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设坐标平面上有点 P ( x 1 , y 1 ) P(x_1,y_1) P(x1,y1)和直线 l : A x B y C 0 l:AxByC0 l:AxByC0, A , B A,B A,B不全为0点 P P P到直线 l l l的的距离的算法推导如下 作直线 m m m通过点 P ( x 1 , y 1 ) P(x_1… 文章目录 平面上点到直线的距离 平面上点到直线的距离
设坐标平面上有点 P ( x 1 , y 1 ) P(x_1,y_1) P(x1,y1)和直线 l : A x B y C 0 l:AxByC0 l:AxByC0, A , B A,B A,B不全为0点 P P P到直线 l l l的的距离的算法推导如下 作直线 m m m通过点 P ( x 1 , y 1 ) P(x_1,y_1) P(x1,y1),并且和直线 l l l垂直,设垂足为 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)令: d 2 ∣ P 0 P 1 ∣ 2 ( x 1 − x 0 ) 2 ( y 1 − y 0 ) 2 d^2|P_0P_1|^2(x_1-x_0)^2(y_1-y_0)^2 d2∣P0P1∣2(x1−x0)2(y1−y0)2(0),所求的就是 d d d由直线垂直对应的方程关系可设直线 P P 0 PP_0 PP0的方程为 B x − A y D 0 B{x}-AyD0 Bx−AyD0(1) 因为 P P P在 P P 0 PP_0 PP0上,从而 B x 0 − A y 0 D 0 Bx_0-Ay_0D0 Bx0−Ay0D0(1-1)两式相减,得 B ( x − x 0 ) − A ( y − y 0 ) 0 B(x-x_0)-A(y-y_0)0 B(x−x0)−A(y−y0)0(1-2)将 P 0 P_0 P0代入到(1-2),得 B ( x 0 − x 1 ) − A ( y 0 − y 1 ) B(x_0-x_1)-A(y_0-y_1) B(x0−x1)−A(y0−y1)0(1-3) 又因为 P 0 P_0 P0还在 l l l上,从而 A x 0 B y 0 C 0 Ax_0By_0C0 Ax0By0C0,从而 C − A x 0 − B y 0 C-Ax_0-By_0 C−Ax0−By0(1-4),构造 t A x 1 B y 1 C tAx_1By_1C tAx1By1C,由(1-4),得 t A x 1 B y 1 − A x 0 − B y 0 tAx_1By_1-Ax_0-By_0 tAx1By1−Ax0−By0 A ( x 1 − x 0 ) B ( y 1 − y 0 ) A(x_1-x_0)B(y_1-y_0) A(x1−x0)B(y1−y0)(1-5),即 A ( x 1 − x 0 ) B ( y 1 − y 0 ) t A(x_1-x_0)B(y_1-y_0)t A(x1−x0)B(y1−y0)t(1-6) 将(1-3)两边平方加上(1-6)两边平方,整理得 ( A 2 B 2 ) [ ( x 1 − x 0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 ] (A^2B^2)[(x_1-x_0)^2(y-y_0)^2] (A2B2)[(x1−x0)2(y−y0)2] t 2 t^2 t2(1-7);代入(0),得 ( A 2 B 2 ) d 2 (A^2B^2)d^2 (A2B2)d2 t 2 t^2 t2所以 d 2 d^2 d2 t 2 ( A 2 B 2 ) \frac{t^2}{(A^2B^2)} (A2B2)t2 d d d ∣ t ∣ A 2 B 2 \frac{|t|}{\sqrt{A^2B^2}} A2B2 ∣t∣ ∣ A x 1 B y 1 C ∣ A 2 B 2 \frac{|Ax_1By_1C|}{\sqrt{A^2B^2}} A2B2 ∣Ax1By1C∣(1-8)
