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SABR模型是由 Hagan在 2002年提出的一种随机波动率模型#xff0c;在抛弃了原始的BSM 模型中对于波动率为某一常数的假定#xff0c;假设隐含波动率同样是符合几何布朗运动的#xff0c;并且将隐含波动率设定为标的价格和合约行权价的函数#xff0c;结合了隐含波动…1.简介
SABR模型是由 Hagan在 2002年提出的一种随机波动率模型在抛弃了原始的BSM 模型中对于波动率为某一常数的假定假设隐含波动率同样是符合几何布朗运动的并且将隐含波动率设定为标的价格和合约行权价的函数结合了隐含波动率修正模型的两种思路随机波动率模型和局部波动率模型更为准确的动态刻画出吻合市场特征的隐含波 动率曲线 SABR模型假设波动率是对数正态分布的并且在定价方程里面加入了 CEV模型。这样使得模型估计的隐含波动率由两部分组成一部分是 CEV 的可预测部分而另一部分是在随机波动率模型中的随机的部分。 模型假设波动率本身也遵循一个无漂移项的几何布朗运动而且和远期价格之间存在一定的相关性其有如下一般动态过程 有初始条件F(0) f ; α(0) 标的物远期价格F 和波动率α都视为一个随机过程 其中参数含义为Sigma 波动率初值 BetaCEV 模型弹性项 Alpha波动率的波动率参数 Rho 几何布朗运动之间相关系数 β则决定了标的价格与平值隐含波动率的关系。当β—1时该随机模型接近对数正态β—0 时 该随机模型则接近正态分布。
通过SABR模型可以得到一个隐含波动率数值进而可以带入到定价模型中计算得到期权的理论价格 如SABR模型的欧式期权价格由 BS 模型计算得到 其中σ为SABR模型计算得到的隐含波动率
SABR隐含波动率计算公式为 参数β取值一般为(0,1)需要进行拟合的参数主要有 利用市场实际数据对模型参数进行校准优化函数为 2.模型参数数值分析
Alpha标的资产波动率方程中的初始值类波动率参数。控制标的资产波动率的初始值以及整个波动率微笑曲线的初始值。数值增加时整体的波动率曲线向上移动反之向下移动 Beta决定了标的资产现货价格与平值期权波动率之间的关系取值范围为[0,1]取值0.5时模型遵循CIR过程 Rho 标的资产远期价格与波动率方程中随机项的相关系数控制整个波动率曲线的斜度数值越大曲线向逆时针方向选装的角度越大 volvol波动率方程中的漂移项可认为是波动率的波动率用于描述波动率曲线的微笑程度数值越大隐含波动率曲线的微笑弧度越大 3.代码实践
部分代码如下
class SABR_Model_Hagan2002: Hagan2002 SABR Modeldef __init__(self,F,K,T,vols,beta):self.FFself.KKself.TTself.volvolsself.betabetadef calibration_params(self):校准SABR模型参数alpha,rho,volvoldef vol_square_error(x):vols[calc_sabr_vol(K_,self.F,self.T,x[0],x[1],x[2],self.beta)*100 for K_ in self.K]return sum((vols-self.vol)**2)x0np.array([0.01,0.00,0.10])bounds[(0.0001,None),(-0.9999,0.9999),(0.0001,None)]resminimize(vol_square_error,x0,methodL-BFGS-B,boundsbounds)self.alpha,self.rho,self.volvolres.xreturn [self.alpha,self.rho,self.volvol]
