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欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德 欧拉 (Leonhard Euler) 在1735年发表的文章《De Progressionibus harmonicus observationes》中定义。欧拉曾经使用γ作为它的符号#xff0c;并计算出了它的前6位#xff0c;1761年他又将该值计算到了16位 。 欧拉常数最先由瑞…
1 欧拉常数
欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德· 欧拉 (Leonhard Euler) 在1735年发表的文章《De Progressionibus harmonicus observationes》中定义。欧拉曾经使用γ作为它的符号并计算出了它的前6位1761年他又将该值计算到了16位 。 欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年意大利数学家马歇罗尼Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数 。 2 计算结果 3 源程序 using System;
namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm { public static partial class Number_Sequence { private static double doubleFactorial(int n) { if (n 1) return 1; else return n * doubleFactorial(n - 1); } public static double Euler_Constant(int n) { if (n 0) return 1; else return (1 / doubleFactorial(n) Euler_Constant(n - 1)); } } }
欧拉常数Euler-Mascheroni constant)
欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值。
学过高等数学的人都知道调和级数S11/21/3……是发散的证明如下
由于ln11/n)1/n n123…
于是调和级数的前n项部分和满足
Sn11/21/3…1/nln11ln11/2ln11/3…ln11/n)
ln2ln3/2ln4/3…ln[(n1/n]
ln[2*3/2*4/3*…*(n1/n]ln(n1
由于
lim Snn→∞≥lim ln(n1n→∞∞
所以Sn的极限不存在调和级数发散。
但极限Slim[11/21/3…1/n-ln(n)]n→∞却存在因为
Sn11/21/3…1/n-ln(n)ln11ln11/2ln11/3…ln11/n)-ln(n)
ln(n1-ln(n)ln11/n)
由于
lim Snn→∞≥lim ln11/n)n→∞0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n111/21/3…1/n-ln(n)-[11/21/3…1/(n1-ln(n1]
ln(n1-ln(n)-1/(n1ln11/n)-1/(n1
将ln11/n)展开取其前两项由于舍弃的项之和大于0故
ln11/n)-1/(n11/n-1/2n^2-1/(n11/(n^2n)-1/2n^20
即ln11/n)-1/(n10所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理可知Sn必有极限因此
Slim[11/21/3…1/n-ln(n)]n→∞存在。
于是设这个数为γ这个数就叫作欧拉常数他的近似值约为0.57721566490153286060651209目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中欧拉常数γ有许多应用如求某些数列的极限某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n11/(n2…1/(nn)]n→∞可以这样做
lim[1/(n11/(n2…1/(nn)]n→∞lim[11/21/3…1/(nn)-ln(nn)]n→∞-lim[11/21/3…1/n-ln(n)]n→∞lim[ln(nn)-ln(n)]n→∞γ-γln2ln2 4 代码格式
using System;namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm
{public static partial class Number_Sequence{private static double doubleFactorial(int n){if (n 1) return 1;else return n * doubleFactorial(n - 1);}public static double Euler_Constant(int n){if (n 0) return 1;else return (1 / doubleFactorial(n) Euler_Constant(n - 1));}}
}
