免费素材网站排行榜,郑州小程序开发外包,手机排行榜2021前十名,湖南关键词优化快速目录 前言计算零空间 Nullspace特解 Special solutions行最简阶梯矩阵 Reduced row echelon form #xff08;rref#xff09; 前言
我们定义了矩阵的列空间和零空间#xff0c;那么如何求得这些子空间呢#xff1f;本节课的内容即从定义转到算法。
计算零空间 Nullspace… 目录 前言计算零空间 Nullspace特解 Special solutions行最简阶梯矩阵 Reduced row echelon form rref 前言
我们定义了矩阵的列空间和零空间那么如何求得这些子空间呢本节课的内容即从定义转到算法。
计算零空间 Nullspace
矩阵 A 的零空间即满足 Ax0 的所有 x 构成的向量空间。 取 A [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] 取A \begin{bmatrix} 1 2 2 2 \\ 2 4 6 8 \\ 3 6 8 10 \end{bmatrix} 取A 1232462682810
A 的列空间并不是线性无关的。无论矩阵 A 是否可逆我们都采用消元法作为计算零空间的算法。 对于矩阵 A 进行“行操作”并不会改变 Axb 的解因此也不会改变零空间。但是会改变列空间。此处不需要应用增广矩阵因为等号右侧的向量 b0。 第一步消元得到 第二列没有主元因此主元二是第二行第三列的 2。 矩阵 U 为梯形矩阵。其第三行变为零是因为第三行的行向量本身就是第一行和第二行行向量的线性组合。
矩阵的秩rank就是矩阵的主元的个数。本例中矩阵 A 和 U 的秩均为 2。矩阵中包含主元的列为主元列pivot column不包含主元的列称为自由列free column。
特解 Special solutions
当我们将系数矩阵变换为上三角阵 U 时就可以用回代求得方程 Ux0 的解。本例中包含主元的矩阵第 1 列和第 3 列为主元列而不包含主元的第 2 列和第 4列为自由列。对自由变量free variablex2和 x4我们可以进行赋值。例如令 x21而 x40。则有 矩阵 A 的零空间就是这些“特解”向量的线性组合所构成的向量空间。 矩阵的秩 r 等于其主元列的数目因此自由列的数目就等于 n-r即列的数目减去主元列的数目。这个数值等于特解的数目和零空间的维数。
行最简阶梯矩阵 Reduced row echelon form rref
通过继续消元我们可以将矩阵 U 转变为行最简阶梯矩阵形式 R其中主元为 1而主元列除主元外皆为 0。在 Matlab 中用命令 rref(A)实现这一过程。 在矩阵中主元行和主元列的交汇处存在一个单位阵。通过“列交换”可以将矩阵 R 中的主元列集中在左侧从而在左上角形成这个单位阵而将自由列集中在矩阵的右侧。如果矩阵 A 中的某些行是线性相关的则在矩阵 R 的下半部分就会出现一些完全为 0 的行向量。 这里的 I 是一个 r x r 的方阵。F 即自由列消元后组成的部分。
