素材网站,做一家网站费用,顺义区网站建设,wordpress附件大小文章目录 平面上曲线积分和路径无关条件曲线积分与路径无关的定义等价描述小结充要条件定理充分性必要性 说明 线积分与路径无关时的计算#x1f47a;曲线积分与路径无关的三个等价命题等价结论 Newton-Leibniz二元函数形式积分路径的简化 应用例例 平面上曲线积分和路径无关条… 文章目录 平面上曲线积分和路径无关条件曲线积分与路径无关的定义等价描述小结充要条件定理充分性必要性 说明 线积分与路径无关时的计算曲线积分与路径无关的三个等价命题等价结论 Newton-Leibniz二元函数形式积分路径的简化 应用例例 平面上曲线积分和路径无关条件
问题对应的物理问题是,势场问题,即研究场力所作的功和路径无关的情形重点是在什么条件下,场力所作的功和路径无关,对应数学上的问题是曲线积分和路径无关条件
曲线积分与路径无关的定义
设 G G G是一个区域, P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)以及 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)在区域 G G G内具有一阶连续偏导数 若 G G G内任意指定的两个点 A , B A,B A,B,以及 G G G内从 A → B A\to{B} A→B的任意两条曲线 L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2,等式 ∫ L 1 P d x Q d y \int_{L_1}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫L1PdxQdy ∫ L 2 P d x Q d y \int_{L_2}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫L2PdxQdy(0)恒成立则称曲线积分 ∫ L P d x Q d y \int_{L}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫LPdxQdy(1)在 G G G内与路径无关,否则说明路径有关
等价描述
若曲线积分和路径无关,则式(1)成立而 ∫ L 2 P d x Q d y \int_{L_2}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫L2PdxQdy − ∫ L 2 − P d x Q d y -\int_{L_2^{-}}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y −∫L2−PdxQdy(2)代入式(1),得 ∫ L 1 P d x Q d y \int_{L_1}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫L1PdxQdy − ∫ L 2 − P d x Q d y -\int_{L_2^{-}}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y −∫L2−PdxQdy,即 ∫ L 1 P d x Q d y \int_{L_1}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫L1PdxQdy ∫ L 2 − P d x Q d y \int_{L_2^{-}}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫L2−PdxQdy 0 0 0(3)观察到 L 1 , L 2 − L_1,L_2^{-} L1,L2−构成有向闭曲线,从而式(3)可以表示为 ∮ L 1 L 2 − P d x Q d y \oint_{L_1L_{2}^{-}}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∮L1L2−PdxQdy 0 0 0(4)
小结 在区域 G G G内由曲线积分与路径无关可以推得在 G G G内沿闭曲线的曲线积分为0 反之,若在区域 G G G内沿任意闭曲线的曲线积分为0,可以推得在 G G G内曲线积分和路径无关 曲线积分 ∫ L P d x Q d y \int_{L}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫LPdxQdy在 G G G内与路径无关相当于:沿 G G G内任意闭曲线 C C C的曲线积分 ∮ C P d x Q d y 0 \oint_{C}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y0 ∮CPdxQdy0(4-1),这种形式更便于论述
充要条件定理 下面介绍上述问题中的条件是什么(充要条件) 设区域 G G G式一个单连通域,若函数 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)与 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)在 G G G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 ∫ L P d x Q d y \int_{L}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫LPdxQdy在 G G G内与路径无关(或沿 G G G内任意闭曲线的曲线积分为0)的充要条件是 ∂ P ∂ y \frac{\partial{P}}{\partial{y}} ∂y∂P ∂ Q ∂ x \frac{\partial{Q}}{\partial{x}} ∂x∂Q(5)(或写作 ( P y Q x ) (P_{y}Q_{x}) (PyQx)在 G G G内恒成立
充分性
在 G G G内任意取一条闭曲线 C C C这里要证的命题为:当条件式(5)成立时有(4-1)成立因为 G G G是单连通的,所以闭曲线 C C C所围成的闭区域 D D D全部在 G G G内,于是由假定,式(5)在 D D D上恒成立应用格林公式: ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \iint\limits_{D}(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy ∮ C P d x Q d y \oint_{C}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∮CPdxQdy (6)由式(5)可知,式(6)左端为0从而式(6)右端为0,这就证明了充分性
必要性
这里用反证法证明这里要证的命题为:若沿着 G G G内任意闭曲线的曲线积分为0,则式(5)在 G G G内成立 假设上述命题不成立,那么 G G G内至少存在一点 M 0 M_{0} M0,使得(5)不成立不妨设 ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) M 0 (\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}})_{M_{0}} (∂x∂Q−∂y∂P)M0 η 0 \eta0 η0(简写为 Q x − P y η 0 Q_{x}-P_{y}\eta0 Qx−Pyη0)(7)由于 P y , Q x P_{y},Q_{x} Py,Qx在 G G G内连续,可以在 G G G内取得一个以 M 0 M_{0} M0为圆心,半径足够小的圆形闭区域 K K K,使得在 K K K上恒有 Q x − P y ⩾ 1 2 η Q_{x}-P_{y}\geqslant{\frac{1}{2}\eta} Qx−Py⩾21η(8)于是由格林公式和二重积分性质: ∮ γ P d x Q d y \oint_{\gamma}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∮γPdxQdy ∬ K ( Q x − P y ) d x d y \iint\limits_{K}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y K∬(Qx−Py)dxdy ⩾ \geqslant ⩾ 1 2 η ⋅ σ {\frac{1}{2}\eta\cdot\sigma} 21η⋅σ(9) 其中 ∬ K ( 1 2 η ) d x d y \iint\limits_{K}(\frac{1}{2}\eta)\mathrm{d}x\mathrm{d}y K∬(21η)dxdy 1 2 η ∬ K 1 d x d y \frac{1}{2}\eta \iint\limits_{K}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y 21ηK∬1dxdy 1 2 η ⋅ σ {\frac{1}{2}\eta\cdot\sigma} 21η⋅σ这里 γ \gamma γ是 K K K的正向边界曲线, σ \sigma σ是 K K K的面积 因为 η 0 , σ 0 \eta0,\sigma0 η0,σ0所以 1 2 η ⋅ σ 0 \frac{1}{2}\eta\cdot{\sigma}0 21η⋅σ0即有式(9)左端 ∮ γ P d x Q d y 0 \oint_{\gamma}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y0 ∮γPdxQdy0(10) γ \gamma γ是 G G G内的闭曲线,式(10)指出 G G G内的闭曲线 γ \gamma γ的曲线积分不为0(大于0)而我们知道(命题条件指出) G G G内的闭曲线的曲线积分为0,因此式(10)与之矛盾,因此反证法中的假设不成立,即不存在这样的点 M 0 M_0 M0,所以式(5)在 G G G内处处成立
说明
定理中要求2个条件: G G G式单连通的 P , Q P,Q P,Q在 G G G内有一阶连续偏导数 若两个条件之一不满足,则定理结论不一定成立例如,即使区域 G G G仅有一个点 T T T不满足判定式(5)(比如无定义),就不能保证式(4-1)成立,因为点 T T T破坏了函数 P , Q , Q x , P y P,Q,Q_{x},P_{y} P,Q,Qx,Py的连续性,点 T T T通常称为奇点
线积分与路径无关时的计算
如果通过判定 Q x P y Q_{x}P_{y} QxPy在单连通区域 G G G内恒成立,则有两类计算线积分的简化方法 该路径为简单路径利用原函数
曲线积分与路径无关的三个等价命题
设曲线 L L L是属于区域 G G G内的曲线 ∫ L P d x Q d y \int_{L}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫LPdxQdy与路径无关 P y ≡ Q x P_{y}\equiv Q_x Py≡Qx P d x Q d y P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y PdxQdy d u \mathrm{d}u du(参见全微分求积相关内容)
等价结论
数学上可以证明: 若只讨论(1),(3)的等价时,不要求区域 G G G是单连通的而(1),(3)中的某一个和(2)等价时,或者说(1)(2)(3)等价时,就要求 G G G是单连通的
Newton-Leibniz二元函数形式
设函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)是二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)原函数 ∫ ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) P d x Q d y \int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫(x1,y1)(x2,y2)PdxQdy F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 1 , y 1 ) F(x_2,y_2)-F(x_1,y_1) F(x2,y2)−F(x1,y1)(1)其中 d F ( x , y ) \mathrm{d}F(x,y) dF(x,y) P d x Q d y P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y PdxQdy(1-1) 而计算二元函数的原函数可以用偏积分或凑微分的方法 虽然线积分可以用来求二元函数的原函数,但是这里目的是计算线积分,因此应用公式(1),求原函数 F F F时用偏积分或凑微分的方式求
积分路径的简化
简化积分路径,将非曲线改为直线段或折线段通常优先化为各段坐标轴平行的直线路径,而不一定是两点间的直线段,除非两点间直线段和某个坐标轴平行)有时也不是改造成直线段或折现段,还可能使圆弧
应用
例
设 C C C为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 \frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2} a2x2b2y21上由 A ( − a , 0 ) A(-a,0) A(−a,0)到 B ( a , 0 ) B(a,0) B(a,0)点的上半椭圆计算下列积分 I 1 ∫ C e x y ( x y 1 ) d x e x y x 2 d y I_1\int_{C}e^{xy}(xy1)\mathrm{d}xe^{xy}x^2\mathrm{d}y I1∫Cexy(xy1)dxexyx2dy(1) I 2 ∫ C 1 x 2 y 2 [ ( x y ) d y − ( y − x ) d x ] I_2\int_{C}\frac{1}{x^2y^2}[(xy)\mathrm{d}y-(y-x)\mathrm{d}x] I2∫Cx2y21[(xy)dy−(y−x)dx](2)
解 (1)试探 I 1 I_1 I1积分是否与路径无关, P y P_{y} Py e x y ( y x 2 2 x ) e^{xy}(yx^22x) exy(yx22x) Q x Q_{x} Qx,可见, I 1 I_1 I1和路径无关 那么可以考虑啊E2中做法 方法1 这里直接改为线段 A B AB AB,其方程为 y 0 y0 y0(代入 I 1 I_1 I1式中)化简 从而问题化简为 I 1 I_1 I1 ∫ − a a 1 d x \int_{-a}^{a} 1\mathrm{d}x ∫−aa1dx 2 a 2a 2a 方法2 考虑全微分的原函数,前提也是积分与路径无关 I 1 I_{1} I1的被积表达式可以凑成 d ( x e x y ) \mathrm{d}(xe^{xy}) d(xexy),从而 I 1 I_{1} I1 x e x y ∣ ( − a , 0 ) ( a , 0 ) xe^{xy}|_{(-a,0)}^{(a,0)} xexy∣(−a,0)(a,0) 2 a 2a 2a 这个操作类似于定积分中的Newton-Leibniz公式,再二元函数中,自变量成了二维点而已,而且是起点到终点 当原函数容易确定(凑出),则用方法2,否则用方法1 (2)试探积分 I 2 I_2 I2是否与路径无关, P y P_{y} Py y 2 − x 2 − 2 x y y^2-x^2-2xy y2−x2−2xy Q x Q_{x} Qx, ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) (x,y)\neq{(0,0)} (x,y)(0,0) 考虑到分母为 x 2 y 2 ≠ 0 x^2y^2\neq{0} x2y20,因此并不是整个平面都满足路径无关 此时可以考虑创建一个局部区域 G G G,它不包括 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点,在 G G G内继续考虑积分路径无关的性质计算 I 2 I_2 I2 此时改成直线会经过点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)因此不合适 而改成折现需要多次弯折不方便 这里考虑改造成圆弧(端点为 A , B A,B A,B,且 A B AB AB为直径) 则改造后的路径方程为 x 2 y 2 a 2 x^2y^2a^2 x2y2a2;将其代入到 I 2 I_2 I2中,使分母变为常数: I 2 ∫ C 1 1 a 2 [ ( x y ) d y − ( y − x ) d x ] I_2\int_{C_1}\frac{1}{a^2}[(xy)\mathrm{d}y-(y-x)\mathrm{d}x] I2∫C1a21[(xy)dy−(y−x)dx] 1 a 2 ∫ C 1 [ ( x y ) d y ( x − y ) d x ] \frac{1}{a^2}\int_{C_1}[(xy)\mathrm{d}y(x-y)\mathrm{d}x] a21∫C1[(xy)dy(x−y)dx](2-1) 积分路径 C C C更改为 C 1 C_1 C1(半圆弧)这个积分用 C 1 C_1 C1的参数方程 x a cos θ xa\cos\theta xacosθ, y a sin θ ya\sin\theta yasinθ代入(2-1)式可以算虽然 C 1 C_1 C1不是闭曲线,但我们可以考虑通过补线,补充一个半圆(带直径边),记为区域 D D D,使之可以用格林公式简化计算 然而格林公式的使用要注意闭曲线的方向,原来 C C C是 A → B A\to{B} A→B顺时针而 C 1 C_1 C1也从 A → B A\to{B} A→B再 B → A B\to{A} B→A的方向和闭区域 D D D的正方向(应为逆时针)相反,从而格林公式转为二重积分计算时前面要加负号 若记 F F F ( x y ) d y ( x − y ) d x (xy)\mathrm{d}y(x-y)\mathrm{d}x (xy)dy(x−y)dx, P x − y Px-y Px−y, Q x y Qxy Qxy(仔细区分 P , Q P,Q P,Q), Q x − P y Q_{x}-P_{y} Qx−Py 1 − ( − 1 ) 1-(-1) 1−(−1) 2 2 2 ∮ C 1 B A F \oint_{C_1BA}F ∮C1BAF − ∬ D 2 d σ -\iint_{D}2\mathrm{d}\sigma −∬D2dσ − 2 σ -2\sigma −2σ − 2 1 2 π a 2 -2\frac{1}{2}\pi{a^2} −221πa2 − π a 2 -\pi{a^2} −πa2(注意负号) ∫ B A F \int_{BA}F ∫BAF ∫ a − a x d x \int_{a}^{-a}x\mathrm{d}x ∫a−axdx 0 0 0(对称性和奇函数,直接得出结果为0) 由式(2-1),从而 I 2 I_2 I2 1 a 2 ( ∮ C 1 B A F − f B A F ) \frac{1}{a^2}(\oint_{C_1BA}F-f_{BA}F) a21(∮C1BAF−fBAF) 1 a 2 ( − π a 2 ) \frac{1}{a^2}(-\pi{a^2}) a21(−πa2) − π -\pi −π
例 I ∫ ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) x d x y d y x 2 y 2 I\int_{(1,0)}^{(0,1)} \frac{x\mathrm{d}xy\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2y^2}} I∫(1,0)(0,1)x2y2 xdxydy P x x 2 y 2 P\frac{x}{\sqrt{x^2y^2}} Px2y2 x和 Q y x 2 y 2 Q\frac{y}{\sqrt{x^2y^2}} Qx2y2 y;可以验证,当 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) (x,y)\neq{(0,0)} (x,y)(0,0)时 Q x Q_{x} Qx − x y ( x 2 y 2 ) − 3 2 -xy(x^2y^2)^{-\frac{3}{2}} −xy(x2y2)−23 P y P_{y} Py, ( x , y ≠ 0 ) (x,y\neq{0}) (x,y0),平面 x O y xOy xOy在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)外满足曲线积分与路径无关 这里我们应用上述等价的第一条,避开对单连通的要求可以通过直接凑全微分: x d x y d y x 2 y 2 \frac{x\mathrm{d}xy\mathrm{dy}}{\sqrt{x^2y^2}} x2y2 xdxydy 1 2 d ( x 2 y 2 ) x 2 y 2 \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}(x^2y^2)}{\sqrt{x^2y^2}} 21x2y2 d(x2y2) d x 2 y 2 \mathrm{d}\sqrt{x^2y^2} dx2y2 从而 x 2 y 2 \sqrt{x^2y^2} x2y2 是被积函数的一个原函数,则 I I I x 2 y 2 ∣ ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) \sqrt{x^2y^2}|_{(1,0)}^{(0,1)} x2y2 ∣(1,0)(0,1) 1 − 1 0 1-10 1−10
