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一、树 1.什么是树
2. 与树相关的概念
二、二叉树
1.什么是二叉树
2.二叉树特点
3.满二叉树与完全二叉树
4.二叉树性质 相关题目#xff1a;
5.二叉树的存储
6.二叉树的遍历和基本操作 二叉树的遍历
二叉树的基本操作 一、树 1.什么是树
子树是不相交的;…目录
一、树 1.什么是树
2. 与树相关的概念
二、二叉树
1.什么是二叉树
2.二叉树特点
3.满二叉树与完全二叉树
4.二叉树性质 相关题目
5.二叉树的存储
6.二叉树的遍历和基本操作 二叉树的遍历
二叉树的基本操作 一、树 1.什么是树
子树是不相交的;除了根结点外每个结点有且仅有一个父结点一棵N个结点的树有N-1条边。
树 非树 2. 与树相关的概念 结点的度一个结点含有子树的个数称为该结点的度 如上图A的度为6树的度一棵树中所有结点度的最大值称为树的度 如上图树的度为6叶子结点或终端结点度为0的结点称为叶结点 如上图B、C、H、I...等节点为叶结点双亲结点或父结点若一个结点含有子结点则这个结点称为其子结点的父结点 如上图A是B的父结点孩子结点或子结点一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点 如上图B是A的孩子结点根结点一棵树中没有双亲结点的结点如上图A结点的层次从根开始定义起根为第1层根的子结点为第2层以此类推树的高度或深度树中结点的最大层次 如上图树的高度为4 二、二叉树
1.什么是二叉树
一棵二叉树是结点的一个有限集合该集合
或者为空或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。 2.二叉树特点
二叉树不存在度大于2的结点树的度一棵树中所有结点 度的最大值 称为树的度二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树
3.满二叉树与完全二叉树
满二叉树: 一棵二叉树如果每层的结点数都达到最大值则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说如果一棵又树的层数为K且结点总数是2^k-1则它就是满二叉树 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一 一对应时称之为完全二叉树。 意思就是完全二叉树的所有节点从上到下从左到右依次排满。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二又树。 完全二叉树有一个特点那就是如果总结点数为奇数那么这个二叉树就只有一个度为1的节点如果是偶数就没有度为1的结点。 4.二叉树性质
1. 若规定根结点的层数为1则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1则深度为K的二叉树的最大结点数是(k0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0n21
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号则对于序号为i 的结点有
若i0双亲序号(i-1)/2i0i为根结点编号无双亲结点若2i1n左孩子序号2i1否则无左孩子若2i2n右孩子序号2i2否则无右孩子 相关题目 1. 某二叉树共有 399 个结点其中有 199 个度为 2 的结点则该二叉树中的叶子结点数为 A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199 2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中叶子结点个数为 A n B n1 C n-1 D n/2 3.一个具有767个节点的完全二叉树其叶子节点个数为 A 383 B 384 C 385 D 386 4.一棵完全二叉树的节点数为531个那么这棵树的高度为 A 11 B 10 C 8 D 12 答案 1.B
解析 叶子结点或终端结点度为0的结点称为叶结点。由前面说的二叉树性质第3点对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0n21。 所以 n2199n0n21200. 2.A
解析 设结点总数为N2n因为题目中说了这是一颗完全二叉树而结点总数是偶数那么说明这个二叉树只有一个度为1的结点。 Nn0n1n2 2nn0n21 因为n0n21所以 2n-1n0n0-1 n0n 3.B
解析 N767767为奇数所以这个二叉树没有度为1的结点n10 Nn0n1n2n0n0-1767 n0384 4.B
解析 由前面说的二叉树性质第4点具有n个结点的完全二叉树的深度k为l上取整. 532 9 10因为是上取整那么 k10. 5.二叉树的存储
二叉树的存储结构分为顺序存储和类似于链表的链式存储。二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的常见的表示方式有二叉和三叉表示方式孩子表示法以及孩子双亲表示法。
// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}
6.二叉树的遍历和基本操作
二叉树的遍历 1.前中后序遍历 前序遍历根节点 左子树 右子树中序遍历左子树 根节点 右子树后序遍历左子树 右子树 根节点 2.层序遍历 自上而下自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历 有如下二叉树大家可用上述方法自行遍历 前序遍历:A B D E H C F G 中序遍历:D B E H A F C G 后序遍历:B D E H C F G A 层序遍历:A B C D E F G H 代码实现
这里先按照上图用穷举的方式快速构建一颗二叉树不是构建二叉树的正确方法
public class BinaryTree {public static class TreeNode {TreeNode left;TreeNode right;char val;TreeNode(char val) {this.val val;}}private TreeNode root;public TreeNode createTree() {TreeNode A new TreeNode(A);TreeNode B new TreeNode(B);TreeNode C new TreeNode(C);TreeNode D new TreeNode(D);TreeNode E new TreeNode(E);TreeNode F new TreeNode(F);TreeNode G new TreeNode(G);TreeNode H new TreeNode(H);root A;A.left B;A.right C;B.left D;B.right E;C.left F;C.right G;E.right H;return A;}//前序遍历public void preOrder(TreeNode root){if(rootnull){return;}System.out.print(root.val );preOrder(root.left);preOrder(root.right);}//中序遍历public void inOrder(TreeNode root){if (rootnull){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val );inOrder(root.right);}//后序遍历public void postOrder(TreeNode root){if (rootnull){return;}preOrder(root.left);preOrder(root.right);System.out.print(root.val );}}
public class Main {public static void main(String[] args) {BinaryTree binaryTreenew BinaryTree();BinaryTree.TreeNode rootbinaryTree.createTree();System.out.print(前序遍历:);binaryTree.preOrder(root);System.out.println();System.out.print(中序遍历:);binaryTree.inOrder(root);System.out.println();System.out.print(后序遍历:);binaryTree.postOrder(root);}
}
运行结果 二叉树的基本操作 1. 获取树中节点的个数
这个方法实现在这里有两种思路
1.遍历这个树是结就nodeSize 2.用子问题的思路来解决总结点数左子树结点的个数右子树结点的个数根结点 public static int nodeSize0;//获取树中节点的个数(遍历每个节点public void size(TreeNode root){if (rootnull){return;}nodeSize;size(root.left);size(root.right);}//用子问题的思路来解决总节点数左子树节点的个数右子树节点的个数根节点public int size2(TreeNode root){if (rootnull){return 0;}int tmpsize2(root.left)size2(root.right)1;return tmp;}
2.获取叶子节点的个数
叶子结点的特点就是度为0即其左子树和右子树都是空。
这个方法实现在这里有两种思路
1.遍历这个树只要root不为空且root的左子树和右子树都为空就说明root所在的结点是叶子结点 2.用子问题的思路来解决总叶子结点数左子树的叶子结点右子树的叶子结点 public int leafSize;public void getLeafNodeCount(TreeNode root) {if(root null) {return;}if(root.left null root.right null) {leafSize;}getLeafNodeCount(root.left);getLeafNodeCount(root.right);}//子问题思路这颗树的总叶子结点数左子树的叶子结点右子树的叶子结点public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {if (root null) {return 0;}if (root.left null root.right null) {return 1;}return getLeafNodeCount2(root.left) getLeafNodeCount2(root.right);}
3.获取第K层节点的个数 public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){if (rootnull){return 0;}if (k1){return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}
4.获取二叉树的高度 整棵树的高度找出 左子树的高度 和 右子树的高度 的最大值 1树的高度或深度树中结点的最大层次 // 获取二叉树的高度public int getHeight(TreeNode root){if(rootnull){return 0;}int leftHeightgetHeight(root.left);int rightHeightgetHeight(root.right);return Math.max(leftHeight,rightHeight)1;}5. 检测值为value的元素是否存在
1.先判断根节点的值是不是我们要找的value如果是就返回这个root
2.如果当前根节点不是我们要找的value那就到当前根节点的左子树去找如果左子树找不到就去右子树找。
// 检测值为value的元素是否存在private TreeNode find(TreeNode root, int val){if (rootnull){return null;}if (root.valval){System.out.println(root.val);return root;}TreeNode leftvalfind(root.left,val);if(leftval!null){return leftval;}TreeNode rightvalfind(root.right,val);if (rightval!null){return rightval;}return null;}
6.层序遍历
先入队根节点然后出队若当前根节点左右不为空则把不为空的左右入队出新的队头以此类推。 public void levelOrder(TreeNode root) {if(root null) {return;}QueueTreeNode queue new LinkedList();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur queue.poll();System.out.print(cur.val );if(cur.left ! null) {queue.offer(cur.left);}if(cur.right ! null) {queue.offer(cur.right);}}}
7.判断一棵树是不是完全二叉树
1.先把根节点放到队列当中
2.队列不为空弹出元素带入左右(可以为空)
3.当队列弹出元素为null则停止
4.最后一步判断当前队列是否元素都是nul只要出现不为nul的元素则当前二又树不是完全二叉树 public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {if(root null) return true;QueueTreeNode queue new LinkedList();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur queue.poll();if(cur ! null) {queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else {break;//结束之后 遍历队列剩下的所有元素 是不是都是null}}// 遍历队列剩下的所有元素 是不是都是nullwhile (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur queue.poll();if(cur ! null) {return false;}}return true;}
