广东网站建设联系电话,江苏省住房城乡建设厅网站,国企央企招聘2022年,wordpress没有写权限文章目录 二次型的标准形#x1f388;标准形的矩阵式标准化问题(合同对角化)二次型标准化分析#x1f388; 二次型可标准化定理正交相似角度证明配方角度证明case1方法1:case2 方法2case2case3 二次型的标准形#x1f388;
如果二次型只含有变量的平方项,则称之为二次型的标… 文章目录 二次型的标准形标准形的矩阵式标准化问题(合同对角化)二次型标准化分析 二次型可标准化定理正交相似角度证明配方角度证明case1方法1:case2 方法2case2case3 二次型的标准形
如果二次型只含有变量的平方项,则称之为二次型的标准形或法式,即 f ( y 1 , ⋯ , y n ) f(y_1,\cdots,y_n) f(y1,⋯,yn) ∑ i 1 n k i y i 2 \sum_{i1}^{n}k_iy_i^2 ∑i1nkiyi2
标准形的矩阵式 f ( y 1 , ⋯ , y n ) ∑ i n k i y i 2 ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) ( k 1 0 ⋯ 0 0 k 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ k n ) ( y 1 y 2 ⋮ y n ) y T Λ y \begin{aligned} f(y_1,\cdots,y_n) \sum_{i}^{n}k_iy_i^2\\ (y_1,y_2,\cdots,y_n) \begin{pmatrix} k_{1} 0 \cdots 0 \\ 0 k_{2} \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots k_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{pmatrix} \\\bold{{y}^{T}\Lambda{{y}}} \end{aligned} f(y1,⋯,yn)i∑nkiyi2(y1,y2,⋯,yn) k10⋮00k2⋮0⋯⋯⋯00⋮kn y1y2⋮yn yTΛy 可见,标准形的矩阵是对角阵 Λ diag ( k 1 , ⋯ , k n ) \Lambda\text{diag}(k_1,\cdots,k_n) Λdiag(k1,⋯,kn) 对角阵的秩 R ( Λ ) R(\bold\Lambda) R(Λ)等于 k 1 , ⋯ , k n k_1,\cdots,k_n k1,⋯,kn中的非零值个数, r ( Λ ) ∑ k i ≠ 0 1 r(\bold\Lambda)\sum\limits_{k_i\neq0}1 r(Λ)ki0∑1
标准化问题(合同对角化)
结合标准形的矩阵式可知,“二次型 f x T A x f\bold{x^{T}Ax} fxTAx经过某个可逆变换 x C y \bold{xCy} xCy变成标准形”,就是要使线性变换后的二次型 g y T D y g\bold{y^{T}Dy} gyTDy中的 D C T A C \bold{DC^{T}AC} DCTAC变成一个对角阵 Λ diag ( k 1 , ⋯ , k n ) \bold{\Lambda}\text{diag}(k_1,\cdots,k_n) Λdiag(k1,⋯,kn),也就是将 A \bold{A} A合同对角化更进一步地,将 Λ \bold\Lambda Λ地元素 k i , i 1 , ⋯ , n k_i,i1,\cdots,n ki,i1,⋯,n处理成 − 1 , 0 , 1 -1,0,1 −1,0,1中的元素,称为规范化,详见规范化一文Note:合同对角化不是相似对角化
二次型标准化分析
如果存在某个可逆阵 P \bold P P使得 P T A P Λ diag ( k 1 , ⋯ , k n ) \bold{P^{T}AP{\Lambda}}\text{diag}(k_1,\cdots,k_n) PTAPΛdiag(k1,⋯,kn)即 A \bold{A} A可以合同于某个对角阵 Λ \bold\Lambda Λ,则 f x T A x f\bold{x^{T}Ax} fxTAx可以通过可逆线性变换进行标准化或者说,能够找到可逆矩阵 P \bold{P} P,使得线性变换 x P y \bold{xPy} xPy,能够将二次型 f x T A x f\bold{x^{T}Ax} fxTAx标准化为 g y T Λ y g\bold{y^{T}\Lambda{y}} gyTΛy,其中 Λ \bold\Lambda Λ P T A P \bold{P^{T}AP} PTAP
二次型可标准化定理
正交相似角度证明
由于任意对称阵都合同于某个对角阵,又二次型 f f f的矩阵一定对称阵,所以任何二次型都可以标准化总结为定理:任意二次型 f x T A x f\bold{x^{T}A{x}} fxTAx总有正交变换 x P y \bold{xPy} xPy使得 f f f化为标准形 f ∑ i 1 n λ i y i 2 f\sum_{i1}^{n}\lambda_iy_{i}^{2} f∑i1nλiyi2,且 λ 1 , ⋯ , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_n λ1,⋯,λn是 A \bold{A} A的特征值 因为 P \bold{P} P是正交阵 ( P T P − 1 ) (\bold{P^{T}P^{-1}}) (PTP−1),所以相似对角化等价于合同对角化:若 P − 1 A P Λ \bold{P^{-1}AP\Lambda} P−1APΛ,则 P T A P Λ \bold{P^{T}AP\Lambda} PTAPΛ因此,掌握了对称阵的相似对角化,也就能够通过求解使 A \bold{A} A相似对角化的可逆矩阵 P \bold{P} P来求得使 A \bold{A} A合同对角化的 P \bold{P} P
配方角度证明 数域 P P P上任意一个二次型都可以经过非退化(可逆的)线性替换变成平方和形式(标准形) 以下证明给出来了一个具体地把二次型化为平方和的方法,和中学里的配方法一样 对变量的个数 k k k作数学归纳法 对于 k 1 k1 k1,二次型 f a 11 x 1 2 fa_{11}x_1^2 fa11x12,其已经是标准形了 现假设 k n − 1 kn-1 kn−1元的二次型定理成立;并设 k n kn kn元的二次型为 f ( x 1 , ⋯ , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1,⋯,xn) ∑ i 1 n ∑ j 1 n a i j x i x j \sum_{i1}^{n}\sum_{j1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} ∑i1n∑j1naijxixj, ( a i j a j i ) (a_{ij}a_{ji}) (aijaji) f ( 1 1 ⋯ 1 ) ( a 11 x 1 x 1 a 12 x 1 x 2 ⋯ a 1 n x 1 x n a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 x 2 ⋯ a 2 n x 2 x n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 ⋯ a n n x n x n ) ( 1 1 ⋮ 1 ) f\begin{pmatrix} 11\cdots1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11}x_1x_1a_{12}x_1x_2\cdotsa_{1n}x_1x_n \\ a_{21}x_2x_1a_{22}x_2x_2\cdotsa_{2n}x_2x_n \\ \vdots\vdots\vdots\\ a_{n1}x_nx_1a_{n2}x_nx_2\cdotsa_{nn}x_nx_n \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1\\\vdots\\1 \end{pmatrix} f(11⋯1) a11x1x1a21x2x1⋮an1xnx1a12x1x2a22x2x2⋮an2xnx2⋯⋯⋯a1nx1xna2nx2xn⋮annxnxn 11⋮1 以下分情况讨论
case1 f f f中至少含有一个平方项: ∃ a i i ≠ 0 \exist{\;a_{ii}\neq{0}} ∃aii0, i ∈ 1 , 2 ⋯ , n i\in{1,2\cdots,n} i∈1,2⋯,n 归并所有含有 x i x_i xi的项 η i a i i x i 2 ∑ j 1 , j ≠ i n a i j x i x j ∑ j 1 , j ≠ i n a j i x j x i a i i x i 2 ∑ j 1 , j ≠ i n 2 a i j x i x j a i i x i 2 2 ( ∑ j 1 , j ≠ i a i j x j ) x i \eta_i a_{ii}x_{i}^2\sum_{j1,j\neq{i}}^{n}a_{ij}x_ix_j \sum_{j1,j\neq{i}}^{n}a_{ji}x_jx_i \\ a_{ii}x_{i}^2\sum_{j1,j\neq{i}}^{n}2a_{ij}x_ix_j \\a_{ii}x_i^22(\sum_{{j1,j\neq{i}}}a_{ij}x_j)x_i ηiaiixi2j1,ji∑naijxixjj1,ji∑najixjxiaiixi2j1,ji∑n2aijxixjaiixi22(j1,ji∑aijxj)xi 显然 η i \eta_i ηi包含 1 ( n − 1 ) n 1(n-1)n 1(n−1)n个不可合并项 f η i ∑ r , j ≠ i n a r j x r x j f\eta_i\sum_{r,j\neq{i}}^{n}a_{rj}x_rx_j fηi∑r,jinarjxrxj 然后进行配方 η i a i i ( x i 2 2 1 a i i ( ∑ j 1 , j ≠ i a i j x j ) x i ) a i i ( [ x i 1 a i i ( ∑ j 1 , j ≠ i a i j x j ) ] 2 − [ 1 a i i ( ∑ j 1 , j ≠ i a i j x j ) ] 2 ) \begin{aligned} \eta_{i} a_{ii}(x_i^22\frac{1}{a_{ii}}(\sum_{{j1,j\neq{i}}}a_{ij}x_j)x_i) \\a_{ii} \left( [x_i\frac{1}{a_{ii}} (\sum\limits_{{j1,j\neq{i}}}a_{ij}x_j) ]^2 -[\frac{1}{a_{ii}}(\sum\limits_{{j1,j\neq{i}}}a_{ij}x_j)]^2 \right)\\ \end{aligned} ηiaii(xi22aii1(j1,ji∑aijxj)xi)aii [xiaii1(j1,ji∑aijxj)]2−[aii1(j1,ji∑aijxj)]2 令 α i a i i [ x i 1 a i i ( ∑ j 1 , j ≠ i a i j x j ) ] 2 \alpha_ia_{ii}[x_i\frac{1}{a_{ii}} (\sum\limits_{{j1,j\neq{i}}}a_{ij}x_j)]^2 αiaii[xiaii1(j1,ji∑aijxj)]2, β i a i i [ 1 a i i ( ∑ j 1 , j ≠ i a i j x j ) ] 2 \beta_ia_{ii}[\frac{1}{a_{ii}}(\sum\limits_{{j1,j\neq{i}}}a_{ij}x_j)]^2 βiaii[aii1(j1,ji∑aijxj)]2; γ i ∑ r , j ≠ i n a r j x r x j \gamma_i\sum_{r,j\neq{i}}^{n}a_{rj}x_rx_j γi∑r,jinarjxrxj 则 η i α i β i \eta_i\alpha_i\beta_i ηiαiβi 这就将 η i \eta_i ηi改写为仅含平方项的形式,并且 α i , β i \alpha_i,\beta_i αi,βi都是关于 { x 1 , ⋯ , x n } − { x i } \{x_1,\cdots,x_n\}-\{x_i\} {x1,⋯,xn}−{xi}的 n − 1 n-1 n−1元二次型,且 β i \beta_i βi包含了所有 x i 2 x_i^2 xi2之外的所有平方项 由归纳假设可知 β i γ i \beta_i\gamma_i βiγi可以被标准化 f η i γ i α i β i γ i f\eta_i\gamma_i\alpha_i\beta_i\gamma_i fηiγiαiβiγi也可以被标准化 为了讨论和书写方便,不妨设 a 11 ≠ 0 a_{11}\neq{0} a110,代表这一类情况 f ( x 1 , ⋯ , x n ) a 11 x 1 2 ∑ j 2 n a i j x 1 x j ∑ j 2 n a j i x j x 1 ∑ i 2 n ∑ j 2 n a i j x i x j f(x_1,\cdots,x_n)a_{11}x_1^{2}\sum_{j2}^{n}a_{ij}x_1x_j \sum_{j2}^{n}a_{ji}x_jx_1 \sum_{i2}^{n}\sum_{j2}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} f(x1,⋯,xn)a11x12j2∑naijx1xjj2∑najixjx1i2∑nj2∑naijxixj 配方 f a 11 x 1 2 2 ∑ j 2 n a 1 j x 1 x j ∑ i 2 n ∑ j 2 n a i j x i x j a 11 ( x 1 2 2 a 11 − 1 ∑ j 2 n a 1 j x 1 x j ) ∑ i 2 n ∑ j 2 n a i j x i x j a 11 ( x 1 a 11 − 1 ∑ j 2 n a 1 j x j ) 2 − a 11 ( a 11 − 1 ∑ j 2 n a 1 j x j ) 2 ∑ i 2 n ∑ j 2 n a i j x i x j a 11 ( x 1 a 11 − 1 ∑ j 2 n a 1 j x j ) 2 [ − a 11 − 1 ( ∑ j 2 n a 1 j x j ) 2 ∑ i 2 n ∑ j 2 n a i j x i x j ] fa_{11}x_1^22\sum_{j2}^{n}a_{1j}x_1x_j \sum_{i2}^{n}\sum_{j2}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} \\a_{11}(x_1^22a_{11}^{-1}\sum_{j2}^{n}a_{1j}x_{1}x_{j}) \sum_{i2}^{n}\sum_{j2}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} \\a_{11}(x_1a_{11}^{-1}\sum_{j2}^{n}a_{1j}x_{j})^2- a_{11}(a_{11}^{-1}\sum_{j2}^{n}a_{1j}x_j)^2 \sum_{i2}^{n}\sum_{j2}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} \\a_{11}(x_1a_{11}^{-1}\sum_{j2}^{n}a_{1j}x_{j})^2 [-a_{11}^{-1}(\sum_{j2}^{n}a_{1j}x_j)^2 \sum_{i2}^{n}\sum_{j2}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}] fa11x122j2∑na1jx1xji2∑nj2∑naijxixja11(x122a11−1j2∑na1jx1xj)i2∑nj2∑naijxixja11(x1a11−1j2∑na1jxj)2−a11(a11−1j2∑na1jxj)2i2∑nj2∑naijxixja11(x1a11−1j2∑na1jxj)2[−a11−1(j2∑na1jxj)2i2∑nj2∑naijxixj] 令 g ( x 2 , ⋯ , x n ) − a 11 − 1 ( ∑ j 2 n a 1 j x j ) 2 ∑ i 2 n ∑ j 2 n a i j x i x j g(x_2,\cdots,x_n)-a_{11}^{-1}(\sum_{j2}^{n}a_{1j}x_j)^2 \sum_{i2}^{n}\sum_{j2}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} g(x2,⋯,xn)−a11−1(∑j2na1jxj)2∑i2n∑j2naijxixj 其中 h 1 ( x 2 , ⋯ , x n ) − a 11 − 1 ( ∑ j 2 n a 1 j x j ) 2 h_1(x_2,\cdots,x_n)-a_{11}^{-1}(\sum_{j2}^{n}a_{1j}x_j)^2 h1(x2,⋯,xn)−a11−1(∑j2na1jxj)2, h 2 ( x 2 , ⋯ , x n ) ∑ i 2 n ∑ j 2 n a i j x i x j h_2(x_2,\cdots,x_n)\sum_{i2}^{n}\sum_{j2}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} h2(x2,⋯,xn)∑i2n∑j2naijxixj是关于 x 2 , ⋯ , x n x_2,\cdots,x_n x2,⋯,xn的 n − 1 n-1 n−1元二次型从而 g ( x 2 , ⋯ , x n ) g(x_2,\cdots,x_n) g(x2,⋯,xn)也是关于 x 2 , ⋯ , x n x_2,\cdots,x_n x2,⋯,xn的 n − 1 n-1 n−1元二次型 构造线性变换 y P x \bold{yPx} yPx y 1 x 1 ∑ j 2 n a 11 − 1 a 1 j x j y_1x_1\sum_{j2}^{n}a_{11}^{-1}a_{1j}x_j y1x1∑j2na11−1a1jxj y 2 x 2 y_2x_2 y2x2 ⋮ \vdots ⋮ y n x n y_nx_n ynxn 变换矩阵: P ( 1 a 11 − 1 a 11 x 1 ⋯ a 11 − 1 a 1 n x n 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) \bold P\begin{pmatrix} 1a_{11}^{-1}a_{11}x_1\cdotsa_{11}^{-1}a_{1n}x_n\\ 01\cdots0\\ 0\vdots\vdots\\ 00\cdots1 \end{pmatrix} P 1000a11−1a11x11⋮0⋯⋯⋯a11−1a1nxn0⋮1 显然 ∣ P ∣ 1 ≠ 0 |\bold{P}|1\neq{0} ∣P∣10,是个可逆变换 其逆变换 x P − 1 y \bold{xP^{-1}y} xP−1y(将后 n − 1 n-1 n−1个方程回代到第 1 1 1个方程即得) x 1 y 1 − ∑ j 2 n a 11 − 1 a 1 j x j x_1y_1-\sum_{j2}^{n}a_{11}^{-1}a_{1j}x_j x1y1−∑j2na11−1a1jxj x 2 y 2 x_2y_2 x2y2 ⋮ \vdots ⋮ x n y n x_ny_n xnyn 则该变换能使 f a 11 y 1 2 g ( y 2 , ⋯ , y n ) fa_{11}y_1^{2}g({y_2,\cdots,y_n}) fa11y12g(y2,⋯,yn) 根据归纳假设, g ( y 2 , ⋯ , y n ) g(y_2,\cdots,y_n) g(y2,⋯,yn)可以被标准化,即存在可逆线性变换(1): ( y 2 y 3 ⋮ y n ) ( c 22 c 23 ⋯ c 2 n c 32 c 33 ⋯ c 3 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c n 2 c n 3 ⋯ c n n ) ( z 2 z 3 ⋮ z n ) \begin{pmatrix}y_2\\y_3\\\vdots\\y_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{22} c_{23} \cdots c_{2n} \\ c_{32} c_{33} \cdots c_{3n} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ c_{n2} c_{n3} \cdots c_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}z_2\\z_3\\\vdots\\z_n\end{pmatrix} y2y3⋮yn c22c32⋮cn2c23c33⋮cn3⋯⋯⋱⋯c2nc3n⋮cnn z2z3⋮zn y 2 c 22 z 2 ⋯ c 2 n z n , y 3 c 32 z 2 ⋯ c 3 n z n , ⋮ y n c n 2 z 2 ⋯ c n n z n \begin{aligned} y_{2}c_{22} z_{2}\cdotsc_{2 n} z_{n}, \\ y_{3}c_{32} z_{2}\cdotsc_{3 n} z_{n}, \\ \vdots\\ y_{n}c_{n 2} z_{2}\cdotsc_{n n} z_{n} \end{aligned} y2y3⋮ync22z2⋯c2nzn,c32z2⋯c3nzn,cn2z2⋯cnnzn 此变化能使 g ( y 2 , ⋯ , y n ) g(y_2,\cdots,y_n) g(y2,⋯,yn) t ( z 2 , ⋯ , z n ) t(z_2,\cdots,z_n) t(z2,⋯,zn) ∑ j 2 n d j z j 2 \sum_{j2}^{n}d_jz_{j}^{2} ∑j2ndjzj2 此时 f a 11 y 1 2 ∑ j 2 n d j z j 2 fa_{11}y_1^2\sum_{j2}^{n}d_jz_{j}^{2} fa11y12∑j2ndjzj2 基于(1)追加一条变换: y 1 z 1 y_1z_1 y1z1,得到 n n n元变换(2): y 1 z 1 y 2 c 22 z 2 ⋯ c 2 n z n , y 3 c 32 z 2 ⋯ c 3 n z n , ⋮ y n c n 2 z 2 ⋯ c n n z n \begin{aligned} y_{1}z_1\\ y_{2}c_{22} z_{2}\cdotsc_{2 n} z_{n}, \\ y_{3}c_{32} z_{2}\cdotsc_{3 n} z_{n}, \\ \vdots\\ y_{n}c_{n 2} z_{2}\cdotsc_{n n} z_{n} \end{aligned} y1y2y3⋮ynz1c22z2⋯c2nzn,c32z2⋯c3nzn,cn2z2⋯cnnzn ( y 1 y 2 ⋮ y n ) ( 1 0 ⋯ 0 0 c 22 ⋯ c 2 n 0 c 32 ⋯ c 3 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 c n 2 ⋯ c n n ) ( z 1 z 2 ⋮ z n ) \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10\cdots0\\ 0 c_{22} \cdots c_{2n} \\ 0 c_{32} \cdots c_{3n} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ 0 c_{n2} \cdots c_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{pmatrix} y1y2⋮yn 100⋮00c22c32⋮cn2⋯⋯⋯⋱⋯0c2nc3n⋮cnn z1z2⋮zn 线性变换(2)能将 f f f化为标准形 f ∑ j 1 n d j z j 2 f\sum_{j1}^{n}d_jz_{j}^{2} f∑j1ndjzj2 由归纳法原理,定理在case1成立
方法1:
case2 若 f f f中不含平方项( x i 2 x_i^2 xi2的系数 a i i 0 a_{ii}0 aii0, i 1 , ⋯ , n i1,\cdots,n i1,⋯,n),但至少存在一个 a i j ≠ 0 a_{ij}\neq{0} aij0, i ≠ j i\neq{j} ij 则构造关于 y 1 , ⋯ , y n y_1,\cdots,y_n y1,⋯,yn的线性变换 x 1 y i y j x_1y_iy_j x1yiyj, x 2 y i − y j x_2y_i-y_j x2yi−yj, x r y r , r ≠ i , j x_ry_r,r\neq{i,j} xryr,ri,j 易知该变换矩阵是一个上三角形,其对角线元素之积为1,从而可逆变换{T}能使: x i x j ( y i − y j ) ( y i y j ) y i 2 − y j 2 x_ix_j(y_i-y_j)(y_iy_j)y_i^2-y_j^2 xixj(yi−yj)(yiyj)yi2−yj2,即非平方二次项化为平方项组合 从而 x i x j ( z i z j ) ( z i − z j ) x_ix_j(z_iz_j)(z_i-z_j) xixj(zizj)(zi−zj) z i 2 − z j 2 z_i^2-z_j^2 zi2−zj2 a i j x i x j a_{ij}x_{i}x_j aijxixj a i j ( z i 2 − z j 2 ) a_{ij}(z_i^2-z_j^2) aij(zi2−zj2) a i j z i 2 − a i j z j 2 a_{ij}z_i^2-a_{ij}z_j^2 aijzi2−aijzj2 所以: f ( x i , ⋯ , x n ) f(x_i,\cdots,x_n) f(xi,⋯,xn) 2 a i j x i x j ⋯ 2a_{ij}x_{i}x_j\cdots 2aijxixj⋯ 2 a i j z i 2 − 2 a i j z j 2 ⋯ 2a_{ij}z_i^2-2a_{ij}z_j^2\cdots 2aijzi2−2aijzj2⋯ 这种变换的意义在于将无平方项二次型转换为有平方项二次型,从而将问题转换为第一类情况(case1),即这类二次型仍然可以标准化,即定理在case2也成立
方法2
case2 为了方便讨论,不妨再细分为两种子情况,cases2研究第一种,第2种放到caes3中讨论 若 a 1 j ≠ 0 , ( j 1 ) a_{1j}\neq{0},(j1) a1j0,(j1),更进一步地,可以设 a 12 ≠ 0 a_{12}\neq{0} a120,这种假设仍然不失一般性 执行可逆变换{T}: T : { x 1 y 1 − y 2 x 2 y 1 y 2 x 3 y 3 ⋮ x n y n T:\begin{cases} x_1y_1-y_2\\ x_2y_1y_2\\ x_3y_3\\ \vdots\\ x_ny_n \end{cases} T:⎩ ⎨ ⎧x1y1−y2x2y1y2x3y3⋮xnyn 易知该变换矩阵是一个上三角形,其对角线元素之积为1,从而可逆 变换{T}能使: x i x j ( y i − y j ) ( y i y j ) y i 2 − y j 2 x_ix_j(y_i-y_j)(y_iy_j)y_i^2-y_j^2 xixj(yi−yj)(yiyj)yi2−yj2,即非平方二次项化为平方项组合 从而 x 1 x 2 ( z 1 z 2 ) ( z 1 − z 2 ) x_1x_2(z_1z_2)(z_1-z_2) x1x2(z1z2)(z1−z2) z 1 2 − z 2 2 z_1^2-z_2^2 z12−z22 a 12 x 1 x 2 a_{12}x_{1}x_2 a12x1x2 a 12 ( z 1 2 − z 2 2 ) a_{12}(z_1^2-z_2^2) a12(z12−z22) a 12 z 1 2 − a 12 z 2 2 a_{12}z_1^2-a_{12}z_2^2 a12z12−a12z22 所以: f ( x 1 , ⋯ , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1,⋯,xn) 2 a 12 x 1 x 2 ⋯ 2a_{12}x_{1}x_2\cdots 2a12x1x2⋯ 2 a 12 z 1 2 − 2 a 12 z 2 2 ⋯ 2a_{12}z_1^2-2a_{12}z_2^2\cdots 2a12z12−2a12z22⋯
case3 延续cases2中假设 a 1 j ≠ 0 a_{1j}\neq{0} a1j0,cases3研究其互斥的情况: 若 a 1 j 0 a_{1j}0 a1j0, j 1 , ⋯ , n j1,\cdots,n j1,⋯,n 根据二次型矩阵的对称性, a j 1 0 a_{j1}0 aj10, j 1 , ⋯ , n j1,\cdots,n j1,⋯,n 从而 f ( x 1 , ⋯ , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1,⋯,xn) ∑ i 2 n ∑ j 2 n a i j x i x j \sum_{i2}^{n}\sum_{j2}^{n}a_{ij}x_ix_j ∑i2n∑j2naijxixj,这是一个 n − 1 n-1 n−1元的二次型,根据归纳假设,它能够标准化
