枣强网站建设代理,聊城做网站推广哪家好,网站建设公司创业,网站后台管理权限设计多元函数与一元函数有一个很大的区别在于定义域的不同#xff1a;一元函数自变量就在x轴上#xff0c;因此趋近的方向只有某点的左右两侧#xff0c;因此#xff0c;考察一元函数极限的时候#xff0c;仅考虑左邻域和右邻域即可。但是多变量微分变得复杂#xff0c;趋向方…多元函数与一元函数有一个很大的区别在于定义域的不同一元函数自变量就在x轴上因此趋近的方向只有某点的左右两侧因此考察一元函数极限的时候仅考虑左邻域和右邻域即可。但是多变量微分变得复杂趋向方式是无限种可能的。
比如二元函数定义域在一个平面内趋近方式可以是直线也可以是曲线。
1.导数 2.微分 3.微分与导数的关系 其实微分就是一个线性映射,导数就是这个线性映射在某个向量基(此处是标准正交基)下的矩阵,而偏导数(或者广义的方向导数)就是这个矩阵的元素 简单点儿 就说最简单的一元情况下导数是一个确定的数值几何意义是切线斜率物理意义是瞬时速度。 而微分是一个函数表达式用于自变量产生微小变化时计算因变量的近似值。 4.偏导
类比于一元函数也想研究函数的变化率问题在日常生活中我们经常遇到这样的问题一个值和许多元素相关我们习惯只改变一个变量值其它变量值固定看变化的情况。
这个思想就是偏导数
固定y让x变化就是对x的偏导数从图中来看相当于经过A点做平行于xoz的平面与空间曲面相交得到曲线做切线此切线的斜率即此点关于x的偏导。具体公式去看课本这里理解思想 固定x让y变化就是对y的偏导数
5.全微分
上面已经研究了分别控制自变量x,y函数的改变量。那么两个自变量都变化呢很幸运我们得到如下方式 可以看到全微分是满足叠加性的全微分等于由于各自变量改变引起函数值变化之和。
当然全微分要比存在偏导要求更严格。全微分要求任意路径的切线都要存在且在一个切平面内参见如何理解全微分而偏导存在只能证明沿着x轴和y轴方向的切线存在。 6.可微分与偏导数关系 7. 方向导数
方向导数思想很简单x和y均不固定但是x和y的变化在一条直线上此时考察函数的变化。值得注意的是即使任意方向导数均存在也不能保证全微存在。因为仅保证了以直线趋近到点A的导数存在。
公式
为了帮助理解仍用二元函数定义域内取一个方向为
8.方向导数与全微分的关系 9. 梯度向量 梯度可谓是多元函数中一个基本的名词。它的物理意义我们都很清楚或者教材也都会介绍方向指向数值增长最快的方向大小为变化率。通过这个性质也说明梯度是有方向和大小的矢量。通过梯度的定义我们发现梯度的求解其实就是求函数偏导的问题而我们高中所学的导数在非严格意义上来说也就是一元的“偏导”。通过这一点我们自然而然地想到梯度应该是导数向更高维数的推广。然而一我一直想不明白的是 梯度是矢量而某点的导数是个常量两者应该有本质的区别而导数的正负也反映了函数值的大小变化而不是一直指向数值增大的方向。 在此我们通过一张图来说明解释一下两者的关系 其实一元函数肯定也有梯度我们经常不提及的原因其实很简单一元函数的梯度方向自变量轴x而导数值的正负号决定了这个方向是正方向还是反方向。如图所示A点右领域的导数为正值则梯度的方向跟x轴正方向一致梯度方向指向数值增大的方向相反在B点右领域导数为负值则梯度的方向为x轴的负方向梯度方向也是指向数值增大的方向。通过这个例子向多维函数推广梯度从数值小指向数值大的物理意义也就容易理解了。而一元函数的大小自然也就是导数的绝对值。 问题来了方向向量角度是可以从0-360度的哪个方向是函数值变化最大的呢
从数学上来看非常简单上面已经推导出了内积的形式那么内积最大的时候即两者同向的时候此时得到梯度向量为
梯度向量是方向导数最大的地方也就是曲面上最陡峭的方向在日常生活中梯度向量用的非常多因为我们经常会遇到找寻下降最快的路径梯度向量的反方向等问题比如下山最省力气的路径。
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