有哪些好的网站,更改wordpress后台登录图标,医疗云网站建设,请别人做网站注意事项Description 设d(x)为x的约数个数#xff0c;给定N、M#xff0c;求 \(\sum_{i1}^N\sum_{j1}^Md(ij)\) Input 输入文件包含多组测试数据。 第一行#xff0c;一个整数T#xff0c;表示测试数据的组数。 接下来的T行#xff0c;每行两个整数N、M。 Output T行#xff0c;每…Description 设d(x)为x的约数个数给定N、M求 \(\sum_{i1}^N\sum_{j1}^Md(ij)\) Input 输入文件包含多组测试数据。 第一行一个整数T表示测试数据的组数。 接下来的T行每行两个整数N、M。 Output T行每行一个整数表示你所求的答案。 Sample Input 2
7 4
5 6 Sample Output 110
121 HINT 1N, M50000 1T50000 solution 前置知识莫比乌斯反演 首先对于\(d\)函数有一个结论\[ d(ij)\sum_{d|i}\sum_{d|j}[gcd(i,j)1] \]我就是因为不知道这个结论推了半个小时无果QAQ 证明大致如下对于\(ij\)的每一个质因数\(x\)在\(i\)里出现了\(a\)次在\(j\)里出现了\(b\)次则总共有\(ab1\)中情况 然后进行转换对于任意一个要选\(q\)个的情况 若\(q\leqslant a\)就在\(i\)里选出\(q\)个\(j\)里不选。否则就在\(j\)里选出\(q-a\)个这里的在\(j\)里选实质上是在\(i\)里选满了然后再在\(j\)里选的为了不重复计数在\(j\)里选\(z\)个实质上是选了\(za\)个。对于每一个质因数都这么考虑然后只要保证\(i,j\)互质即为一种方案。 然后把这个玩意带到题目给的式子里去大力推一下可得\[ ans\sum_{d^\prime1}^{min(n,m)}\mu(d^\prime)\sum_{d_11}^{\lfloor\frac{n}{d^\prime}\rfloor}\lfloor\frac{n}{d_1d^\prime}\rfloor\sum_{d_21}^{\lfloor\frac{m}{d^\prime}\rfloor}\lfloor\frac{m}{d_2d^\prime}\rfloor \] 令\(f\)为式子后面那一块即\[ f(n)\sum_{i1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor \] 然后考虑下这个函数的性质 对于枚举的\(i\)\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)实质上就是\(n\)以内能整除\(i\)的数的个数。 反过来想对于每个数它的每一个约数都对答案有1的贡献所以\(f(n)\)等价于\(n\)以内的所有数的约数个数和。 然后线筛下约数个数和莫比乌斯函数求下前缀和整除分块下就做完了。 时间复杂度\(O(nq\sqrt{n})\)。 #includebits/stdc.h
using namespace std;#define int long long void read(int x) {x0;int f1;char chgetchar();for(;!isdigit(ch);chgetchar()) if(ch-) f-f;for(;isdigit(ch);chgetchar()) xx*10ch-0;x*f;
}void print(int x) {if(x0) putchar(-),x-x;if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%1048);
}
void write(int x) {if(!x) putchar(0);else print(x);putchar(\n);}const int maxn 5e41;int d[maxn],pri[maxn],tot,p[maxn],vis[maxn],mu[maxn];void sieve() {d[1]mu[1]1;for(int i2;imaxn;i) {if(!vis[i]) pri[tot]i,d[i]2,p[i]2,mu[i]-1;for(int t,j1;jtoti*pri[j]maxn;j) {vis[ti*pri[j]]1;if(!(i%pri[j])) {p[t]p[i]1;d[t]d[i]/p[i]*p[t];mu[t]0;break;}p[t]2,d[t]d[i]*p[t];mu[t]-mu[i];}}for(int i1;imaxn;i) mu[i]mu[i]mu[i-1];for(int i1;imaxn;i) d[i]d[i-1]d[i];
}signed main() {sieve();int t;read(t);while(t--) {int n,m;read(n),read(m);int T1,ans0;if(nm) swap(n,m);while(Tn) {int preT;Tmin(n/(n/T),m/(m/T));ans(mu[T]-mu[pre-1])*d[n/T]*d[m/T];T;}write(ans);}return 0;
}转载于:https://www.cnblogs.com/hbyer/p/10062542.html
