手表网站免费设计,上海做网站制作,服装设计师的个人网站,二手交易网站开发方式一.向量引入:
向量#xff1a;只由大小和方向决定#xff0c;不由位置决定。 二.向量加减法 向量的加法是首尾相连#xff0c;减法是尾尾相连。
而向量v向量w为平行四边形主对角线。
向量v-向量w为平行四边形副对角线。
2.向量内积点乘#xff08;内积#xff09; 内积…一.向量引入:
向量只由大小和方向决定不由位置决定。 二.向量加减法 向量的加法是首尾相连减法是尾尾相连。
而向量v向量w为平行四边形主对角线。
向量v-向量w为平行四边形副对角线。
2.向量内积点乘内积 内积表示的是cos夹角的大小如果内积大于0表示两向量的夹角小于90度等于0两向量夹角为90度小于0夹角大于90度。
3.叉乘外积 叉乘的几何意义是平行四边形的面积。
三.线性相关理解
有一组向量a,b,c。有任意系数x,y,z。a*xb*yc*z0;如果a,b,c三个向量线性无关那么只有当xyz0时结果才为0。也说明三个向量两两必有夹角。不共线
如果线性相关那么a,b,c,中至少有一个与另一个共线夹角为0。也就是说某一个向量可以拉伸成为另一个向量。
n个线性无关的向量可以通过线性组合张成一个n维空间。
在几何上
线性相关组向量中有多余向量把它去掉后不影响张成空间。
线性无关没多余向量去掉任何一个都会影响原有的张成空间每一个向量都代表了一个新的维度。
例如我们二维平面-----直角坐标系。标准正交基时两两垂直、长度为1的向量可以张成。10代表x轴方向01代表y轴方向。分别用坐标表示[(1,0)T,(0,1)T]。假如我们要直角坐标系中向量(2,3)。只需要改变这个正交基向量组的系数就可以了。2*(1,0)3(0,1)(2,0)(0,3)(2,3)。
表示向量23在x轴方向走了2步。y轴方向走了3步。
三.矩阵
每一个向量构成矩阵的列向量。
上边我们用了正交基向量1001获得向量23,相当于拉伸了正交基向量。
而这个用矩阵来描述就是进行了线性变换。[(1,0)T,(0,1)T][2,3][2,3],表示由正交基变量组成的矩阵与系数矩阵[2,3]相乘。它的几何意义是向量(2,3)在由正交基坐标系下的映射。如果不是正交基所组成的矩阵而是别的[2,3]在别的基构成的坐标系中又会是别的点。而我们如果要把别的基的点转到直角坐标系下那么就要乘该矩阵的逆矩阵。一个矩阵乘它的逆矩阵等于单位矩阵。例如我们[(0,1)T,(1,1)T][x,y][2,3],在基[0,1][1,1]下,在平面直角坐标系中的向量(x,y)线性变换在此坐标系下面是[2,3]如果我们要求(x,y)就要变到直角坐标系下。只需要左乘[(0,1)T,(1,1)T]-1逆矩阵,那么就是E[x,y][(0,1)T,(1,1)T]-1[2,3]。E为单位矩阵,也是直角坐标系。
秩矩阵(向量组)可以张成空间的维度用r表示。
奇异矩阵行列式为0的矩阵也就是维度变小的矩阵。不满秩的矩阵。但我们不知道维度变得是多小比如由三维到二维是小从三围到一维也是小。
非奇异矩阵行列式不为0的矩阵。满秩矩阵维度不变的矩阵。
逆矩阵:如果矩阵A,B,ABBA,那么说明A可逆写作A^-1。
下面是矩阵的一下运算规则
求逆矩阵 所以我们知道矩阵可逆的充要条件是矩阵行列式不为0。 四.行列式
几何意义二维中,是由基围成的平行四边形面积。
在三维中是由基围成的平行六面体体积。 如果行列式为0就相当于没有面积也就是说被压缩到更小维度如直角坐标系维度到一条坐标轴。
所以我们用矩阵的秩来描述就是满秩矩阵行列式不为0不满秩矩阵,行列式为0。秩是用来表示线性无关的向量数量不满秩就相当于没围起来就没有面积行列式为0。
下面是行列式的性质和运算规则。 余子式和代数余子式 五.次线性方程组的解 用矩阵的线性变换求解方程组 初等矩阵对单位矩阵进行一次初等行变换所得到的矩阵。
初等行变换实际上就是初等矩阵与矩阵间的乘法。
下面涉及高等数学微分方程的内容 特征值求法 一个矩阵乘一个特征向量的矩阵等于特征值标量乘特征向量的矩阵。
为了更好表示我们移项让特征值乘单位矩阵。因为等号右边为0说明空间被压缩。
特征向量的特点是经过变换后会停留在原来的直线上。相当于被拉伸或者缩减多少倍。
被拉伸或缩减多少倍就是特征值。
粗鄙理解假设v在直角坐标系E下停留在x轴用矩阵乘法表示为E*v,那么假设A也代表一个不同于直角坐标系的坐标系那么在A*v的情况下如果v还停留在x轴但是只是被拉伸或是压缩那么我们就说v是特征向量。
特征向量不为0那么只能它的左边那部分为0。
于是转化成求解左边为0的情况。 下面A为特征向量矩阵。 六.二次型 有交叉项是斜的没交叉项则是正的圆。标准化就是将斜的摆正的过程。 以上截图来自于B站小宇师兄聊考研。作者去学习并有一些自己的理解。
