网站一片空白,抖音代运营的好处,张家港外贸网站制作,wordpress 导航 主题文章目录 一、向量、矩阵范数与谱半径1、向量范数a. 定义及性质补充解释范数差 b. 常见的向量范数 l 1 l_1 l1、 l 2 l_2 l2、 l ∞ l_\infty l∞ 范数性质关系 2、矩阵范数a. 矩阵的范数b. 常见的矩阵范数相容范数算子范数 3、谱半径4、知识点总结1. 向量范数2. 矩阵范数… 文章目录 一、向量、矩阵范数与谱半径1、向量范数a. 定义及性质补充解释范数差 b. 常见的向量范数 l 1 l_1 l1、 l 2 l_2 l2、 l ∞ l_\infty l∞ 范数性质关系 2、矩阵范数a. 矩阵的范数b. 常见的矩阵范数相容范数算子范数 3、谱半径4、知识点总结1. 向量范数2. 矩阵范数3. 谱半径 5、计算例题 注意速读可直接跳转至“4、知识点总结”及“5、计算例题”部分 一、向量、矩阵范数与谱半径 当涉及到线性代数和矩阵理论时向量、矩阵范数以及谱半径是非常重要的概念下面将详细介绍这些内容 1、向量范数
a. 定义及性质 考虑一个 n n n 维向量 x x x定义一个实值函数 N ( x ) N(x) N(x)记作 N ( x ) ∥ x ∥ N(x) \|x\| N(x)∥x∥。如果 N ( x ) N(x) N(x) 满足以下条件那么它就是 x x x 上的一个向量范数或向量模
非负性 N ( x ) ≥ 0 N(x) \geq 0 N(x)≥0且 N ( x ) 0 N(x) 0 N(x)0当且仅当 x x x 是零向量。 ∥ x ∥ ≥ 0 \|x\| \geq 0 ∥x∥≥0 ∥ x ∥ 0 当且仅当 x 0 \|x\| 0 \text{ 当且仅当 } x \mathbf{0} ∥x∥0 当且仅当 x0
齐次性 对于任意实数 α \alpha α或复数有 N ( α x ) ∣ α ∣ ⋅ N ( x ) N(\alpha x) |\alpha| \cdot N(x) N(αx)∣α∣⋅N(x)。 ∥ α x ∥ ∣ α ∣ ⋅ ∥ x ∥ \| \alpha x \| |\alpha| \cdot \|x\| ∥αx∥∣α∣⋅∥x∥ 三角不等式 对于任意向量 x x x 和 y y y有 N ( x y ) ≤ N ( x ) N ( y ) N(x y) \leq N(x) N(y) N(xy)≤N(x)N(y)。 ∥ x y ∥ ≤ ∥ x ∥ ∥ y ∥ \|x y\| \leq \|x\| \|y\| ∥xy∥≤∥x∥∥y∥
补充解释 非负性 范数是非负的即它不会为负值。当且仅当向量是零向量时范数为零。 齐次性 范数在缩放乘以常数下保持一致即放大或缩小向量会按比例影响其范数。 三角不等式 范数的三角不等式表示通过两边之和的方式度量两个向量之间的距离。它确保了向量空间中的“三角形”不会变得扭曲。
范数差 由上述三角不等式可推导出 ∥ x − y ∥ ≥ ∣ ∥ x ∥ − ∥ y ∥ ∣ \|x - y\| \geq |\|x\| - \|y\|| ∥x−y∥≥∣∥x∥−∥y∥∣
推导过程 根据向量范数的三角不等式对于任意向量 x x x 和 y y y有 ∥ x − y ∥ ≤ ∥ x ∥ ∥ y ∥ \|x - y\| \leq \|x\| \|y\| ∥x−y∥≤∥x∥∥y∥ 其中
b. 常见的向量范数 l 1 l_1 l1、 l 2 l_2 l2、 l ∞ l_\infty l∞ 范数 对于一个 n n n维向量 x ( x 1 , x 2 , … , x n ) x (x_1, x_2, \ldots, x_n) x(x1,x2,…,xn) l 1 l_1 l1 范数 ∥ x ∥ 1 ∑ i 1 n ∣ x i ∣ \|x\|_1 \sum_{i1}^{n} |x_i| ∥x∥1i1∑n∣xi∣ l 2 l_2 l2 范数 ∥ x ∥ 2 ∑ i 1 n x i 2 \|x\|_2 \sqrt{\sum_{i1}^{n} x_i^2} ∥x∥2i1∑nxi2 l ∞ l_\infty l∞ 范数 ∥ x ∥ ∞ max 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ \|x\|_\infty \max_{1 \leq i \leq n} |x_i| ∥x∥∞1≤i≤nmax∣xi∣
性质 非负性 ∥ x ∥ 1 , ∥ x ∥ 2 , ∥ x ∥ ∞ ≥ 0 \|x\|_1, \|x\|_2, \|x\|_\infty \geq 0 ∥x∥1,∥x∥2,∥x∥∞≥0 齐次性 对于每个 x x x 和标量 α \alpha α这三种范数都满足齐次性即 ∥ α x ∥ 1 ∣ α ∣ ⋅ ∥ x ∥ 1 \|\alpha x\|_1 |\alpha| \cdot \|x\|_1 ∥αx∥1∣α∣⋅∥x∥1 ∥ α x ∥ 2 ∣ α ∣ ⋅ ∥ x ∥ 2 \|\alpha x\|_2 |\alpha| \cdot \|x\|_2 ∥αx∥2∣α∣⋅∥x∥2 ∥ α x ∥ ∞ ∣ α ∣ ⋅ ∥ x ∥ ∞ \|\alpha x\|_\infty |\alpha| \cdot \|x\|_\infty ∥αx∥∞∣α∣⋅∥x∥∞ 三角不等式 对于每对向量 x x x 和 y y y这三种范数都满足三角不等式 ∥ x y ∥ 1 ≤ ∥ x ∥ 1 ∥ y ∥ 1 \|x y\|_1 \leq \|x\|_1 \|y\|_1 ∥xy∥1≤∥x∥1∥y∥1 ∥ x y ∥ 2 ≤ ∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2 \|x y\|_2 \leq \|x\|_2 \|y\|_2 ∥xy∥2≤∥x∥2∥y∥2 ∥ x y ∥ ∞ ≤ ∥ x ∥ ∞ ∥ y ∥ ∞ \|x y\|_\infty \leq \|x\|_\infty \|y\|_\infty ∥xy∥∞≤∥x∥∞∥y∥∞
关系 l 1 l_1 l1 范数、 l 2 l_2 l2 范数、 l ∞ l_\infty l∞ 范数之间存在关系 ∥ x ∥ ∞ ≤ ∥ x ∥ 2 ≤ n ∥ x ∥ ∞ \|x\|_\infty \leq \|x\|_2 \leq \sqrt{n}\|x\|_\infty ∥x∥∞≤∥x∥2≤n ∥x∥∞ ∥ x ∥ ∞ ≤ ∥ x ∥ 1 ≤ n ∥ x ∥ ∞ \|x\|_\infty \leq \|x\|_1 \leq n\|x\|_\infty ∥x∥∞≤∥x∥1≤n∥x∥∞
2、矩阵范数
a. 矩阵的范数 矩阵的范数是定义在矩阵空间上的实值函数用于度量矩阵的大小或度量。对于一个矩阵 A A A矩阵范数通常表示为 N ( A ) N(A) N(A) 或 ∣ ∣ A ∣ ∣ ||A|| ∣∣A∣∣满足以下条件 非负性Non-negativity对于任意矩阵 A A A有 N ( A ) ≥ 0 N(A) \geq 0 N(A)≥0且等号成立当且仅当 A A A 是零矩阵。 齐次性Homogeneity对于任意标量 k k k 和矩阵 A A A有 N ( k A ) ∣ k ∣ ⋅ N ( A ) N(kA) |k| \cdot N(A) N(kA)∣k∣⋅N(A)。 三角不等式Triangle Inequality对于任意两个矩阵 A A A 和 B B B有 N ( A B ) ≤ N ( A ) N ( B ) N(A B) \leq N(A) N(B) N(AB)≤N(A)N(B)。
b. 常见的矩阵范数
相容范数
对于任意两个矩阵 A A A 和 B B B有 ∣ ∣ A B ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ B ∣ ∣ ||AB|| \leq ||A|| \cdot ||B|| ∣∣AB∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣B∣∣这被称为相容性质。对于任意矩阵 A A A 和向量 x x x有 ∣ ∣ A x ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ ||Ax|| \leq ||A|| \cdot ||x|| ∣∣Ax∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣x∣∣这也是相容性质。
算子范数 具体而言常用的算子范数是 p p p范数其中 p p p 是一个实数。
当 p ∞ p \infty p∞ 时算子范数被定义为矩阵行的绝对值之和的最大值。即 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ max 1 ≤ i ≤ n ∑ j 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_\infty \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j1}^n |a_{ij}| ∣∣A∣∣∞1≤i≤nmaxj1∑n∣aij∣当 p 1 p 1 p1 时算子范数被定义为矩阵列的绝对值之和的最大值。即 ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 max 1 ≤ j ≤ n ∑ i 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_1 \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i1}^n |a_{ij}| ∣∣A∣∣11≤j≤nmaxi1∑n∣aij∣当 p 2 p 2 p2 时算子范数被定义为 A A A 的谱半径。谱半径是矩阵的特征值的按模最大值表示为 p ( A ) max ∣ λ ∣ p(A) \max |\lambda| p(A)max∣λ∣其中 λ \lambda λ 是 A A A 的特征值。
3、谱半径 待完善……
4、知识点总结
1. 向量范数 l 1 l_1 l1 范数曼哈顿范数 ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 ∑ i 1 n ∣ x i ∣ ||x||_1 \sum_{i1}^{n} |x_i| ∣∣x∣∣1i1∑n∣xi∣ l 2 l_2 l2 范数欧几里得范数 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ∑ i 1 n x i 2 ||x||_2 \sqrt{\sum_{i1}^{n} x_i^2} ∣∣x∣∣2i1∑nxi2 l ∞ l_\infty l∞ 范数无穷范数 ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ max 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ ||x||_\infty \max_{1 \leq i \leq n} |x_i| ∣∣x∣∣∞1≤i≤nmax∣xi∣
2. 矩阵范数
弗罗贝尼乌斯范数矩阵中每项数的平方和的开方值 ∣ ∣ A ∣ ∣ F ∑ i 1 n ∑ j 1 n ∣ a i j ∣ 2 ||A||_F \sqrt{\sum_{i1}^{n} \sum_{j1}^{n} |a_{ij}|^2} ∣∣A∣∣Fi1∑nj1∑n∣aij∣2 算子范数 行和范数当 p ∞ p \infty p∞ 时算子范数被定义为矩阵中各行元素按绝对值求和所得的最大和数即 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ max 1 ≤ i ≤ n ∑ j 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_\infty \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j1}^n |a_{ij}| ∣∣A∣∣∞1≤i≤nmaxj1∑n∣aij∣列和范数当 p 1 p 1 p1 时算子范数被定义为 矩阵列的绝对值之和的最大值。即 ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 max 1 ≤ j ≤ n ∑ i 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_1 \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i1}^n |a_{ij}| ∣∣A∣∣11≤j≤nmaxi1∑n∣aij∣当 p 2 p 2 p2 时算子范数即 A A A 的谱半径,谱半径是矩阵的特征值的按模最大值 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 λ max ( A T A ) p ( A ) max ∣ λ ∣ ||A||_2 \sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^TA)} p(A) \max |\lambda| ∣∣A∣∣2λmax(ATA) p(A)max∣λ∣
3. 谱半径 谱半径是矩阵的特征值按模最大的那个值对于一个 n × n n \times n n×n 的矩阵 A A A其谱半径 p ( A ) p(A) p(A) 定义为 p ( A ) max { ∣ λ ∣ ∣ λ 是 A 的特征值 } p(A) \max \{|\lambda| \ | \ \lambda \text{ 是 } A \text{ 的特征值}\} p(A)max{∣λ∣ ∣ λ 是 A 的特征值}
5、计算例题
对于矩阵 A [ 2 1 − 1 4 ] A \begin{bmatrix} 2 1 \\ -1 4 \end{bmatrix} A[2−114]计算其各种范数 ∥ A ∥ 1 max j ∑ i ∣ a i j ∣ max { 3 , 5 } 5 \|A\|_1 \max_j \sum_i |a_{ij}| \max\{3, 5\} 5 ∥A∥1jmaxi∑∣aij∣max{3,5}5 ∥ A ∥ ∞ max i ∑ j ∣ a i j ∣ max { 3 , 5 } 5 \|A\|_\infty \max_i \sum_j |a_{ij}| \max\{3, 5\} 5 ∥A∥∞imaxj∑∣aij∣max{3,5}5 ∥ A ∥ 2 λ max ( A T A ) \|A\|_2 \sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^TA)} ∥A∥2λmax(ATA)
计算 A T A A^TA ATA 的特征值找到最大特征值 λ max \lambda_{\text{max}} λmax A T A [ 5 − 2 − 2 17 ] A^TA \begin{bmatrix} 5 -2 \\ -2 17 \end{bmatrix} ATA[5−2−217]
特征值为 $\lambda $。 ∥ A ∥ 2 λ max \|A\|_2 \sqrt{\lambda_{\text{max}}} \sqrt{} ∥A∥2λmax 谱半径 p ( A ) max { ∣ λ ∣ } p(A) \max \{|\lambda|\} p(A)max{∣λ∣} 对 A A A 求特征值找到最大的绝对值。
1范数5∞范数52范数谱半径
