如何搭建一个网站步骤,html5 metro风格网站,软件工程课程网站开发,潍坊建站模板搭建最大似然估计#xff1a; 最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法#xff0c;即#xff1a;“模型已定#xff0c;参数未知”。简单而言#xff0c;假设我们要统计全国人口的身高#xff0c;首先假设这个身高服从服从正态分布#xff0c;但是该分布的均…最大似然估计 最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法即“模型已定参数未知”。简单而言假设我们要统计全国人口的身高首先假设这个身高服从服从正态分布但是该分布的均值与方差未知。我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高但是可以通过采样获取部分人的身高然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差。 最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设就是所有的采样都是独立同分布的。下面我们具体描述一下最大似然估计 首先假设为独立同分布的采样θ为模型参数,f为我们所使用的模型遵循我们上述的独立同分布假设。参数为θ的模型f产生上述采样可表示为 回到上面的“模型已定参数未知”的说法此时我们已知的为未知为θ故似然定义为: 在实际应用中常用的是两边取对数得到公式如下 其中称为对数似然而称为平均对数似然。而我们平时所称的最大似然为最大的对数平均似然即 举个别人博客中的例子假如有一个罐子里面有黑白两种颜色的球数目多少不知两种颜色的比例也不知。我 们想知道罐中白球和黑球的比例但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来记录球的颜色然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程可以重复我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中有七十次是白球请问罐中白球所占的比例最有可能是多少很多人马上就有答案了70%。而其后的理论支撑是什么呢 我们假设罐中白球的比例是p那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来在记录颜色之后我们把抽出的球放回了罐中并摇匀所以每次抽出来的球的颜 色服从同一独立分布。这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中七十次是白球的概率是P(Data | M)这里Data是所有的数据M是所给出的模型表示每次抽出来的球是白色的概率为p。如果第一抽样的结果记为x1第二抽样的结果记为x2... 那么Data (x1,x2,…,x100)。这样 P(Data | M) P(x1,x2,…,x100|M) P(x1|M)P(x2|M)…P(x100|M) p^70(1-p)^30. 那么p在取什么值的时候P(Data |M)的值最大呢将p^70(1-p)^30对p求导并其等于零。 70p^69(1-p)^30-p^70*30(1-p)^290。 解方程可以得到p0.7。 在边界点p0,1P(Data|M)0。所以当p0.7时P(Data|M)的值最大。这和我们常识中按抽样中的比例来计算的结果是一样的。 假如我们有一组连续变量的采样值x1,x2,…,xn我们知道这组数据服从正态分布标准差已知。请问这个正态分布的期望值为多少时产生这个已有数据的概率最大 P(Data | M) 根据公式 可得: 对μ求导可得 ,则最大似然估计的结果为μ(x1x2…xn)/n 由上可知最大似然估计的一般求解过程 1 写出似然函数 2 对似然函数取对数并整理 3 求导数 4 解似然方程 注意最大似然估计只考虑某个模型能产生某个给定观察序列的概率。而未考虑该模型本身的概率。这点与贝叶斯估计区别。贝叶斯估计方法将在以后的博文中描述 本文参考 http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood http://www.shamoxia.com/html/y2010/1520.html 最大后验概率 最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。与最大似然估计类似但是最大的不同时最大后验估计的融入了要估计量的先验分布在其中。故最大后验估计可以看做规则化的最大似然估计。 首先我们回顾上篇文章中的最大似然估计假设x为独立同分布的采样θ为模型参数,f为我们所使用的模型。那么最大似然估计可以表示为 现在假设θ的先验分布为g。通过贝叶斯理论对于θ的后验分布如下式所示 最后验分布的目标为 注最大后验估计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式。 举例来说 假设有五个袋子各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口味)已知五个袋子中两种口味的比例分别是 樱桃 100% 樱桃 75% 柠檬 25% 樱桃 50% 柠檬 50% 樱桃 25% 柠檬 75% 柠檬 100% 如果只有如上所述条件那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼干那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个 我们首先采用最大似然估计来解这个问题写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的)则似然函数可以写作 由于p的取值是一个离散值即上面描述中的0,25%50%75%1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果。 上述最大似然估计有一个问题就是没有考虑到模型本身的概率分布下面我们扩展这个饼干的问题。 假设拿到袋子1或5的机率都是0.1拿到2或4的机率都是0.2拿到3的机率是0.4那同样上述问题的答案呢这个时候就变MAP了。我们根据公式 写出我们的MAP函数。 根据题意的描述可知p的取值分别为0,25%50%75%1g的取值分别为0.10.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。 上述都是离散的变量那么连续的变量呢假设为独立同分布的μ有一个先验的概率分布为。那么我们想根据来找到μ的最大后验概率。根据前面的描述写出MAP函数为 此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值可以等同于求 的最小值。求导可得所求的μ为 以上便是对于连续变量的MAP求解的过程。 在MAP中我们应注意的是 MAP与MLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布或者说。MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的即该概率为一个固定值。 转载于:https://www.cnblogs.com/onemorepoint/p/8168019.html
