网络公司给我做网站我有没有源代码版权吗,企业培训权威机构,郴州市地图全图,室内设计平面图上色摘录来自笔记网站的笔记。笔记网站详见https://onford.github.io/Notes/。 大学物理#xff08;下#xff09;笔记
部分常用物理常量的计算值 C h a p t e r 9 Chapter9 Chapter9 恒定磁场
毕奥-萨伐尔定律 磁场和电场在很多性质上是有共性的#xff0c;很多时候可以拿它… 摘录来自笔记网站的笔记。笔记网站详见https://onford.github.io/Notes/。 大学物理下笔记
部分常用物理常量的计算值 C h a p t e r 9 Chapter9 Chapter9 恒定磁场
毕奥-萨伐尔定律 磁场和电场在很多性质上是有共性的很多时候可以拿它们两个相互对比。 恒定磁场最基础的公式是毕奥-萨伐尔定律 d B μ 0 4 π I d l × e r r 2 (9.1) \textrm{d}\boldsymbol B\cfrac{\mu_0}{4\pi}\cfrac{I\textrm{d}\boldsymbol l\times\boldsymbol e_r}{r^2}\tag{9.1} dB4πμ0r2Idl×er(9.1) μ 0 4 π × 1 0 − 7 T ⋅ m / A \mu_04\pi\times10^{-7}\mathrm{T\cdot m/A} μ04π×10−7T⋅m/A这个常数可以记忆一下。基于此我们能够计算到电流为 I I I的长直载流导线在距离其为 r r r处激发的磁场为 B μ 0 I 4 π r ( cos φ 1 − cos φ 2 ) (9.2) B\cfrac{\mu_0I}{4\pi r}(\cos \varphi_1-\cos\varphi_2)\tag{9.2} B4πrμ0I(cosφ1−cosφ2)(9.2) 其中 φ 1 , φ 2 \varphi_1,\varphi_2 φ1,φ2是该点与导线两端的连线和导线所成的夹角。无限长直载流导线激发的磁场其实就是 ( 9.1 ) (9.1) (9.1)式在 φ 1 0 , φ 2 π \varphi_10,\varphi_2\pi φ10,φ2π时的情况 B μ 0 I 2 π r (9.3) B\cfrac{\mu_0I}{2\pi r}\tag{9.3} B2πrμ0I(9.3) 通过毕奥-萨伐尔定律还能够算得半径为 R R R的圆环电流 I I I在其轴线上坐标为 x x x的点处产生的磁场大小 B μ 0 I 2 ( R 2 x 2 ) 3 / 2 (9.4) B\cfrac{\mu_0I}{2(R^2x^2)^{3/2}}\tag{9.4} B2(R2x2)3/2μ0I(9.4) 这个能够自行推导感觉就足够了倒也不是特别好记。
磁偶极子 磁偶极子可以认为是一个平面环形电流只有当这个环的线度在问题中可以忽略时才能把它作为磁偶极子处理。 这很容易让我们联想到电偶极子。两者之间的对比如下 电偶极子在电场中受到力矩作用达到稳定平衡状态时电矩与电场方向相同能够解释有极分子的取向极化磁偶极子在磁场中受到力矩作用达到稳定平衡状态时磁矩与磁场方向相同能够解释顺磁质的磁化。
磁场的高斯定理与安培环路定理 磁场的高斯定理 ∮ S B ⋅ d S 0 (9.5) \oint_S \boldsymbol{B\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol{S}0\tag{9.5} ∮SB ⋅dS0(9.5) 说明磁场是无源场这在本质上是因为不存在所谓“磁单极子”或者叫做“磁荷”的东西。而静电场是由“电荷”所激发的所以静电场是有源场 ∮ S E ⋅ d S q ε 0 (9.6) \oint_S \boldsymbol{E\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cfrac{q}{\varepsilon_0}\tag{9.6} ∮SE ⋅dSε0q(9.6) 在恒定磁场中安培环路定理也经常被应用 ∮ L B ⋅ d l μ 0 I (9.7) \oint_L\boldsymbol{B\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol{l}\mu_0I\tag{9.7} ∮LB ⋅dlμ0I(9.7)
洛伦兹力与安培力 主要想谈谈其矢量式中各个量摆放顺序的问题。 洛伦兹力 F q v × B (9.8) \boldsymbol{F}q\boldsymbol{v\ \times B}\tag{9.8} Fqv ×B(9.8) 安培力 F I L × B (9.9) \boldsymbol{F}I\boldsymbol{L\ \times B}\tag{9.9} FIL ×B(9.9) 观察 ( 9.8 ) (9.8) (9.8)式和 ( 9.9 ) (9.9) (9.9)式发现它们都能写成“电量·运动量×场量”的形式。其中粗体为矢量。
磁化强度 M \boldsymbol{M} M与磁场强度 H \boldsymbol{H} H 我们通常习惯于用磁感应强度 B \boldsymbol{B} B来描述磁场用电场强度 E \boldsymbol{E} E来描述电场。当电磁场中存在介质的时候这种描述方法是不好的。 磁化强度 M \boldsymbol{M} M与磁场强度 H \boldsymbol{H} H是为了研究磁介质的磁化在磁感应强度 B \boldsymbol{B} B的基础上上又增加的两个磁场量。在研究电介质的极化时也曾引入电极化强度 P \boldsymbol{P} P和电位移矢量 D \boldsymbol{D} D.下面对这些量进行对比分析。
磁化强度 M \boldsymbol{M} M与电极化强度 P \boldsymbol{P} P 磁化强度 M \boldsymbol{M} M的定义与电极化强度 P \boldsymbol{P} P的定义式非常相似 M ∑ i 1 n m i Δ V P ∑ i 1 n p i Δ V (9.10) \boldsymbol{M}\cfrac{\sum\limits_{i1}^n\boldsymbol{m}_ i }{\Delta V}\qquad \boldsymbol{P}\cfrac{\sum\limits _{i1}^n\boldsymbol{p}_i }{\Delta V}\tag{9.10} MΔVi1∑nmiPΔVi1∑npi(9.10) 磁化强度 M \boldsymbol{M} M描述磁介质受到磁化的情况而磁介质磁化时伴有磁化电流 I ′ I I′.所以这两者还是有联系的 ∮ L M ⋅ d l ∑ I ′ (9.11) \oint_ L\boldsymbol{M\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol l\sum I\tag{9.11} ∮LM ⋅dl∑I′(9.11) 其中 ∑ I ′ \sum I ∑I′表示穿过环路 L L L的所有磁化电流之和。 类似地电极化强度 P \boldsymbol{P} P描述电介质在外电场中产生的极化情况而电介质极化时会产生束缚电荷 q ′ q q′.这两者有如下的联系 ∮ S P ⋅ d S − ∑ q ′ (9.12) \oint_ S\boldsymbol{P\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol S-\sum q\tag{9.12} ∮SP ⋅dS−∑q′(9.12) 其中 ∑ q ′ \sum q ∑q′表示高斯面 S S S内所有的束缚电荷之和。式 ( 9.11 ) (9.11) (9.11)与 ( 9.12 ) (9.12) (9.12)在形式上非常相似需要注意的是式 ( 9.12 ) (9.12) (9.12)多出了一个负号。
磁场强度 H \boldsymbol H H和电位移矢量 D \boldsymbol D D 磁场强度 H \boldsymbol{H} H给我带来的直观感受是它是磁感应强度 B \boldsymbol{B} B在磁介质存在情况下为了保证某种连续性而定义的表征磁场的量。这是它的定义式 H B μ r μ 0 B μ (9.13) \boldsymbol{H}\cfrac{\boldsymbol B}{\mu_r\mu_0}\cfrac{\boldsymbol B}{\mu}\tag{9.13} Hμrμ0BμB(9.13) 可以看到连接磁场强度 H \boldsymbol H H与磁感应强度 B \boldsymbol B B的桥梁是磁导率 μ \mu μ. 在没有磁介质的情况下磁感应强度 B \boldsymbol{B} B在空间内是连续的因此磁感线也是连续的。但是在有磁介质的情况下磁感应强度矢量 B \boldsymbol{B} B将会失去它的空间连续性也就是说 B \boldsymbol B B会在不同磁介质的交界处发生跳变。这一跳变是不同的磁导率造成的。不过这个时候 H \boldsymbol H H却具有空间连续性因此用它描述磁场是比较理想的。 当然对于电场强度 E \boldsymbol E E和电极化强度 D \boldsymbol D D来说上面的性质也是成立的。在空间中存在电介质的情况下 E \boldsymbol E E的空间连续性将失去 D \boldsymbol D D的空间连续性将被保留。教材中对于 D \boldsymbol D D的引入是下式 D ε 0 E P (9.14) \boldsymbol D\varepsilon _0\boldsymbol E\boldsymbol P\tag{9.14} Dε0EP(9.14) 我认为这样的引入很不妥当。可以给出类似式 ( 9.13 ) (9.13) (9.13)的定义 D ε r ε 0 E ε E (9.15) \boldsymbol D\varepsilon_ r\varepsilon_ 0\boldsymbol E\varepsilon \boldsymbol E\tag{9.15} Dεrε0EεE(9.15) 从式 ( 9.15 ) (9.15) (9.15)能够看到电位移矢量 D \boldsymbol D D与电场强度 E \boldsymbol E E之间是通过介电常数 ε \varepsilon ε联系起来的。 此外我们发现磁场强度 H \boldsymbol H H与磁化强度 M \boldsymbol M M具有相同的量纲实际上也有积分式 ∮ L H ⋅ d l ∑ I (9.16) \oint_ L\boldsymbol{H\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol l\sum I\tag{9.16} ∮LH ⋅dl∑I(9.16) 其中 ∑ I \sum I ∑I表示穿过环路 L L L的所有传导电流之和。我们大致能够得出这样的结论 H \boldsymbol H H描述的是空间某点本来的磁场 M \boldsymbol M M描述这一点由磁介质产生的磁场 B \boldsymbol B B是由前面两个磁场叠加得到的、描述该点实际磁场情况的物理量。这正如式 ( 9.17 ) (9.17) (9.17)所描述的那样。 ∮ L ( H M ) ⋅ d l ∑ ( I I ′ ) ∮ L B μ 0 ⋅ d l (9.17) \oint_ L(\boldsymbol H\boldsymbol M)\ \boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\sum(II)\oint _L \cfrac{\boldsymbol B}{\mu_0}\boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{9.17} ∮L(HM) ⋅dl∑(II′)∮Lμ0B⋅dl(9.17) 类似地在存在电介质的电场中我们也有式 ( 9.18 ) (9.18) (9.18)和式 ( 9.19 ) (9.19) (9.19). ∮ S D ⋅ d S ∑ q (9.18) \oint_ S\boldsymbol{D\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol S\sum q\tag{9.18} ∮SD ⋅dS∑q(9.18) ∮ S ( D − P ) ⋅ d S ∑ ( q q ′ ) ∮ S ε 0 E ⋅ d l (9.19) \oint_ S(\boldsymbol D-\boldsymbol P)\ \boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol S\sum(qq)\oint _S \varepsilon_0\boldsymbol E\boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{9.19} ∮S(D−P) ⋅dS∑(qq′)∮Sε0E⋅dl(9.19) 式 ( 9.18 ) (9.18) (9.18)中 ∑ q \sum q ∑q表示高斯面 S S S内所有的自由电荷之和。
磁化电流面密度 首先应指出电流面密度不是电流密度。通常意义上的电流 I I I单位是 A \mathrm{A} A流过一根直线沿着电流垂面方向截得一个点。电流流过一个平面时沿着电流垂面方向截得一条直线因此用电流面密度 i i i描述单位 A / m \mathrm{A/m} A/m.电流流过一个立体时沿电流垂面方向截得一个平面因此用电流密度 j j j描述单位 A / m 2 \mathrm{A/m^2} A/m2. 磁化电流是上面的第二种用磁化电流面密度 i m i_\mathrm{m} im描述。一般要求 i m i_\mathrm{m} im有两种思路第一种是根据定义 i m d I d L I L (9.20) i_\mathrm{m}\cfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}L}\cfrac{I}{L}\tag{9.20} imdLdILI(9.20) 其中 i m I L i_\mathrm{m}\cfrac{I}{L} imLI只适合于电流沿 L L L均匀分布的情况。如果题目中给出了或者可以求得磁化强度 M \boldsymbol M M也可以采用第二种求法 i m M × e n (9.21) \boldsymbol i _\mathrm{m}\boldsymbol{M\ \times e} _\mathrm{n}\tag{9.21} imM ×en(9.21) 其中 e n \boldsymbol e_\mathrm{n} en是磁介质表面法向单位矢量。此时磁化电流面密度的大小 i m M i_\mathrm{m}M imM. C h a p t e r 10 Chapter10 Chapter10 电磁感应
感应电动势 电源电动势是非静电场场强 E k \boldsymbol E_\mathrm{k} Ek从负极到正极的曲线积分 E ∫ − E k ⋅ d l (10.1) \mathscr{E}\int _-^\boldsymbol E _\mathrm{k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{10.1} E∫−Ek⋅dl(10.1) 比如动生电动势的情况下就有 E k v × B \boldsymbol E _ \mathrm{k}\boldsymbol{v\times B} Ekv×B此时的非静电力是洛伦兹力。有些情况这种非静电力分散在回路的各个角落分不清电源正负极那么 E ∮ L E k ⋅ d l (10.2) \mathscr{E}\oint _L\boldsymbol E _\mathrm{k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{10.2} E∮LEk⋅dl(10.2) 沿着闭合回路积分即可。动生电动势中如果金属导体本身构成了回路就适用式 ( 10.2 ) . (10.2). (10.2).感生电动势也属于这种情况非静电场是感应电场感应电动势分布在导体的各个部分。 感应电场具有有旋场的性质是一个非保守场当然不能引入电势的概念。但是对于感应电场中的导体我们仍然可以研究导体上 a a a点与 b b b点的电势差是多少因为这里的“电势”是针对导体内部电场而言的由于导体电阻的压降其内部的电场仍然是一个保守场。 不过所求的电动势如果是感应电动势的话除了电动势的定义也不要忘掉唯一真神——法拉第电磁感应定律 E i − d Φ d t (10.3) \mathscr{E} _ \mathrm i-\cfrac{\mathrm d\varPhi}{\mathrm dt}\tag{10.3} Ei−dtdΦ(10.3) 如果导体构成的回路不随时间变化即 S S S是常量那么式 ( 10.3 ) (10.3) (10.3)也可以写成 E i − ∫ ∂ B ∂ t ⋅ d S (10.4) \mathscr E _ \mathrm i -\int \cfrac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}\boldsymbol\cdot\mathrm d\boldsymbol S\tag{10.4} Ei−∫∂t∂B⋅dS(10.4) 这个在感生电动势中使用得比较多。
磁场能量 和电场一样磁场本身也具有能量。
麦克斯韦方程组Maxwell’s Equations 麦克斯韦方程组的前两式表示了电场、磁场本身的特性。电场有源磁场无源 ∮ S D ⋅ d S ∑ q ∫ V ρ d V (10.5) \oint _ S\boldsymbol{D\cdot}\mathrm d\boldsymbol S\sum q\int _ V \rho\mathrm dV\tag{10.5} ∮SD⋅dS∑q∫VρdV(10.5) ∮ S B ⋅ d S 0 (10.6) \oint _ S\boldsymbol{B\cdot}\mathrm d\boldsymbol S0\tag{10.6} ∮SB⋅dS0(10.6) 式Ⅲ是经典的“磁生电” ∮ L E ⋅ d l − ∫ S ∂ B ∂ t ⋅ d S (10.7) \oint _ L \boldsymbol{E\cdot}\mathrm d\boldsymbol l-\int _ S \cfrac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}\boldsymbol\cdot \mathrm d\boldsymbol S\tag{10.7} ∮LE⋅dl−∫S∂t∂B⋅dS(10.7) 个人感觉麦克斯韦方程组的核心是位移电流概念的引入。空间中电位移矢量的变化 ∂ D ∂ t \cfrac{\partial\boldsymbol D}{\partial t} ∂t∂D单位 A / m 2 \mathrm{A/m^2} A/m2具有和传导电流 I I I一样的磁效应从而修正了安培环路定理 ∮ L H ⋅ d l I I d ∫ S ( j ∂ D ∂ t ) ⋅ d S (10.8) \oint _ L\boldsymbol{H\cdot}\mathrm d\boldsymbol lII _ d\int _ S\left(\boldsymbol j\cfrac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\right)\boldsymbol\cdot\mathrm d\boldsymbol S\tag{10.8} ∮LH⋅dlIId∫S(j∂t∂D)⋅dS(10.8) 这是方程组的式Ⅳ定量描述“电生磁”。 同时注意位移电流是真实存在的。意思不是说位移电流是一种真正意义上的电流这是一个比较抽象的事情。 C h a p t e r 11 Chapter 11 Chapter11 振动与波动
频率相同、方向垂直的简谐运动合成 运动可以用参数方程描述 { x A 1 cos ( ω t φ 1 ) y A 2 cos ( ω t φ 2 ) (11.1) \begin{cases} xA _ 1\cos(\omega t\varphi _ 1)\\ yA _ 2\cos(\omega t\varphi _ 2)\end{cases}\tag{11.1} {xA1cos(ωtφ1)yA2cos(ωtφ2)(11.1) 我们已经知道消去 t t t后的运动方程是 x 2 A 1 2 y 2 A 2 2 − 2 x y A 1 A 2 cos ( φ 2 − φ 1 ) sin 2 ( φ 2 − φ 1 ) (11.2) \cfrac{x^2}{A _1^2}\cfrac{y^2}{A _2^2}-\cfrac{2xy}{A _1A _2}\cos(\varphi _2-\varphi _1)\sin^2(\varphi _2-\varphi _1)\tag{11.2} A12x2A22y2−A1A22xycos(φ2−φ1)sin2(φ2−φ1)(11.2) 可以是这样推导的。记 θ 1 ω t φ 1 , θ 2 ω t φ 2 \theta _ 1\omega t\varphi _1,\theta _2\omega t\varphi _2 θ1ωtφ1,θ2ωtφ2. sin 2 ( φ 2 − φ 1 ) sin 2 ( θ 2 − θ 1 ) ( sin θ 2 cos θ 1 − cos θ 2 sin θ 1 ) 2 ( 1 − cos 2 θ 2 ) cos 2 θ 1 ( 1 − cos 2 θ 1 ) cos 2 θ 2 − 2 cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 cos 2 θ 1 cos 2 θ 2 − 2 cos θ 1 cos θ 2 ( cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) x 2 A 1 2 y 2 A 2 2 − 2 x y A 1 A 2 cos ( θ 2 − θ 1 ) x 2 A 1 2 y 2 A 2 2 − 2 x y A 1 A 2 cos ( φ 2 − φ 1 ) (11.3) \begin{aligned}\sin^2(\varphi _2-\varphi _1)\sin^2(\theta _2-\theta _1)\\ (\sin\theta _2\cos\theta _1-\cos\theta _2\sin\theta _1)^2\\ (1-\cos^2\theta _2)\cos^2\theta _1(1-\cos^2\theta _1)\cos^2\theta _2-2\cos\theta _1\cos\theta _2\sin\theta _1\sin\theta _2\\ \cos^2\theta _1\cos^2\theta _2-2\cos \theta _1\cos\theta _2(\cos\theta _1\cos\theta _2\sin\theta _1\sin\theta _2)\\ \cfrac{x^2}{A _1^2}\cfrac{y^2}{A _2^2}-\cfrac{2xy}{A _1A _2}\cos(\theta _2-\theta _1)\\ \cfrac{x^2}{A _1^2}\cfrac{y^2}{A _2^2}-\cfrac{2xy}{A _1A _2}\cos(\varphi _2-\varphi _1)\end{aligned}\tag{11.3} sin2(φ2−φ1)sin2(θ2−θ1)(sinθ2cosθ1−cosθ2sinθ1)2(1−cos2θ2)cos2θ1(1−cos2θ1)cos2θ2−2cosθ1cosθ2sinθ1sinθ2cos2θ1cos2θ2−2cosθ1cosθ2(cosθ1cosθ2sinθ1sinθ2)A12x2A22y2−A1A22xycos(θ2−θ1)A12x2A22y2−A1A22xycos(φ2−φ1)(11.3)
阻尼振动 阻尼振动的方程为 d 2 x d t 2 2 β d x d t ω 0 2 x 0 (11.4) \cfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm dt^2}2\beta\cfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\omega _0^2x0\tag{11.4} dt2d2x2βdtdxω02x0(11.4) 书上只说明了在弱阻尼情况下 ( β ω 0 ) (\beta \omega _0) (βω0)的通解 x A 0 e − β t cos ( ω 0 2 − β 2 t φ 0 ) (11.5) xA _0\mathrm{e}^{-\beta t}\cos\left(\sqrt{\omega _0^2-\beta^2}t\varphi _0\right)\tag{11.5} xA0e−βtcos(ω02−β2 tφ0)(11.5) 实际上我们可以对微分方程 ( 11.4 ) (11.4) (11.4)进行求解。它的特征方程是 λ 2 2 β λ ω 0 2 0 (11.6) \lambda^22\beta\lambda\omega _0^20\tag{11.6} λ22βλω020(11.6) 这是一个一元二次方程判别式 Δ 4 ( β 2 − ω 0 2 ) \Delta4(\beta^2-\omega _0^2) Δ4(β2−ω02). 在弱阻尼 ( β ω 0 ) (\beta \omega _0) (βω0)情况下 Δ 0 \Delta 0 Δ0记 ω ω 0 2 − β 2 \omega\sqrt{\omega _0^2-\beta^2} ωω02−β2 式 ( 11.6 ) (11.6) (11.6)有共轭复根 λ 1 , 2 − β ± ω i (11.7) \lambda _{1,2}-\beta\pm\omega \mathrm{i}\tag{11.7} λ1,2−β±ωi(11.7) 从而得到 ( 11.4 ) (11.4) (11.4)的解为 x e − β t ( C 1 cos ω t C 2 sin ω t ) x\mathrm{e}^{-\beta t}(C _1\cos\omega tC _2\sin\omega t) xe−βt(C1cosωtC2sinωt).这一形式同式 ( 11.5 ) (11.5) (11.5). 在过阻尼 ( β ω 0 ) (\beta \omega _0) (βω0)情况下 Δ 0 \Delta 0 Δ0记 ω ′ β 2 − ω 0 2 \omega\sqrt{\beta^2-\omega _0^2} ω′β2−ω02 式 ( 11.6 ) (11.6) (11.6)有两根 λ 1 , 2 − β ± ω ′ (11.8) \lambda _{1,2}-\beta\pm\omega\tag{11.8} λ1,2−β±ω′(11.8) 此时运动方程 ( 11.4 ) (11.4) (11.4)的解的形式为 x e − β t ( A 1 e ω ′ t A 2 e − ω ′ t ) (11.9) x\mathrm e^{-\beta t}(A _1\mathrm e^{\omega t}A _2\mathrm e^{-\omega t})\tag{11.9} xe−βt(A1eω′tA2e−ω′t)(11.9) 在临界阻尼 ( β ω 0 ) (\beta \omega _0) (βω0)情况下 Δ 0 \Delta 0 Δ0此时 ( 11.6 ) (11.6) (11.6)有重根 λ 1 , 2 − β (11.10) \lambda _{1,2}-\beta\tag{11.10} λ1,2−β(11.10) 也可以由此得到运动方程 ( 11.4 ) (11.4) (11.4)的解为 x e − β t ( A 0 A 1 t ) (11.11) x\mathrm e^{-\beta t}(A _0A _1t)\tag{11.11} xe−βt(A0A1t)(11.11) 可以统一 ( 11.4 ) (11.4) (11.4)的解的形式为 x e − β t f ( t ) x\mathrm e^{-\beta t}f(t) xe−βtf(t).临界阻尼情况下的 f ( t ) f(t) f(t)是多项式过阻尼情况下的 f ( t ) ∼ e ∣ ω ′ ∣ t f(t)\sim \mathrm e^{|\omega|t} f(t)∼e∣ω′∣t 是指数阶所以临界阻尼衰减得比过阻尼快。
波的能量 机械波 y ( x , t ) A cos [ ω ( t − x u ) φ ] y(x,t)A\cos[\omega(t-\cfrac{x}{u})\varphi] y(x,t)Acos[ω(t−ux)φ]在密度为 ρ \rho ρ的介质中传播时在任意时刻某一质元的动能和势能都是相等的。 波的平均能量密度 w ‾ 1 2 ρ A 2 ω 2 \overline w\cfrac{1}{2}\rho A^2\omega^2 w21ρA2ω2. 波的平均能流密度 I w ‾ u 1 2 ρ A 2 ω 2 u I\overline wu\cfrac{1}{2}\rho A^2\omega^2u Iwu21ρA2ω2u.
多普勒效应 当波源Source和接收器Receiver以接近速度 v S v _S vS和 v R v _R vR相对运动时有 ν R u v R u − v S ν S (11.12) \nu _R\cfrac{uv _R}{u-v _S}\nu _S\tag{11.12} νRu−vSuvRνS(11.12) 这是机械波的多普勒效应观测者体现在分子波源体现在分母。其实为了方便记忆可以将式 ( 11.12 ) (11.12) (11.12)变形为式 ( 11.13 ) (11.13) (11.13) ν R u v R ν S u − v S (11.13) \cfrac{\nu _R}{uv _R}\cfrac{\nu _S}{u-v _S}\tag{11.13} uvRνRu−vSνS(11.13) 接收器在左边波源在右边。至于 v R , v S v _R,v _S vR,vS前的符号可以根据常识推断。 如果是电磁波的多普勒效应那就需要考虑相对论因素 ν R c v c − v ν S (11.14) \nu _R\sqrt{\cfrac{cv}{c-v}}\nu _S\tag{11.14} νRc−vcv νS(11.14) 方便记忆也可以变形为如下形式 ν R c v ν S c − v (11.15) \cfrac{\nu _R}{\sqrt{cv}}\cfrac{\nu _S}{\sqrt{c-v}}\tag{11.15} cv νRc−v νS(11.15)
其他想说的 劲度系数分别为 k 1 , k 2 k _1,k _2 k1,k2的两根轻弹簧首尾相连串行连接构成劲度系数为 k 1 k 2 k 1 k 2 \cfrac{k _1k _2}{k _1k _2} k1k2k1k2的弹簧。如果是把头与头相连、尾与尾相连并行连接则构成劲度系数为 k 1 k 2 k _1k _2 k1k2的弹簧。 C h a p t e r 13 Chapter 13 Chapter13 波动光学 波动光学由于之前并未过多接触所以看起来公式量有些多。但其实也还好每个知识点都记住一些个核心公式就好了然后从这些比较核心的公式以比较小的代价去推导其他的公式。 这一章需要牢牢扣住光程差 δ \delta δ这一个要点。光程差可以与相位差产生联系 δ λ 2 π Δ φ (13.1) \delta\cfrac{\lambda}{2\pi}\Delta\varphi\tag{13.1} δ2πλΔφ(13.1) 从而判断两束光波在某处的叠加情况。这一章的另外一个要点是近似处理。
双缝干涉杨氏双缝干涉 距离为 d d d的两个小孔将它们看作两个初相位相同的光源它们发出的光的强度在距离为 D D D的屏幕上发生相干叠加。光程差 δ n r 1 − n r 2 ≈ n d sin θ (13.2) \deltanr _1-nr _2\approx nd\sin\theta\tag{13.2} δnr1−nr2≈ndsinθ(13.2) 式 ( 13.2 ) (13.2) (13.2)是双缝干涉的基本公式约等号处使用了近似处理。可以由它推导其他公式。 由于 θ \theta θ很小近似有 sin θ ≈ θ ≈ tan θ x D \sin\theta\approx\theta\approx\tan\theta\cfrac{x}{D} sinθ≈θ≈tanθDx其中 x x x是干涉点到屏幕中心店的距离。将其与代入式 ( 13.2 ) (13.2) (13.2)就有 δ n d sin θ ≈ n d x D (13.3) \deltand\sin\theta\approx\cfrac{ndx}{D}\tag{13.3} δndsinθ≈Dndx(13.3) 由 C h a p t e r 11 Chapter11 Chapter11的内容能够比较容易地想到下面的情况 Δ φ { 2 k π 合振幅极大 , ( 2 k − 1 ) π 合振幅极小 . (13.4) \Delta\varphi\begin{cases}2k\pi\text{合振幅极大},\\ (2k-1)\pi\text{合振幅极小}. \end{cases}\tag{13.4} Δφ{2kπ(2k−1)π合振幅极大,合振幅极小.(13.4) 所以结合式 ( 13.1 ) (13.1) (13.1)得到 δ n d sin θ { k λ 光强极大 , ( k − 1 2 ) λ 光强极小 . (13.5) \deltand\sin\theta\begin{cases}k\lambda \text{光强极大},\\\left (k-\cfrac{1}{2}\right)\lambda \text{光强极小}.\end{cases}\tag{13.5} δndsinθ⎩ ⎨ ⎧kλ(k−21)λ光强极大,光强极小.(13.5) 显然光强极大对应明纹光强极小对应暗纹。 除了上述方法也可以只记下面的公式 I θ I 0 cos 2 β (13.6) I _\thetaI _0\cos^2\beta\tag{13.6} IθI0cos2β(13.6) 其中的 β π n d sin θ λ \beta\cfrac{\pi nd\sin\theta}{\lambda} βλπndsinθ.一般实验都在 n ≈ 1 n\approx 1 n≈1的空气中进行 β π d sin θ λ \beta\cfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda} βλπdsinθ.显然 cos 2 β 1 \cos^2\beta1 cos2β1对应明纹 cos 2 β 0 \cos^2\beta0 cos2β0对应暗纹。
分振幅干涉 先考虑等倾干涉同样可以记住一个基本公式 δ 2 n d cos γ (13.7) \delta2nd\cos\gamma\tag{13.7} δ2ndcosγ(13.7) 实际如果两个反射面中只有一处发生半波损失 δ \delta δ还应该加上 λ 2 \cfrac{\lambda}{2} 2λ.这个公式当然可以现场推导但是花费的时间会比较多建议记住。可以通过这个推导明暗纹条件。 等厚干涉就是对每一个厚度 d d d都考虑式 ( 13.7 ) (13.7) (13.7)每个厚度对应相同的一个光程差 δ \delta δ. 对于等倾干涉来说 γ \gamma γ是一个变量 δ \delta δ随 γ \gamma γ的变化而不同因此相同 γ \gamma γ的点一个一个同心圆对应相同的 δ \delta δ从而干涉情况相同。对于等厚干涉来说 γ 0 \gamma0 γ0即只考虑正入射但是 d d d是变量 δ \delta δ随 d d d的变化而不同因此相同 d d d的点一系列平行线对应相同的 δ \delta δ从而干涉情况相同。
单缝衍射单缝夫琅禾费衍射 公式的推导略显复杂我们只需要记住结果产生与狭缝平行的干涉条纹强度为 I θ I 0 ( sin α α ) 2 (13.8) I _\thetaI _0 \left(\cfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\tag{13.8} IθI0(αsinα)2(13.8) 如果实验在 n 1 n1 n1的环境下进行 α π a sin θ λ \alpha\cfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} αλπasinθ.如果 n ≠ 1 n\neq 1 n1也一样 λ \lambda λ代表在介质中的波长。根据该式可以推出各暗纹极小的位置明纹极大的位置也可以近似地计算。
多缝衍射 多缝衍射需要同时考虑干涉和衍射的结果光强公式为 I θ I 0 ( sin α α ) 2 ( sin N β sin β ) 2 (13.9) I _\thetaI _0\left(\cfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\left(\cfrac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2\tag{13.9} IθI0(αsinα)2(sinβsinNβ)2(13.9) α \alpha α是和衍射有关的参数 β \beta β是和干涉有关的参数。实际上当 N 2 N2 N2时式 ( 13.9 ) (13.9) (13.9)变为 I θ 4 I 0 ( sin α α ) 2 cos 2 β (13.10) I _\theta4I _0\left(\cfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\cos^2\beta\tag{13.10} Iθ4I0(αsinα)2cos2β(13.10) 这个和双缝衍射的 I θ I 0 ( sin α α ) 2 cos 2 β I _\thetaI _0\left(\cfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\cos^2\beta IθI0(αsinα)2cos2β具有相同的形式。 T h e E n d . \boxed{\mathbb{The\ End}.} The End.
