个人网站建设免费分析,网站栏目结构设计,个人博客网站建设,网站需要续费吗平面拟合 1、平面拟合2、参考文献3、相关代码 1、平面拟合 PCA 是一种数学变换的方法#xff0c;利用降维的思想在变换中保持变量的总方差不变#xff0c;将给定的一组变量线性变换为另一组不相关的变量#xff0c;并且使变换后的第一变量的方差最大#xff0c;即第一主成分… 平面拟合 1、平面拟合2、参考文献3、相关代码 1、平面拟合 PCA 是一种数学变换的方法利用降维的思想在变换中保持变量的总方差不变将给定的一组变量线性变换为另一组不相关的变量并且使变换后的第一变量的方差最大即第一主成分其他分量的方差依次递减。在点云数据中的变量为三维点坐标的集合其变量为X、Y、Z 三个坐标值则经过变换后应有三个主成分对于一个空间平面在平行于平面的方向上点集分布最为离散方差最大在垂直于平面的方向上点集分布最为集中方差最小即空间平面的第三主成分为垂直于空间平面的向量。由于平面拟合最关键的为法向量的拟合利用PCA 得到点集的第三主成分即能进一步拟合出平面方程如图1 所示。 图1 PCA变换原理 对于在坐标系XYZ 下的待拟合平面点云利用主成分分析法对其进行分析可得到三个按照从大到小排列的特征值 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 λ_1、λ_2、λ_3 λ1、λ2、λ3对应的主分量分别为 V 1 、 V 2 、 V 3 V_1、V_2、V_3 V1、V2、V3其中 V 1 V_1 V1和 V 2 V_2 V2组成了待拟合平面的一组基 V 3 V_3 V3与 V 1 V_1 V1、 V 2 V_2 V2正交为垂直于待拟合平面的法向量。如图1在XYZ 坐标系下的点云经过主成分分析后三个主成分分量 V 1 、 V 2 、 V 3 V_1、V_2、V_3 V1、V2、V3组成了新坐标系 X ′ Y ′ Z ′ XYZ X′Y′Z′的三个基 V 1 V_1 V1和 V 2 V_2 V2为平面 X ′ O ′ Z ′ XOZ X′O′Z′的一组基 V 3 V_3 V3为 O ′ Z ′ OZ O′Z′方向的基即所拟合平面的法向量。
PCA 过程如下: ( 1) 特征中心化。即每一维的数据都减去该维的均值变换之后每一维的均值都变成了零。特征中心化后的点集 P P P如式( 1) 其中 x i 、 y i 、 z i x_i、y_i、z_i xi、yi、zi为中心化后点坐标: P [ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ⋮ ⋮ ⋮ x n y n z n ] (1) P\left[ \begin{matrix} x_1 y_1 z_1\\ x_2 y_2 z_2 \\ \vdots \vdots \vdots\\ x_n y_n z_n \end{matrix} \right] \tag{1} P x1x2⋮xny1y2⋮ynz1z2⋮zn (1)
(2) 计算三个坐标的协方差矩阵。协方差矩阵 C C C为: C [ c o v ( x , x ) c o v ( x , y ) c o v ( x , z ) c o v ( y , x ) c o v ( y , y ) c o v ( y , z ) c o v ( z , x ) c o v ( z , y ) c o v ( z , z ) ] (2) C\left[ \begin{matrix} cov(x,x) cov(x,y) cov(x,z)\\ cov(y,x) cov(y,y) cov(y,z) \\ cov(z,x) cov(z,y) cov(z,z) \end{matrix} \right] \tag{2} C cov(x,x)cov(y,x)cov(z,x)cov(x,y)cov(y,y)cov(z,y)cov(x,z)cov(y,z)cov(z,z) (2) 其中 c o v ( x y ) cov( xy) cov(xy) 为 x x x 坐标和 y y y 坐标的协方差 c o v ( x x ) cov( xx ) cov(xx) 为 x x x坐标的方差协方差计算公式如式( 3) x i 、 y i x_i、y_i xi、yi为中心化后点坐标: c o v ( x , y ) ∑ i 1 n x i y i n − 1 (3) cov(x,y)\frac{\sum_{i1}^nx_iy_i}{n-1}\tag{3} cov(x,y)n−1∑i1nxiyi(3) 当协方差大于零时说明 x x x和 y y y是正相关关系协方差小于零时 x x x和 y y y是负相关关系协方差为零时 x x x和 y y y相互独立。
( 3) 计算协方差矩阵 C C C的特征值和特征向量。所计算出来的特征值按照从大到小排序分别为 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 λ_1、λ_2、λ_3 λ1、λ2、λ3其所对应的特征向量分别为 ξ 1 、 ξ 2 、 ξ 3 ξ_1、ξ_2、ξ_3 ξ1、ξ2、ξ3。显然两个较大 λ λ λ 所对应的特征向量 ξ 1 、 ξ 2 ξ_1、ξ_2 ξ1、ξ2为待拟合平面的一组基而 ξ 3 ξ_3 ξ3为待拟合平面的法向量其三个分量分别为 a 、 b 、 c a、b、c a、b、c。 若已知待拟合平面经过点 p ( x 0 y 0 z 0 ) p( x_0y_0z_0) p(x0y0z0) 则拟合平面为式( 4) : a ( x x 0 ) b ( y y 0 ) c ( z z 0 ) 0 (4) a( xx_0) b( yy_0) c( zz_0) 0\tag{4} a(xx0)b(yy0)c(zz0)0(4)
否则取其均值作为平面上点 p ( x ˉ , y ˉ , z ˉ ) p(\bar{x},\bar{y},\bar{z}) p(xˉ,yˉ,zˉ) 进行拟合。 采用主成分分析法拟合平面的方法对于存在噪声点的情况也能很好的拟合出结果。因为在一个平面点云中噪声点偏离平面的距离相对于平面的范围较小对拟合结果的影响可以忽略。
2、参考文献 [1]叶玲洁;颜远青. 基于PCA算法的机载LiDAR点云平面分割算法研究 [J]. 城市勘测, 2018, (01): 41-4451. 3、相关代码
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