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一、堆的概念及结构
1.1堆的概念 1.2堆的性质
1.3堆的结构
二、堆的实现
2.1堆向下调整算法#xff08;父亲与孩子做比较#xff09; 2.2堆的向上调整算法#xff08;孩子与父亲做比较#xff09;
2.3堆的创建#xff08;向下建堆#xff09; 2.4向下建堆的时…目录
一、堆的概念及结构
1.1堆的概念 1.2堆的性质
1.3堆的结构
二、堆的实现
2.1堆向下调整算法父亲与孩子做比较 2.2堆的向上调整算法孩子与父亲做比较
2.3堆的创建向下建堆 2.4向下建堆的时间复杂度
2.5堆的插入
2.6堆的删除
2.7堆的完整代码实现
三、堆的应用
3.1堆排序
3.2TOP-K问题 一、堆的概念及结构
1.1堆的概念 1.2堆的性质 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值 堆总是一棵完全二叉树。 1.3堆的结构 二、堆的实现
2.1堆向下调整算法父亲与孩子做比较 我们给出一个数组逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提左右子树必须是一个堆才能调整。 以下面图片为例建小堆过程中父亲不断与较小的孩子交换 用代码来实现
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)//n是参与向下算法的元素的个数
{int child parent * 2 1;while (child n){//建小堆找到两个孩子中较小的那一个if (child 1 n a[child 1] a[child]){child;}//如果父亲不比孩子大就证明已经是小堆了直接跳出循环//如果比孩子大就一直交换if (a[child] a[parent]){Swap(a[child], a[parent]);parent child;child parent * 2 1;}elsebreak;}
} 2.2堆的向上调整算法孩子与父亲做比较
代码实现如下
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent (child - 1) / 2;while (child 0){if (a[child] a[parent]){Swap(a[child], a[parent]);child parent;parent (child - 1) / 2;}elsebreak;}
} 2.3堆的创建向下建堆 我们给出一个数组这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树但是还不是一个堆现在我们通过算法把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆我们怎么调整呢这里我们从倒数的第一个非叶子节点的 子树开始调整向下调整一直调整到根节点的树就可以调整成堆。 假定有数组 int a [] { 1 , 5 , 3 , 8 , 7 , 6 }; 2.4向下建堆的时间复杂度 因为堆是完全二叉树而满二叉树也是完全二叉树此处为了简化使用满二叉树来证明 ( 时间复杂度本来看的就是近似值多几个节点不影响最终结果 ) 因此向下建堆的时间复杂度为O(N)。
既然谈到了向下建堆的时间复杂度不妨就算一下向上建堆的时间复杂度 冲两张图中可以看到向下调整建堆的效率略高于向上调整建堆的效率所以我上面所讨论的也都是向下调整建堆的实现方法。
2.5堆的插入 先插入一个 10 到数组的尾上再进行向上调整算法直到满足堆。 代码实现
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{assert(hp);//判满以及扩容if (hp-_capacity hp-_size){int newCapacity hp-_capacity 0 ? 4 : 2 * hp-_capacity;HPDataType* tmp (HPDataType*)realloc(hp-_a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp NULL){perror(realloc fail);exit(-1);}hp-_a tmp;hp-_capacity newCapacity;}hp-_a[hp-_size] x;hp-_size;AdjustUp(hp-_a, hp-_size - 1);
}
2.6堆的删除 删除堆是删除堆顶的数据将堆顶的数据根最后一个数据一换然后删除数组最后一个数据再进行向下调整算法。 代码实现
void HeapPop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp-_size 0);Swap(hp-_a[0], hp-_a[hp-_size - 1]);hp-_size--;AdjustDown(hp-_a, hp-_size, 0);
}
2.7堆的完整代码实现
//Heap.h#pragma once#include stdio.h
#include stdlib.h
#include assert.h
#include string.htypedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* _a;int _size;int _capacity;
}Heap;//堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp);// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);//交换
void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b);//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);//打印
void HeapPrint(Heap* hp);// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);
//Heap.c
#include Heap.hvoid HeapInit(Heap* hp)
{assert(hp);hp-_a NULL;hp-_capacity 0;hp-_size 0;
}void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{assert(hp);assert(a);hp-_a (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*n);if (hp-_a NULL){perror(malloc fail);exit(-1);}hp-_capacity n;hp-_size n;memcpy(hp-_a, a, sizeof(HPDataType) * n);for (int i 1; i n; i){AdjustUp(hp-_a, i);}
}void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b)
{HPDataType tmp *a;*a *b;*b tmp;
}void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent (child - 1) / 2;while (child 0){if (a[child] a[parent]){Swap(a[child], a[parent]);child parent;parent (child - 1) / 2;}elsebreak;}
}void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)//n是参与向下算法的元素的个数
{int child parent * 2 1;while (child n){//建小堆找到两个孩子中较小的那一个if (child 1 n a[child 1] a[child]){child;}//如果父亲不比孩子大就证明已经是小堆了直接跳出循环//如果比孩子大就一直交换if (a[child] a[parent]){Swap(a[child], a[parent]);parent child;child parent * 2 1;}elsebreak;}
}void HeapDestory(Heap* hp)
{assert(hp);free(hp-_a);hp-_capacity 0;hp-_size 0;
}void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{assert(hp);//判满以及扩容if (hp-_capacity hp-_size){int newCapacity hp-_capacity 0 ? 4 : 2 * hp-_capacity;HPDataType* tmp (HPDataType*)realloc(hp-_a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp NULL){perror(realloc fail);exit(-1);}hp-_a tmp;hp-_capacity newCapacity;}hp-_a[hp-_size] x;hp-_size;AdjustUp(hp-_a, hp-_size - 1);
}void HeapPrint(Heap* hp)
{assert(hp);for (int i 0; i hp-_size; i){printf(%d , hp-_a[i]);}printf(\n);
}void HeapPop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp-_size 0);Swap(hp-_a[0], hp-_a[hp-_size - 1]);hp-_size--;AdjustDown(hp-_a, hp-_size, 0);
}HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp-_size 0);return hp-_a[0];
}int HeapSize(Heap* hp)
{return hp-_size;
}int HeapEmpty(Heap* hp)
{assert(hp);if (hp-_size 0)return 0;elsereturn 1;
}
三、堆的应用
3.1堆排序 堆排序即利用堆的思想来进行排序总共分为两个步骤 1. 建堆 升序建大堆降序建小堆。 2. 利用堆删除思想来进行排序 建堆和堆删除中都用到了向下调整因此掌握了向下调整就可以完成堆排序。 具体实现代码如下 void HeapSort1(int* a, int n)
{//向上调整建堆/*for (int i 1; i n; i){AdjustUp(a, i);}*///向下调整建堆for (int i (n - 1 - 1) / 2; i 0; i--)//从第一个非叶子节点开始向下调整{AdjustDown(a, n, i);}//排序int end n - 1;while (end){Swap(a[0], a[end]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}
} 3.2TOP-K问题 TOP-K问题即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素一般情况下数据量都比较大。 对于 Top-K 问题能想到的最简单直接的方式就是排序但是如果数据量非常大排序就不太可取了 ( 可能数据都不能一下子全部加载到内存中 ) 。最佳的方式就是用堆来解决基本思路如下 1. 用数据集合中前 K 个元素来建堆 : 前 k 个最大的元素则建小堆前 k 个最小的元素则建大堆 。 2. 用剩余的 N-K 个元素依次与堆顶元素来比较不满足则替换堆顶元素 将剩余 N-K 个元素依次与堆顶元素比完之后堆中剩余的 K 个元素就是所求的前 K 个最小或者最大的元素。 具体实现代码如下 void CreatNData()
{// 造数据int n 10000000;srand(time(0));const char* file data.txt;FILE* fin fopen(file, w);if (fin NULL){perror(fopen error);return;}//将数据写入data文件中for (int i 0; i n; i){int x (rand() i) % 10000000;fprintf(fin, %d\n, x);}fclose(fin);
}void PrintTopK(const char* filename, int k)
{FILE* fout fopen(filename, r);if (fout NULL){perror(fopen fail);exit(-1);}int* minHeap (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (minHeap NULL){perror(malloc fail);return;}for (int i 0; i k; i){fscanf(fout, %d, minHeap[i]);}for (int i (k - 1 - 1) / 2; i 0; i--){AdjustDown(minHeap, k, i);}//将剩余的n-k各元素与堆顶的元素进行交换int x 0;while (fscanf(fout, %d, x) ! EOF){if (x minHeap[0]){minHeap[0] x;AdjustDown(minHeap, k, 0);}}//排序int end k - 1;while (end){Swap(minHeap[0], minHeap[end]);AdjustDown(minHeap, end, 0);end--;}for (int i 0; i k; i){printf(%d , minHeap[i]);}free(minHeap);fclose(fout);
}
