如何做网站链接分享朋友圈,做推文网站除了秀米还要什么,网站推广的宣传途径,广州新塘网站建设【平面几何】三角形的内心与内切圆#xff08;性质归纳#xff09;
注记: 三角形内切圆半径记为 r r r, 外接圆半径记为 R R R, 顶点 A A A 点所对的旁切圆半径记为 r A r_A rA, 以此类推.
性质1-1. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC B…【平面几何】三角形的内心与内切圆性质归纳
注记: 三角形内切圆半径记为 r r r, 外接圆半径记为 R R R, 顶点 A A A 点所对的旁切圆半径记为 r A r_A rA, 以此类推.
性质1-1. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 设直线 E F EF EF 交直线 B C BC BC 于 T T T, 则 D D D, T T T 调和分割 B C BC BC, A D AD AD 交圆 I I I 于 P P P, T P TP TP 与圆 I I I 相切.
配图
证明: 对于 △ A B C \triangle ABC △ABC 和截线 E F T EFT EFT, 由梅涅劳斯定理, C E / E A ⋅ A F / B F ⋅ B T / C T 1 CE/EA\cdot AF/BF\cdot BT/CT1 CE/EA⋅AF/BF⋅BT/CT1, A E A F AEAF AEAF, 因此 B T / C T B F / C E BT/CTBF/CE BT/CTBF/CE, B F B D BFBD BFBD, C D C E CDCE CDCE, 所以 B T / C T B D / C D BT/CTBD/CD BT/CTBD/CD, 显然 T T T 在 A A A 的极线上, A A A 在 T T T 的极线上. D D D 显然也在 T T T 的极线上, 因此 T T T 的极线是 A D AD AD, P P P 是 T T T 的极线与圆 I I I 的交点, 因此 T P TP TP 与圆 I I I 相切.
性质1-2. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 连结 A D AD AD 交 △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 于 P P P, 过点 P P P 作内切圆的切线交 B C BC BC 于 T T T, 作一条割线交圆 I I I 于 M M M, N N N, 则 B M BM BM, C N CN CN, A D AD AD 三线共点. 连结 B M BM BM 交内切圆 I I I 于 M ′ M M′, 连结 M ′ T MT M′T 交圆 I I I 于 N ′ N N′, 连结 M ′ T MT M′T 交圆 I I I 于 N ′ N N′, 则 N ′ N N′ 在 M ′ T MT M′T 上.
配图
证明: 证明 N N N, N ′ N N′, C C C 三点共线.
由性质1可知 E F EF EF 也经过点 T T T, 下面证明四边形 D N ′ E N DNEN DN′EN 为调和四边形. 显然四边形 D M ′ F M DMFM DM′FM 是调和四边形, D N ′ / D M ′ D T / T M ′ DN/DMDT/TM DN′/DM′DT/TM′, N ′ E / M ′ F E T / T M ′ NE/MFET/TM N′E/M′FET/TM′, D N / D M D T / T M DN/DMDT/TM DN/DMDT/TM, N E / M F T E / T M NE/MFTE/TM NE/MFTE/TM, D N ′ / N ′ E D M ′ / M ′ F ⋅ ( D T / E T ) DN/NEDM/MF\cdot (DT/ET) DN′/N′EDM′/M′F⋅(DT/ET), D N / N E D M / M F ⋅ ( D T / E T ) DN/NEDM/MF\cdot (DT/ET) DN/NEDM/MF⋅(DT/ET), 因此 D N ′ / N ′ E D N / N E DN/NEDN/NE DN′/N′EDN/NE. 由此可知 M N M ′ N ′ MNMN MNM′N′ 是圆内接四边形, 由性质1可知 A D AD AD 是 T T T 的极线, 由圆内接四边形的性质可知 M M ′ MM MM′, N N ′ NN NN′ 的交点在 A D AD AD 上.
性质2. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 连结 A D AD AD 交内切圆 I I I 于 P P P, 连结 P E PE PE, P F PF PF, D E DE DE, D F DF DF, 则 P F / P E D F / D E PF/PEDF/DE PF/PEDF/DE (四边形 D E P F DEPF DEPF 为调和四边形).
配图
证明: △ A P F ∼ △ A F D → P F / D F A F / A D \triangle APF \sim \triangle AFD \rightarrow PF/DFAF/AD △APF∼△AFD→PF/DFAF/AD, 同理, P E / E D A E / A D PE/EDAE/AD PE/EDAE/AD, A F A E AFAE AFAE, 因此 P F / F D P E / E D PF/FDPE/ED PF/FDPE/ED.
性质3-1. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 连结 A D AD AD, 交圆 I I I 于 P P P, 交 E F EF EF于 Q Q Q, 则 A A A, Q Q Q 调和分割 D D D, P P P.
配图
证明: A P ⋅ A D A E 2 AP\cdot ADAE^2 AP⋅ADAE2, A P / A D A E 2 / A D 2 AP/ADAE^2/AD^2 AP/ADAE2/AD2, P Q / D Q ( P E ⋅ sin P E F ) / ( D E ⋅ sin D E F ) PQ/DQ(PE\cdot \sin PEF)/ (DE\cdot \sin DEF) PQ/DQ(PE⋅sinPEF)/(DE⋅sinDEF), sin P E F / sin D E F sin P D F / sin D P F P F / D F A F / A D \sin PEF/\sin DEF\sin PDF/\sin DPFPF/DFAF/AD sinPEF/sinDEFsinPDF/sinDPFPF/DFAF/AD, P E / D E A E / A D PE/DEAE/AD PE/DEAE/AD, 所以 P Q / D Q A F ⋅ A E / A D 2 A E 2 / A D 2 PQ/DQAF\cdot AE/AD^2AE^2/AD^2 PQ/DQAF⋅AE/AD2AE2/AD2.
性质3-2. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 过 I I I 作 B C BC BC 的垂线 l l l, 设 l l l 交内切圆于 D ′ D D′, 交 E F EF EF于 S S S, 过 A A A作 l l l的垂线垂足为 A ′ A A′, 则 A ′ A A′, S S S 调和分割 D D D, D ′ D D′.
配图
证明: 连结 A D AD AD, 显然 I I I 在 l l l 上. 考虑 S S S 的极线, S S S 的极线显然与 S I SI SI 垂直, 即与直线 l l l 垂直. 显然 E F EF EF为 A A A 的极线, 因此 A A A在 S S S 的极线上, 因此 S S S 的极线就是直线 A A ′ AA AA′.
性质4-1. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 连结 A D AD AD, 交内切圆 I I I 于 P P P, 连结 P B PB PB, P C PC PC 分别交内切圆 I I I 于 G G G, H H H, 则 G C GC GC, H B HB HB, A D AD AD 三线共点; 四边形 P G D H PGDH PGDH 为调和四边形; G E GE GE, H F HF HF, A D AD AD 三线共点.
配图
证明: 根据赛瓦定理第一角元形式逆定理, G C GC GC, H B HB HB, A D AD AD 三线共点 ⟺ P F / F G ⋅ ( D G / D H ) ⋅ ( E H / P H ) 1 \iff PF/FG\cdot (DG/DH)\cdot (EH/PH)1 ⟺PF/FG⋅(DG/DH)⋅(EH/PH)1, 四边形 P F D G PFDG PFDG, P E H D PEHD PEHD为调和四边形, P F / F G P D / G D PF/FGPD/GD PF/FGPD/GD, E H / P H H D / P D EH/PHHD/PD EH/PHHD/PD. 由此可得到此结论.
由相似 P G D E ⋅ P K / E K PGDE\cdot PK/EK PGDE⋅PK/EK, P H P K / F K ⋅ D F PHPK/FK\cdot DF PHPK/FK⋅DF, G D G K / P K ⋅ P E GDGK/PK\cdot PE GDGK/PK⋅PE, H D H K / P K ⋅ P F HDHK/PK\cdot PF HDHK/PK⋅PF, P G / P H D E / D F ⋅ ( F K / E K ) PG/PHDE/DF\cdot (FK/EK) PG/PHDE/DF⋅(FK/EK), D G / D H ( P E / P F ) ⋅ ( G K / H K ) DG/DH(PE/PF)\cdot (GK/HK) DG/DH(PE/PF)⋅(GK/HK), 四边形 P F D E PFDE PFDE为调和四边形, 所以 D E / D F P E / P F DE/DFPE/PF DE/DFPE/PF. 由相似 F K / E K G K / H K FK/EK GK/HK FK/EKGK/HK 进而 P G / P H D G / D H PG/PHDG/DH PG/PHDG/DH, 四边形 P G D H PGDH PGDH为调和四边形.
根据赛瓦定理的逆定理, G E GE GE, H F HF HF, A D AD AD三线共点 ⟺ P G / B G ⋅ B C / C D ⋅ C H / P H 1 \iff PG/BG\cdot BC/CD\cdot CH/PH1 ⟺PG/BG⋅BC/CD⋅CH/PH1, 即 P H / P G ⋅ ( B G / B D ) ⋅ ( C D / C H ) 1 PH/PG\cdot (BG/BD)\cdot (CD/CH)1 PH/PG⋅(BG/BD)⋅(CD/CH)1. B G / B D B D / B P B D / ( P D / G D ⋅ B D ) G D / P D BG/BDBD/BPBD/(PD/GD\cdot BD)GD/PD BG/BDBD/BPBD/(PD/GD⋅BD)GD/PD, C D / C H P C / C D P D / D H CD/CHPC/CDPD/DH CD/CHPC/CDPD/DH, 即 P H / P G ⋅ ( G D / D H ) 1 PH/PG\cdot (GD/DH)1 PH/PG⋅(GD/DH)1, 四边形 P G D H PGDH PGDH为调和四边形, 因此 P H / P G ⋅ ( G D / D H ) 1 PH/PG\cdot (GD/DH)1 PH/PG⋅(GD/DH)1.
性质4-2. 连结 A G AG AG, A H AH AH 分别交内切圆 I I I 于 N N N, M M M, 则 M F MF MF, N E NE NE, A D AD AD 三线共点; B M BM BM, C N CN CN, A D AD AD三线共点, G M GM GM, H N HN HN, E F EF EF, A D AD AD 四线共点.
配图
证明: G M GM GM, H N HN HN, E F EF EF, A D AD AD 四线共点:
四边形 N F G E NFGE NFGE, M E H F MEHF MEHF 为调和四边形, 进而 N F / G F N E / G E A E / A G NF/GFNE/GEAE/AG NF/GFNE/GEAE/AG, M E / H E M F / H F A F / A H ME/HEMF/HFAF/AH ME/HEMF/HFAF/AH, N F / F G ⋅ ( G H / M N ) ⋅ ( E M / E H ) ( A E / A G ) ⋅ ( A H / A N ) ⋅ ( A F / A H ) ( A E 2 / A H ⋅ A G ) ( A H / A N ) A E 2 / ( A G ⋅ A N ) 1 \begin{align} NF/FG\cdot (GH/MN)\cdot (EM/EH)(AE/AG)\cdot (AH/AN)\cdot (AF/AH)\\(AE^2/AH\cdot AG)(AH/AN)\\AE^2/(AG\cdot AN)1 \end{align} NF/FG⋅(GH/MN)⋅(EM/EH)(AE/AG)⋅(AH/AN)⋅(AF/AH)(AE2/AH⋅AG)(AH/AN)AE2/(AG⋅AN)1 由赛瓦定理第一角元形式逆定理可知 N H NH NH, M G MG MG, E F EF EF三点共线.
考虑内切圆的内接四边形 N G H M NGHM NGHM, 设 N H NH NH, M G MG MG, E F EF EF 的交点为 K K K, 设 E F EF EF 交 B C BC BC 于 T T T. 下面证明直线 G H GH GH 也交于 B C BC BC于 T . G C T. GC T.GC, H B HB HB, A D AD AD三线共点, 由性质 1 1 1, B D / C D B T / C T BD/CDBT/CT BD/CDBT/CT. 由赛瓦定理, B D / C D B G / P G ⋅ ( A H / H C ) BD/CDBG/PG\cdot (AH/HC) BD/CDBG/PG⋅(AH/HC) 进而可知 B G / P G ⋅ ( P H / C H ) ⋅ ( B T / C T ) 1 BG/PG\cdot (PH/CH)\cdot (BT/CT)1 BG/PG⋅(PH/CH)⋅(BT/CT)1, 由梅涅劳斯定理逆定理, G , H , T G, H, T G,H,T 三点共线. 由圆内接四边形性质, M N MN MN, G H GH GH, E F EF EF 三线共点, 因此 M N MN MN, G H GH GH, E F EF EF 三线共点于 T T T, 且 T T T 的极线 A D AD AD 过点 K K K 和 A A A, 证毕. M F MF MF, N E NE NE, A D AD AD 三线共点: P N / P M ( G D ⋅ ( A P / A G ) ) / ( H D ⋅ ( A P / A H ) ) G D / H D ⋅ ( A H / A G ) PN/PM(GD\cdot (AP/AG))/(HD\cdot (AP/AH))GD/HD\cdot (AH/AG) PN/PM(GD⋅(AP/AG))/(HD⋅(AP/AH))GD/HD⋅(AH/AG) M E / F N ( E H ⋅ ( A M / A E ) ) / ( F G ⋅ ( A N / A F ) ) E H / F G ⋅ ( A M / A N ) ME/FN(EH\cdot (AM/AE))/(FG\cdot (AN/AF))EH/FG\cdot (AM/AN) ME/FN(EH⋅(AM/AE))/(FG⋅(AN/AF))EH/FG⋅(AM/AN) P N / P M ⋅ ( M E / F N ) ⋅ ( D F / D E ) G D / H D ⋅ ( E H / F G ) ⋅ ( D F / D E ) ⋅ ( A H / A G ) ⋅ ( A M / A N ) PN/PM\cdot (ME/FN)\cdot (DF/DE)\\GD/HD\cdot (EH/FG)\cdot (DF/DE)\cdot (AH/AG)\cdot (AM/AN) PN/PM⋅(ME/FN)⋅(DF/DE)GD/HD⋅(EH/FG)⋅(DF/DE)⋅(AH/AG)⋅(AM/AN) △ A N M ∼ △ A H G → ( A H / A G ) ⋅ ( A M / A N ) 1 \triangle ANM \sim \triangle AHG \rightarrow (AH/AG)\cdot (AM/AN)1 △ANM∼△AHG→(AH/AG)⋅(AM/AN)1, 由 N H NH NH, M G MG MG, E F EF EF 三线共点, G D / H D ⋅ ( E H / F G ) ⋅ ( D F / D E ) 1 GD/HD\cdot (EH/FG)\cdot (DF/DE)1 GD/HD⋅(EH/FG)⋅(DF/DE)1, P N / P M ⋅ ( M E / F N ) ⋅ ( D F / D E ) 1 PN/PM\cdot (ME/FN)\cdot (DF/DE)1 PN/PM⋅(ME/FN)⋅(DF/DE)1. 由赛瓦定理第一角元形式逆定理可知 M F MF MF, N E NE NE, A D AD AD 三点共线. B M BM BM, C N CN CN, A D AD AD三线共点证明:
结合性质1-2, 过 B M BM BM, C N CN CN 和内切圆的两个交点所作的直线过 T T T, 再结合圆内接四边形性质可得此结论.
性质5. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 射线 A I AI AI 交内切圆于 P P P, Q Q Q, 则 P P P, Q Q Q 分别为 △ A E F \triangle AEF △AEF的内心和旁心.
配图
证明: 不失一般性, 设 c ≥ b c \geq b c≥b. P P P 到 A F AF AF的距离为 r 1 r_1 r1, 根据相似可知: r / r 1 A I / A P r / cos ( A / 2 ) r / cos ( A / 2 ) − r r/r_1AI/AP\frac{r/\cos(A/2)}{r/\cos(A/2)-r} r/r1AI/APr/cos(A/2)−rr/cos(A/2) r 1 r ( 1 − cos ( A / 2 ) ) P T r_1r(1-\cos (A/2))PT r1r(1−cos(A/2))PT, 即 r 1 P T r_1PT r1PT, 因此 P P P 是 △ A E F \triangle AEF △AEF 内心. Q Q Q 到 A F AF AF 的距离为 r 2 r_2 r2, 根据相似可知: r / r 2 A I / A Q ( r / cos ( A / 2 ) ) / ( ( r / cos ( A / 2 ) ) r ) r/r_2AI/AQ(r/\cos(A/2))/((r/\cos(A/2))r) r/r2AI/AQ(r/cos(A/2))/((r/cos(A/2))r) r 2 r ( 1 cos ( A / 2 ) ) Q T r_2r(1\cos (A/2))QT r2r(1cos(A/2))QT, 即 r 2 Q T r_2QT r2QT, 因此 Q Q Q 是 △ A E F \triangle AEF △AEF 旁心.
性质6. 三角形 A B C ABC ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 过 B B B, C C C分别向 C I CI CI, B I BI BI 作垂线, 垂足分别为 B ′ B B′, C ′ C C′, 则 B ′ B B′, C ′ C C′ 在 E F EF EF 上.
配图
证明: 易证 B B B, B ′ B B′, F F F, I I I, D D D 共圆, ∠ I F E A / 2 \angle IFEA/2 ∠IFEA/2, 因此 B ′ B B′, F F F, E E E 共线.
配图
推论. 过点 P P P 向 ∠ B A C \angle BAC ∠BAC, ∠ A C B \angle ACB ∠ACB 的角平分线作垂线, 垂足为 B 1 B_1 B1, B 2 B_2 B2, 连结 B 1 B 2 B_1 B_2 B1B2, 则 B 1 B 2 / / A C B_1B_2// AC B1B2//AC 且平分 A B AB AB, C B CB CB.
配图
证明: 易证 B B B, B 2 B_2 B2, F F F, I I I, D D D, B 1 B_1 B1在以 I O IO IO 为直径的圆上, B 2 B_2 B2 在直线 E F EF EF 上, B 1 B_1 B1 在直线 E D ED ED 上, 连结 D F DF DF, ∠ F B 2 ∠ F D E \angle FB_2\angle FDE ∠FB2∠FDE, ∠ F D E ∠ A E F \angle FDE\angle AEF ∠FDE∠AEF, 因此 B 1 B 2 / / A C B_1B_2// AC B1B2//AC. 延长 B B 2 BB_2 BB2 交直线 C A CA CA 于 P P P, ∠ B C B 2 ∠ T C B 2 \angle BCB_2\angle TCB_2 ∠BCB2∠TCB2, 且 C B 2 ⊥ B P CB_2\bot BP CB2⊥BP, 因此 B B 2 P B 2 BB_2PB_2 BB2PB2, 又有 B 1 B 2 / / A C B_1B_2// AC B1B2//AC, 因此 B 1 B 2 B_1B_2 B1B2 通过 A B AB AB 的中点.
性质7-1. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 点 M M M 为 B C BC BC 的中点, A H ⊥ B C AH \bot BC AH⊥BC 于点 H H H, 直线 M I MI MI 交 A H AH AH 于 Q Q Q, 则 A Q r AQr AQr.
配图
证明: 不失一般性, 设 c ≥ b c \geq b c≥b. 在 A H AH AH 上取点 Q ′ Q Q′, 使得 A Q ′ r AQr AQ′r, 下面证明 Q ′ Q Q′ 即 Q Q Q. Q Q Q 和 Q ′ Q Q′ 重合的充要条件是: I D / Q ′ H M D / M H ID/QHMD/MH ID/Q′HMD/MH, 下面验证其成立. I D r S / p IDrS/p IDrS/p, Q ′ H h − r 2 S / a − S / p QHh-r2S/a-S/p Q′Hh−r2S/a−S/p, I D / Q ′ H r / ( h − r ) a / ( b c ) ID/QHr/(h-r)a/(bc) ID/Q′Hr/(h−r)a/(bc), M D a / 2 − ( p − c ) a / 2 − ( a b − c ) / 2 ( c − b ) / 2 MDa/2-(p-c)a/2-(ab-c)/2(c-b)/2 MDa/2−(p−c)a/2−(ab−c)/2(c−b)/2, M H a / 2 − C H a / 2 − h / tan C MHa/2-CHa/2-h/\tan C MHa/2−CHa/2−h/tanC, M D / M H ( c − b ) / ( a − 2 h / tan C ) MD/MH(c-b)/(a-2h/\tan C) MD/MH(c−b)/(a−2h/tanC), 即验证: a / ( b c ) ( c − b ) / ( a − 2 h / tan C ) a/(bc)(c-b)/(a-2h/\tan C) a/(bc)(c−b)/(a−2h/tanC) c 2 − b 2 a 2 − 2 a h / tan C a 2 − 4 S / tan C a 2 − 2 a b sin C / tan C a 2 − 2 a b cos C \begin{align} c^2-b^2a^2-2ah/\tan C\\a^2-4S/\tan C\\a^2-2ab\sin C/\tan C\\a^2-2ab \cos C \end{align} c2−b2a2−2ah/tanCa2−4S/tanCa2−2absinC/tanCa2−2abcosC
由正弦定理可知其显然成立.
配图
性质7-2. 点 M M M 为 B C BC BC 的中点, A H ⊥ B C AH \bot BC AH⊥BC 于点 H H H, 内切圆 I I I 切 B C BC BC 于 D D D, 设 B C BC BC 的中点为 M M M, D D D 关于 M M M 的对称点为 D ′ D D′ ( A A A 所对旁切圆切 B C BC BC 的切点), A H AH AH 的中点为 G G G, 则 D ′ D D′, I I I, G G G 三点共线.
配图
证明: 不失一般性, 设 c ≥ b c \geq b c≥b. 连结 I D ID ID, 命题成立的充要条件是 G H / D ′ H I D / D D ′ GH/DHID/DD GH/D′HID/DD′. D ′ H B C − B D ′ − C H a − ( p − c ) − b cos C ( p − b ) − b ( a 2 b 2 c 2 ) / ( 2 a b ) ( c − b ) p / a \begin{align} DHBC-BD-CH\\a-(p-c)-b \cos C\\(p-b)-b(a^2b^2c^2)/(2ab)\\(c-b)p/a \end{align} D′HBC−BD′−CHa−(p−c)−bcosC(p−b)−b(a2b2c2)/(2ab)(c−b)p/a G H S / a GHS/a GHS/a, I D r IDr IDr, D D ′ 2 M D 2 ( M C − C D ) c − b DD2MD2(MC-CD)c-b DD′2MD2(MC−CD)c−b, G H / D ′ H S / [ ( c − b ) p GH/DHS/[(c-b)p GH/D′HS/[(c−b)p], I D / D D ′ r / ( c − b ) ID/DDr/(c-b) ID/DD′r/(c−b), 代入 S p r Spr Spr, 可得 G H / D ′ H I D / D D ′ GH/DHID/DD GH/D′HID/DD′, 证毕. ( S S S 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 面积, r r r 为内切圆半径).
2023/11/25
性质7-3. 性质7-1对于旁心亦成立.
配图
证明: 不失一般性, 设 c ≥ b c \geq b c≥b. 在高线上取 Q ′ Q Q′, 使得 A Q ′ r B AQr_B AQ′rB, 下面证明 Q ′ Q Q′ 即 Q . Q Q. Q Q.Q 和 Q ′ Q Q′ 重合的充要条件是: M H / ( p − a / 2 ) ( h − r B ) / r B MH/(p-a/2)(h-r_B)/r_B MH/(p−a/2)(h−rB)/rB. M H a / 2 − b cos C ( c 2 − b 2 ) / 2 a MH a/2-b \cos C(c^2-b^2)/2a MHa/2−bcosC(c2−b2)/2a, h 2 S / a h2S/a h2S/a, r B 2 S / ( a c − b ) r_B2S/(ac-b) rB2S/(ac−b), 代入得: M H / ( p − a / 2 ) ( c − b ) / a MH/(p-a/2)(c-b)/a MH/(p−a/2)(c−b)/a, h / r B − 1 ( c − b ) / a h/r_B-1(c-b)/a h/rB−1(c−b)/a, 显然成立.
性质7-4. 性质7-2对于旁心亦成立.
配图
证明: 不失一般性, 设 c ≥ b c \geq b c≥b. 设 A A A 所对的旁切圆切 B C BC BC 边于 D ′ D D′, 命题成立的充要条件是 r A / D D ′ G H / D H . r A S / ( b c − a ) 2 S / ( p − a ) r_A/DDGH/DH. r_AS/(bc-a)2S/(p-a) rA/DD′GH/DH.rAS/(bc−a)2S/(p−a), D D ′ c − b DDc-b DD′c−b, G H S / a GHS/a GHS/a, D H ( c − b ) ( p − a ) / ( 2 a ) DH(c-b)(p-a)/(2a) DH(c−b)(p−a)/(2a) 代入得 : r A / D D ′ 2 S / [ ( p − a ) ( c − b ) r_A/DD2S/[(p-a)(c-b) rA/DD′2S/[(p−a)(c−b)], G H / D H 2 S / [ ( p − a ) ( c − b ) GH/DH2S/[(p-a)(c-b) GH/DH2S/[(p−a)(c−b)], 显然成立.
性质7-4 (拓展). △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 外心为 O O O, 记 G A G_A GA, G B G_B GB, G C G_C GC 分别为 A A A, B B B, C C C所对应高线的中点, 则 D G A DG_A DGA, E G B EG_B EGB, F G C FG_C FGC, O I OI OI 交于一点.
配图
证明: 本结论的证明依赖于性质30的证明. 由性质7-4可知 D G A DG_A DGA 过 A A A 所对旁切圆的圆心 J A J_A JA, 设 O I OI OI 与 D G A DG_A DGA 交于 T T T, 设 J A D J_AD JAD 的中点为 R R R, 则 O R r A 2 R cos A OR \frac{r_A}{2}R \cos A OR2rARcosA, I T / O T r / O R r / ( r A 2 R cos A ) IT/OTr/ORr/(\frac{r_A}{2}R \cos A) IT/OTr/ORr/(2rARcosA), 显然该比例式是性质30中所求的 I T / T H IT/TH IT/TH的 2 2 2 倍, 由此易得此结论.
性质8-1. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. D I DI DI 交 E F EF EF 于 K K K, 则 A K AK AK 交 B C BC BC 于 B C BC BC 边的中点 M M M.
配图
证明: 过 P P P 作 I P IP IP 的垂线交 A B AB AB, A C AC AC 于 S S S, T T T. 连结 I E IE IE, I F IF IF, I S IS IS, I T IT IT, 则 F , P , I , S F,P,I,S F,P,I,S 四点共圆, I , P , T , E I,P,T, E I,P,T,E 四点共圆, 则 ∠ I F P ∠ I S P ∠ I E P ∠ I T P \angle IFP\angle ISP\angle IEP\angle ITP ∠IFP∠ISP∠IEP∠ITP, I T I S ITIS ITIS. 进而 S P P T SPPT SPPT, 显然 S T / / B C ST//BC ST//BC, 进而由相似可知, B M M C BMMC BMMC.
配图
性质8-2. D I DI DI 延长线交内切圆 I I I 于 P P P, 直线 A P AP AP 交 B C BC BC于 ∠ B A C \angle BAC ∠BAC 所对旁切圆的切点(记为 Q Q Q).
配图
证明: 过 P P P 作 B C BC BC 平行线交 A B AB AB, A C AC AC 于 B ′ B B′, C ′ C C′, 则 △ A B ′ C ′ \triangle ABC △AB′C′ 于 △ A B C \triangle ABC △ABC 关于 A A A 位似, 圆 I I I 是 △ A B ′ C ′ \triangle ABC △AB′C′ 的旁切圆, P P P 是圆 I I I 与 B ′ C ′ BC B′C′ 的切点, Q Q Q 是 P P P 的对应点, 因此 Q Q Q 是 △ A B C \triangle ABC △ABC 关于 ∠ B A C \angle BAC ∠BAC 的旁切圆的切点.
推论. 设 A P AP AP 与内切圆交于 R R R, 则 M R MR MR 与内切圆相切.
配图
证明: 显然 I M IM IM 是 △ P Q D \triangle PQD △PQD 的中位线, 进而 I M / / P Q IM//PQ IM//PQ, ∠ R I M ∠ P R I ∠ R P I ∠ D I M \angle RIM\angle PRI\angle RPI\angle DIM ∠RIM∠PRI∠RPI∠DIM, I R I D IRID IRID, 因此 △ I M R ≃ △ I M D \triangle IMR \simeq \triangle IMD △IMR≃△IMD, 因此 ∠ I R M π / 2 \angle IRM\pi/2 ∠IRMπ/2, 证毕.
性质9. △ A B C \triangle ABC △ABC的内切圆分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 三边于 D D D, E E E, F F F, 过 A A A 作 B C BC BC 的垂线交 E F EF EF 于 H H H, H H H 为 △ A B C \triangle ABC △ABC的垂心的充要条件是 D H ⊥ E F DH \bot EF DH⊥EF.
配图
证明: 连结 A H AH AH, B H BH BH, C H CH CH, D H DH DH, I E IE IE, I F IF IF.
充分性: C H ⊥ A B CH \bot AB CH⊥AB, A I / / D H AI//DH AI//DH, 所以 ∠ D H C π / 2 − ∠ I A F A / 2 \angle DHC\pi/2-\angle IAFA/2 ∠DHCπ/2−∠IAFA/2, 同理, ∠ B H D A / 2 \angle BHDA/2 ∠BHDA/2. D H DH DH 平分 ∠ B H C \angle BHC ∠BHC, ∠ F H B ∠ E H C π / 2 − A / 2 \angle FHB\angle EHC\pi/2-A/2 ∠FHB∠EHCπ/2−A/2, ∠ A F E ∠ A E F π / 2 − A / 2 \angle AFE\angle AEF\pi/2-A/2 ∠AFE∠AEFπ/2−A/2, ∠ A B H π / 2 − A \angle ABH\pi/2-A ∠ABHπ/2−A, ∠ A C H π / 2 − A \angle ACH\pi/2-A ∠ACHπ/2−A, 因此 B H ⊥ A C BH \bot AC BH⊥AC, C H ⊥ A B CH \bot AB CH⊥AB, 因此 H H H 是 △ A B C \triangle ABC △ABC 的垂心.
必要性: ∠ F H B ∠ A F E − ∠ A B H π / 2 − A / 2 − ( π / 2 − A ) A / 2 \angle FHB\angle AFE-\angle ABH\pi/2-A/2-(\pi/2-A)A/2 ∠FHB∠AFE−∠ABHπ/2−A/2−(π/2−A)A/2, ∠ I E F A / 2 \angle IEFA/2 ∠IEFA/2, I E / / B H IE//BH IE//BH, 同理 I F / / C H IF//CH IF//CH, ∠ B F H ∠ C E H \angle BFH\angle CEH ∠BFH∠CEH, ∠ F H B ∠ C H E A / 2 \angle FHB\angle CHEA/2 ∠FHB∠CHEA/2, 因此 △ B F H ∼ △ C E H \triangle BFH \sim \triangle CEH △BFH∼△CEH, B H / C H B F / C E B D / C D BH/CHBF/CEBD/CD BH/CHBF/CEBD/CD, 因此 D H DH DH 平分 ∠ B H C \angle BHC ∠BHC, D H ⊥ E F DH\bot EF DH⊥EF.
配图
性质10. ∠ F D E ( ∠ B ) / 2 ( ∠ C ) / 2 π / 2 − ∠ A / 2 \angle FDE(\angle B)/2(\angle C)/2 \pi/2 - \angle A/2 ∠FDE(∠B)/2(∠C)/2π/2−∠A/2.
配图
证明: ∠ F D E π − ∠ F D B − ∠ C D E π − ( π / 2 − ( ∠ B ) / 2 ) − ( π / 2 − ( ∠ C ) / 2 ) ( ∠ B ) / 2 ( ∠ C ) / 2 \angle FDE\pi-\angle FDB-\angle CDE\pi-(\pi/2-(\angle B)/2)-(\pi/2-(\angle C)/2)(\angle B)/2(\angle C)/2 ∠FDEπ−∠FDB−∠CDEπ−(π/2−(∠B)/2)−(π/2−(∠C)/2)(∠B)/2(∠C)/2
性质11-1. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 三边于 D D D, E E E, F F F. 过 I I I, B B B, C C C 作圆分别交直线 A B AB AB, A C AC AC 于 B ′ B B′, C ′ C C′, 则 B ′ , C ′ B,C B′,C′ 分别为 B B B, C C C 关于 A I AI AI 的对称点, 且 B ′ C ′ BC B′C′ 和内切圆 I I I 相切.
配图
证明: 以 A I AI AI 为对称轴, 作 B B B, C C C 的对称点, B ′ B B′, C ′ C C′, 它们分别在 A C AC AC, A B AB AB 上, ∠ A C ′ I C / 2 ∠ I C B \angle ACIC/2\angle ICB ∠AC′IC/2∠ICB, 因此 C ′ C C′ 在过 B B B, I I I, C C C 的圆上, 同理, B ′ B B′ 也在该圆上. 显然 △ I C B ≃ △ I C ′ B ′ \triangle ICB \simeq \triangle ICB △ICB≃△IC′B′ 互为镜像, 因此 I I I 到 B C BC BC 的距离等于 I I I 到 B ′ C ′ BC B′C′ 的距离. 进而圆 I I I 与 C ′ B ′ CB C′B′ 相切. 而 C ′ C C′, B ′ B B′ 显然为 C C C, B B B, 证毕.
配图
推论. 过 I I I, B B B, C C C 的圆关于 A I AI AI 对称.
性质11-2. 过 I I I, B B B, C C C 的圆以劣弧 B C BC BC 的中点为圆心, 且经过 A A A 所对的旁心 J a J_a Ja; 设 A I AI AI 交 B C BC BC 于 P P P, 则 I I I, J a J_a Ja 调和分割 A A A, P P P.
配图
证明: 设劣弧 B C BC BC 的中点为 O O O, 由鸡爪定理, O I O B O C OI OB OC OIOBOC, 因此 O O O 为过 I I I, B B B, C C C 的圆的圆心. ∠ B J a C B / 2 C / 2 π / 2 − A / 2 π − ∠ B I C \angle BJ_aCB/2C/2\pi/2-A/2\pi-\angle BIC ∠BJaCB/2C/2π/2−A/2π−∠BIC, 因此 J a J_a Ja 在圆 O O O 上. B I BI BI 平分 ∠ A B P \angle ABP ∠ABP, B J a ⊥ B I BJ_a \bot BI BJa⊥BI, 因此 I I I, J a J_a Ja 调和分割 A A A, P P P.
下面, 我们探究过 I I I, B B B, C C C 的圆 O O O 与内切圆 I I I 的交点.
性质11-3. 设圆 O O O 与圆 I I I 交于 K K K, L L L ( K K K 靠近 B B B) 两点, 则 K L KL KL 到点 D D D 的距离等于到 E F EF EF 的距离. △ C L D ∼ △ C E K \triangle CLD \sim \triangle CEK △CLD∼△CEK.
配图
证明: 易证 B B B, F F F, I I I, D D D 四点共圆, 由根心定理, B I BI BI, F D FD FD, K L KL KL 三线共点, 记为 G G G, B F F D BFFD BFFD, F I D I FIDI FIDI, 因此 B I BI BI 垂直平分 F D FD FD, 说明 G G G 是 F D FD FD 中点, 由此可知 K L KL KL 到点 D D D 的距离等于到 E F EF EF 的距离. 记 C K CK CK 交内切圆于除 K K K 外的 L ′ L L′ 点, 由 I K I L IKIL IKIL 可知, ∠ K C I ∠ L C I \angle KCI\angle LCI ∠KCI∠LCI. 因此直线 C K CK CK 与直线 C L CL CL 关于 C I CI CI 对称, 进而 ∠ L C D ∠ E C K \angle LCD\angle ECK ∠LCD∠ECK , 由切线性质可知, C D 2 C L ′ ⋅ C K C L ⋅ C K CD^2CL \cdot CKCL \cdot CK CD2CL′⋅CKCL⋅CK, 进而 C K / C D C E / C L CK/CDCE/CL CK/CDCE/CL, 综上, △ C L D ∼ △ C E K \triangle CLD \sim \triangle CEK △CLD∼△CEK.
性质12. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 与 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 相切于 D D D, E E E, F F F. 以 A A A 为圆心, A E AE AE 为半径作圆, D E DE DE 交圆 A A A 于 G G G, D F DF DF 交圆 A A A 于 H . H H. H H.H, A A A, G G G 共线且平行于 B C BC BC. 2022-04-09
配图
证明: 提示: 连结 H A HA HA, H G HG HG, 易证 H A / / B D HA//BD HA//BD, A G / / B D AG//BD AG//BD, 证毕.
性质13. 接上文. A D AD AD, 交内切圆 I I I 于 L L L, 连结 H L HL HL, G L GL GL, F L FL FL, E L EL EL 则 ∠ A H L ∠ A D H ∠ G D L ∠ L G A ∠ A F L ∠ A E L \angle AHL \angle ADH\angle GDL \angle LGA\angle AFL\angle AEL ∠AHL∠ADH∠GDL∠LGA∠AFL∠AEL.
配图
证明: 由相切关系可知, A E 2 A F 2 A L ⋅ A D AE^2AF^2AL \cdot AD AE2AF2AL⋅AD, 进而 A H 2 A G 2 A L ⋅ A D AH^2AG^2AL \cdot AD AH2AG2AL⋅AD. △ A H L ∼ △ A D H \triangle AHL \sim \triangle ADH △AHL∼△ADH, △ A G L ∼ △ A D G \triangle AGL \sim \triangle ADG △AGL∼△ADG. 又由 H L G L HLGL HLGL 可知, ∠ A H L ∠ A G L \angle AHL\angle AGL ∠AHL∠AGL, 所以 ∠ A H L ∠ A D H ∠ G D L ∠ L G A \angle AHL \angle ADH\angle GDL \angle LGA ∠AHL∠ADH∠GDL∠LGA.
易证 △ A F L ∼ △ A D F \triangle AFL \sim \triangle ADF △AFL∼△ADF, △ A E L ∼ △ A D E . ∠ A F L ∠ A D F \triangle AEL \sim \triangle ADE. \angle AFL\angle ADF △AEL∼△ADE.∠AFL∠ADF, ∠ A E L ∠ A D E \angle AEL\angle ADE ∠AEL∠ADE, 证毕.
性质14. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 切 A C AC AC, A B AB AB 于 E E E, F F F, D D D 为内切圆上一点, E F EF EF 与 A I AI AI 相交于 K K K, 则 ∠ I A D ∠ K D I \angle IAD\angle KDI ∠IAD∠KDI. 2022/04/09
配图
证明: 略.
性质15. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 与 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 相切于 D D D, E E E, F F F, E F EF EF 交 B C BC BC 于 T T T, 过 D D D 作 D H ⊥ E F DH \bot EF DH⊥EF 于 H H H, 则 F H / E H B D / C D FH/EHBD/CD FH/EHBD/CD ( △ B F H ∼ △ C E H \triangle BFH \sim \triangle CEH △BFH∼△CEH).
配图
证明: 在 E F EF EF 上取点 H ′ H H′, 使得 H ′ F / H ′ E B F / C E HF/HEBF/CE H′F/H′EBF/CE, 连结 H ′ B HB H′B, H ′ C HC H′C. 又有 ∠ B F H ∠ C E H \angle BFH \angle CEH ∠BFH∠CEH, 所以 △ B F H △ C E H \triangle BFH \triangle CEH △BFH△CEH. ∠ F H B ∠ C H E \angle FHB \angle CHE ∠FHB∠CHE, B H / C H B D / C D BH/CHBD/CD BH/CHBD/CD, 因此 D H DH DH平分 ∠ B H C \angle BHC ∠BHC. 因此 D H ⊥ E F DH \bot EF DH⊥EF.
性质16-1. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 切 B C BC BC , A C AC AC , A B AB AB 于 D D D , E E E , F F F. A D AD AD 交圆 I I I 于 L L L , 过 L L L 作圆 I I I 的切线 l l l , 直线 D F DF DF 交 l l l 于 S S S , 直线 D E DE DE 交 l l l 于 T T T, l l l 交 B C BC BC 于 G G G, 则 L L L, G G G 调和分割 S S S, T T T.
配图
证明: E F EF EF 过 G G G, D D D, G G G 调和分割 B C BC BC, 因此 A B AB AB, A D AD AD, A C AC AC, A T AT AT 是调和线束, 设 A D AD AD 交 E F EF EF 于 K K K, 则 K K K, G G G 调和分割 E F EF EF, 进而 D F DF DF, D K DK DK, D E DE DE, D G DG DG 是调和线束, 进而可得此结论.
性质16-2. S C SC SC, T B TB TB, A D AD AD 三线共点. 2022/04/19
配图
证明: 设 B T BT BT 交 A D AD AD 于 X X X, C S CS CS 交 A D AD AD 于 X ′ X X′
对 △ L D G \triangle LDG △LDG 和截线 B X T BXT BXT 应用梅涅劳斯定理可知: L X / X D ⋅ B D / B G ⋅ G T / L T 1 LX/XD \cdot BD/BG \cdot GT/LT 1 LX/XD⋅BD/BG⋅GT/LT1.
对 △ L D G \triangle LDG △LDG 和截线 S X ′ C SXC SX′C 应用梅涅劳斯定理可知: L X ′ / X ′ D ⋅ C D / C G ⋅ G S / L S 1 LX/XD \cdot CD/CG\cdot GS/LS 1 LX′/X′D⋅CD/CG⋅GS/LS1, B D / B G C D / C G BD/BGCD/CG BD/BGCD/CG, G T / L T G S / L S GT/LTGS/LS GT/LTGS/LS 因此 L X / X D L X ′ / X ′ D LX/XDLX/XD LX/XDLX′/X′D. 证毕.
性质17. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB于 D D D, E E E, F F F. 设 A C AC AC 边上的旁切圆切点为 E ′ E E′, 延长 D I DI DI 交内切圆于 P P P, 作直线 A P AP AP 交 A E ′ AE AE′ 于 L L L, 交 B C BC BC 于 Q Q Q (即 B C BC BC 边上的旁切圆切点), 则 A P L Q APLQ APLQ.
配图
证明: 对于 △ A Q C \triangle AQC △AQC 及截线 E ′ L B ELB E′LB, 由梅涅劳斯定理得: A L / L Q C B / B Q ⋅ A E ′ / E ′ C AL/LQCB/BQ\cdot AE/EC AL/LQCB/BQ⋅AE′/E′C, A E ′ C E B Q C D AECEBQCD AE′CEBQCD, 因此 A L / L Q C B / E ′ C C B / A E ( r / tan C / 2 r / tan B / 2 ) / ( r / tan A / 2 ) AL/LQCB/ECCB/AE (r/\tan C/2r/\tan B/2)/(r/\tan A/2) AL/LQCB/E′CCB/AE(r/tanC/2r/tanB/2)/(r/tanA/2).
过点 P P P 作 B C BC BC 的平行线分别交 A B AB AB, A C AC AC 于 B ′ B B′, C ′ C C′. 易证 A P / P Q A B ′ / B B ′ A C ′ / C C ′ AP/PQAB/BBAC/CC AP/PQAB′/BB′AC′/CC′. 因此 A P / P Q ( B B ′ C C ′ ) / ( A B ′ C B ′ ) AP/PQ(BBCC)/(ABCB) AP/PQ(BB′CC′)/(AB′CB′), B B ′ B F B ′ F BBBFBF BB′BFB′F, C C ′ C E C ′ E CCCECE CC′CEC′E, A B ′ A F − B ′ F ABAF-BF AB′AF−B′F, A C ′ A E − C ′ E ACAE-CE AC′AE−C′E, B ′ F r tan B / 2 BFr\tan B/2 B′FrtanB/2, C ′ E r tan C / 2 CEr\tan C/2 C′ErtanC/2.
由此可知 : A P / P Q ( r tan C / 2 r tan B / 2 r / tan C / 2 r / tan B / 2 ) / ( 2 r / tan A / 2 − r tan C / 2 − r tan B / 2 ) AP/PQ(r\tan C/2r\tan B/2r/\tan C/2r/\tan B/2)/(2r/\tan A/2-r\tan C/2-r\tan B/2) AP/PQ(rtanC/2rtanB/2r/tanC/2r/tanB/2)/(2r/tanA/2−rtanC/2−rtanB/2), 其中, tan A / 2 1 / tan ( B C ) / 2 \tan A/21/\tan(BC)/2 tanA/21/tan(BC)/2, 代入后, 可以验证 ( r tan C / 2 r tan B / 2 r / tan C / 2 r / tan B / 2 ) / ( 2 r / tan A / 2 − r tan C / 2 − r tan B / 2 ) ( r / tan C / 2 r / tan B / 2 ) / ( r / tan A / 2 ) (r\tan C/2r\tan B/2r/\tan C/2r/\tan B/2)/(2r/\tan A/2-r\tan C/2-r\tan B/2)\\(r/\tan C/2r/\tan B/2)/(r/\tan A/2) (rtanC/2rtanB/2r/tanC/2r/tanB/2)/(2r/tanA/2−rtanC/2−rtanB/2)(r/tanC/2r/tanB/2)/(r/tanA/2)
因此 A P / P Q A L / L Q AP/PQAL/LQ AP/PQAL/LQ, A P L Q APLQ APLQ.
配图
性质18. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. 则 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外心 O O O, 内心 I I I, △ D E F \triangle DEF △DEF 的垂心 P P P, 重心 Q Q Q 共线. ( D E F DEF DEF 的欧拉线)
配图
证明: 由欧拉定理可知, I I I, Q Q Q, P P P 三点共线. 作直线 A I AI AI 交 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆于 M M M, 连结 O P OP OP, I D ID ID, P D PD PD. O M ⊥ B C OM\bot BC OM⊥BC, I D ⊥ B C ID \bot BC ID⊥BC, O M / / I D OM//ID OM//ID, A I ⊥ E F AI \bot EF AI⊥EF, D P ⊥ E F DP\bot EF DP⊥EF, M I / / D P MI // DP MI//DP, 记外接圆的圆心为 R R R, 内切圆的圆心为 r r r, 则 O M R OMR OMR, Q D r QDr QDr. 由垂心的性质可知, D P E F / tan ( ∠ D E F ) DPEF/\tan(\angle DEF) DPEF/tan(∠DEF), 易证 ∠ D E F π / 2 − A / 2. E F 2 r cos ( A / 2 ) \angle DEF\pi/2-A/2. EF2r \cos(A/2) ∠DEFπ/2−A/2.EF2rcos(A/2), 则 D P 2 r sin ( A / 2 ) DP2r \sin(A/2) DP2rsin(A/2). 由鸡爪定理, M I M C 2 R sin A / 2 MIMC2R\sin A/2 MIMC2RsinA/2. M I / D P R / r O M / I D MI/DPR/rOM/ID MI/DPR/rOM/ID, 进而 △ O M I ∼ △ I D P \triangle OMI \sim \triangle IDP △OMI∼△IDP, 由此易证 O O O, I I I, P P P 三点共线, 证毕.
性质19. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆切 B C BC BC 于 K K K, A D ⊥ B C AD \bot BC AD⊥BC 于 D D D, M M M 为 A D AD AD 的中点, K M KM KM 交圆 I I I 于 N N N, 作过 B B B, C C C, N N N 三点的圆 O 1 O_1 O1, 圆 O 1 O_1 O1 与圆 I I I 内切 (称为 A A A 对应的伪外接圆). 2022/04/16 出处: 锐角 △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 Ω \Omega Ω 切 B C BC BC 于点 K K K, A D AD AD 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 的高, M M M 为 A D AD AD 的中点, 直线 K M KM KM 交 Ω \Omega Ω 于另一点 N N N, 求证: △ B C N \triangle BCN △BCN 的外接圆与 Ω \Omega Ω 切于点 N N N. (2003年中国国家队培训题) 配图
证明: 作直线 N I NI NI, N K NK NK, 取 B C BC BC 的中点 Q Q Q, 并过 Q Q Q 作 B C BC BC 的垂线交 N I NI NI, N K NK NK于 O 1 O_1 O1, P P P. 连结 I K IK IK, I K / / O 1 P IK // O_1P IK//O1P, I N I K INIK INIK, 所以 O 1 P O 1 N O_1 PO_1 N O1PO1N, 以 O 1 O_1 O1 为圆心作圆, 该圆与圆 I I I 内切, 下面证明其过 B , C B, C B,C. 下面证明 B K ⋅ C K N K ⋅ P K BK \cdot CKNK \cdot PK BK⋅CKNK⋅PK. B K ( p − b ) BK(p-b) BK(p−b), C K ( p − c ) CK(p-c) CK(p−c), P K Q K / sin θ PKQK/\sin\theta PKQK/sinθ, N K 2 r cos θ NK2r \cos\theta NK2rcosθ. ( θ \theta θ 为 ∠ N M D \angle NMD ∠NMD 的值, r r r 为内切圆半径)
代入 r S / p rS/p rS/p, S p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) S\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} Sp(p−a)(p−b)(p−c) , ( p ( a b c ) / 2 p(abc)/2 p(abc)/2), Q K ( c − b ) / 2 QK(c-b)/2 QK(c−b)/2, B K ⋅ C K ( p − b ) ( p − c ) BK \cdot CK(p-b)(p-c) BK⋅CK(p−b)(p−c), N K ⋅ P K 2 r Q K ⋅ D M / D K ( S / p ) ( c − b ) / tan θ NK \cdot PK2rQK \cdot DM/DK(S/p)(c-b)/\tan \theta NK⋅PK2rQK⋅DM/DK(S/p)(c−b)/tanθ tan θ D K / D M \tan \thetaDK/DM tanθDK/DM, D K ( p − c ) − b cos C ( p − c − ( a 2 b 2 c 2 ) / ( 2 a b ) ) ( c − b ) ( p − a ) / a DK(p-c)-b \cos C(p-c-(a^2b^2c^2)/(2ab))(c-b)(p-a)/a DK(p−c)−bcosC(p−c−(a2b2c2)/(2ab))(c−b)(p−a)/a, D M S / a DMS/a DMS/a
代入可得: B K ⋅ C K ( S / p ) ( S / a ) ( c − b ) / [ ( c − b ) ( p − a ) / a ] S 2 / [ p ( p − a ) ] ( p − b ) ( p − c ) B K ⋅ C K BK \cdot CK(S/p)(S/a)(c-b)/[(c-b)(p-a)/a]S^2/[p(p-a)](p-b)(p-c) BK \cdot CK BK⋅CK(S/p)(S/a)(c−b)/[(c−b)(p−a)/a]S2/[p(p−a)](p−b)(p−c)BK⋅CK
因此圆 O 1 O_1 O1 过 B , C B,C B,C. 证毕.
配图
性质20. △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 I I I 分别切 B C BC BC, A C AC AC, A B AB AB 于 D D D, E E E, F F F. A D AD AD, B E BE BE, C F CF CF 三线共点. 设 D E DE DE 与 A B AB AB 交于 U U U, D F DF DF 与 A C AC AC 交于 V V V, E F EF EF 与 B C BC BC 交于 W W W, 则 D , E , F D,E,F D,E,F 三点共线.
配图
证明: A D AD AD, B E BE BE, C F CF CF 三线共点可利用塞瓦定理证明, 此处略. U U U, V V V, W W W 三点共线通过戴沙格定理证明: △ A B C \triangle ABC △ABC 和 △ D E F \triangle DEF △DEF 对应, 对应点连线共点, 因此对应边交点 U U U, V V V, W W W 共线.
配图
完稿于2023/12/23
