平方数称之为平方数组。当K3时求使这三个数之和为最小的一个平方数组。当K45时又如何45自然数N是完全平方数。N不是10的倍数但把N最后两位数字擦去剩下的刚巧还是完全平方数(例如N可以是121把21擦去剩下的1还是完全平方数)。问N最大是多少?46设1/a1/b1/c其中a、b、c是正整数且三个数的最大公因数是1求证ab是一个完全平方数47.下列哪一个数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)(A)3n2-3n3(B) 4n24n4(C)5n2-5n-5(D)7n2-7n7(E)11n211n-1148求证四个连续的自然数的乘积不能表示成整数平方的形式.49求证五个连续的自然数的乘积不能表示成整数平方的形式.50. 求证对于任意自然数nn42n32n22n1不是完全平方数.51假设n是自然数d是2n2的正约数求证n2d不是完全平方数52. 若x和y都是自然数试证x2y1和y24x3的值不能同时都是完全平方数53. 是否存在自然数x和y使得x2y和y2x都是完全平方数54. 使得n2-19n91为完全平方数的自然数n有多少个
