青海高端网站建设,网站首页是动态的视频怎么做,公司网站建设视频教程,wordpress获取qq头像评论注#xff1a;本文为“遇见数学”翻译的 “数学分支概览” 两篇文章合辑。 数学世界的版图#xff1a;主要分支概览#xff08;上#xff09;
原创 遇见数学 2025 年 04 月 03 日 12:02 河南
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在文艺复兴之前本文为“遇见数学”翻译的 “数学分支概览” 两篇文章合辑。 数学世界的版图主要分支概览上
原创 遇见数学 2025 年 04 月 03 日 12:02 河南
数学的分支Areas of Mathematics
在文艺复兴之前数学主要分为两个领域算术Arithmetic关于数的运算和几何Geometry关于形状的研究。当时一些伪科学如数字占卜Numerology和占星术Astrology并未与数学严格区分开来。
文艺复兴时期两个新的领域逐渐发展起来代数Algebra和微积分Calculus。数学符号的发展推动了代数的诞生广义上讲它是对公式的研究与操作。微积分包括微分学Differential Calculus和积分学Integral Calculus两个子领域研究连续变化的函数这些函数通常用来构建非线性的变量之间的关系。这种将数学划分为四大领域算术、几何、代数、微积分的方式一直持续到 19 世纪末。
像天体力学Celestial Mechanics和固体力学Solid Mechanics这样的学科最初由数学家研究但现在通常归入物理学的范畴。组合数学Combinatorics虽然在有记载的历史中早已被研究但直到 17 世纪才被视为数学的一个独立分支。
19 世纪末数学基础危机的爆发以及随之而来的公理化方法的系统化催生了大量新的数学分支。
《2020 年数学学科分类》Mathematics Subject Classification列出了不少于 63 个一级学科。
其中一些延续了传统划分方式例如数论即 “高等算术” 的现代称呼和几何另一些领域虽不以 “几何” 命名却依然被认为属于几何学范畴。而 “代数” 和 “微积分” 虽不再作为一级学科出现但分别被拆分为多个一级领域。还有一些一级领域是在 20 世纪出现的或者此前并不被视为数学的一部分如数理逻辑和数学基础。 数论Number Theory 这张图展示的是乌拉姆螺旋Ulam Spiral用于可视化质数的分布。图中沿对角线的深色点暗示了一个猜想质数在某些二次多项式取值中近似呈独立分布这一猜想现被称为哈代 - 李特尔伍德猜想 FHardy–Littlewood Conjecture F)。
数论起初是对自然数 的研究后来扩展到整数 和有理数 。数论曾被称为 “算术”但在当今“算术” 一词主要用于指基础的数值计算。
数论的历史可以追溯到古巴比伦或可能更早的中国。古希腊的欧几里得与亚历山大的丢番图是早期著名的数论学者。现代抽象数论的奠基者被认为是皮埃尔・费马与莱昂哈德・欧拉而勒让德和高斯的贡献则使该领域逐渐完善。
许多表述简单的数论问题其解法却需要高度复杂的数学工具往往跨越多个数学分支。
例如费马大定理由费马在 1637 年提出但直到 1994 年才由安德鲁・怀尔斯证明他运用了包括代数几何中的概形理论、范畴论和上同调代数等工具。 另一个著名问题是哥德巴赫猜想即每个大于 2 的偶数都可以表示为两个质数之和。该猜想由克里斯蒂安・哥德巴赫于 1742 年提出尽管已有大量研究成果但至今仍未被证明。
数论的子领域包括
解析数论Analytic Number Theory代数数论Algebraic Number Theory几何数论方法导向Geometry of Numbers丢番图方程Diophantine Equations超越数论问题导向Transcendence Theory 几何Geometry 在球面上欧几里得几何仅适用于局部近似。若在更大尺度上三角形的内角和将不等于 。
几何是最古老的数学分支之一。它起源于对形状的经验性研究如直线、角度和圆最初主要为测量和建筑服务后来发展出众多子领域。
古希腊人开创性的引入了 “证明” 的概念强调每一个命题都需经逻辑推导加以证明。例如不能仅凭测量判断两个线段相等而应从已知定理和基本前提出发通过推理得出其等值。这些基本前提包括公设Postulates不需证明的自明真理与公理Axioms作为研究对象定义一部分的陈述。这一原则成为整个数学的基础最早在几何中进行系统化由欧几里得在公元前约 300 年所著《几何原本》中完整阐述。 “在古希腊传统中‘公设’通常指几何直观的规则而‘公理’更偏向逻辑推理的基础前提。在现代数学中这一区分已无实际作用二者统一归入‘公理系统’。” 由此形成的欧几里得几何Euclidean Geometry研究由线、面、圆等构成的二维平面几何与三维欧几里得空间中的图形结构。
几何的研究方法与范围从古至今变化不大直到 17 世纪笛卡尔引入了笛卡尔坐标系带来了范式的重大变革。通过将点的位置用数值坐标表示几何问题开始可以借助代数甚至微积分来解决。
几何由此分化出两个新分支
综合几何Synthetic Geometry仅依赖几何构造与逻辑推理解析几何Analytic Geometry使用坐标系统研究几何问题
解析几何使得研究抛物线、椭圆等任意曲线成为可能这些研究推动了
微分几何Differential Geometry研究函数图像定义的曲线与曲面代数几何Algebraic Geometry研究由多项式方程定义的几何对象更高维欧几里得空间
19 世纪数学家发现了不满足平行公设的非欧几何Non-Euclidean Geometry。 通过质疑该公设的真实性这一发现与罗素悖论一起被视为揭示了数学的基础危机。这一危机的解决方案是系统化公理方法并接受公理的选取是人为设定的前提。
这一方法的确立使得数学家能研究不同公理系统下的几何或在特定变换下保持不变的性质。
现代几何的子领域包括
射影几何由吉拉德・笛沙格于 16 世纪提出引入无穷远点使得所有直线相交统一了平行线和交点的处理。仿射几何研究与平行性相关、但与长度无关的几何性质。微分几何研究由可微函数定义的曲线、曲面及其推广。流形理论研究不一定嵌入在更高维空间中的几何对象。黎曼几何研究曲率空间中的距离与测度。代数几何研究由多项式方程定义的几何对象。拓扑学研究在连续变形下保持不变的性质。代数拓扑用代数方法如上同调代数研究拓扑问题。离散几何研究有限图形配置的几何性质。凸几何研究凸集广泛用于最优化问题。复几何将实数替换为复数后得到的几何结构。 代数Algebra 魔方群是群论的一个具体应用。
代数是方程与公式的操作艺术。丢番图3 世纪和花拉子米9 世纪是代数的两位奠基者。
丢番图通过逻辑推导与变换关系解出含有自然数解的方程。花拉子米则引入了系统的方程变换方法如移项等。“代数” 一词来自阿拉伯语 al-jabr意为 “复原”这是他用于命名其主要著作中一种方法的词语。 弗朗索瓦・韦达 (François Viète)
直到 16 世纪末法国数学家弗朗索瓦・韦达引入用字母分别表示已知数和未知数为代数表达式的形成奠定基础使其成为一门独立学科。变量的使用使数学家可以用公式表示运算步骤。
19 世纪前代数主要研究线性方程即线性代数和一元多项式方程即所谓的代数方程。19 世纪中期起数学家开始用变量表示非数值的对象如矩阵、模算术、几何变换等这些对象也遵循类数的运算规则。
于是代数结构的概念出现一个集合、其上的运算、以及这些运算所遵循的规则。该方向发展为现代代数或抽象代数其体系由艾米・诺特等人确立。
某些代数结构在数学中具有基础性意义并作为代数的子领域独立发展例如
群论Group Theory域Field Theory向量空间Vector Spaces即线性代数环论Ring Theory交换代数研究交换环与多项式是代数几何的基础同调代数Homological Algebra李代数与李群Lie Algebra and Lie Groups布尔代数Boolean Algebra广泛用于计算机逻辑结构
此外泛代数Universal Algebra与范畴论Category Theory研究各种代数结构的共性。范畴论最初是为系统化代数拓扑Algebraic Topology中的结构与映射而发展出来的后来成为研究各种数学结构之间共性的强大工具。 数学世界的版图主要分支概览下
原创 遇见数学 2025 年 04 月 04 日 15:16 河南
微积分与分析 柯西序列Cauchy sequence) 是指一个数列其后续项之间会随着数列的推进而无限接近。
微积分旧称 “无穷小微积分”infinitesimal calculus由 17 世纪的数学家牛顿和莱布尼茨各自独立且同时创立。它本质上是研究彼此依赖的变量之间关系的数学。18 世纪欧拉引入了函数的概念并推动了该理论的进一步发展。
如今“微积分” 通常指该理论的基础部分而数学分析analysis则被用来指代更高级的内容。
数学分析进一步细分为
实分析Real analysis研究实数变量的性质复分析Complex analysis研究复数变量的性质
此外分析还包含许多与其他数学领域交叉的子领域包括
多变量微积分Multivariable calculus泛函分析Functional analysis研究函数空间及其变换积分、测度论Measure theory与位势论Potential theory与连续概率论密切相关常微分方程Ordinary differential equations偏微分方程Partial differential equations数值分析Numerical analysis主要研究如何在计算机上求解常微分或偏微分方程等应用问题中的数值解
离散数学Discrete mathematics 上图展示了一个两状态马尔可夫链Markov chain)状态用 A 和 E 表示数字表示状态转换的概率。
离散数学广义上是研究离散的、可数的数学对象。例如全体整数集合就是一个典型例子。由于研究对象是离散的微积分和数学分析的方法通常不适用。
算法Algorithms特别是它们的实现方式和计算复杂性在离散数学中具有重要地位。
20 世纪下半叶四色定理Four color theorem和开普勒猜想Kepler conjecture最优球堆积问题 / Optimal sphere packing是两个被解决的重要离散数学难题。P vs NP 问题至今未解它的答案可能对大量计算复杂的问题产生深远影响。
离散数学的主要领域包括
组合数学Combinatorics研究如何在特定限制条件下计数各种数学对象。最初这些对象是集合的元素或子集后来扩展到更广泛的结构从而与其他离散数学分支建立了密切联系。例如离散几何Discrete geometry研究几何图形的组合配置。图论Graph theory与超图Hypergraphs编码理论Coding theory包括纠错码和部分密码学内容拟阵理论Matroid theory离散几何Discrete geometry离散概率分布Discrete probability distributions博弈论Game theory虽然也研究连续博弈但大多数常见游戏如国际象棋和扑克都是离散的离散优化Discrete optimization包括组合优化、整数规划和约束规划
数学逻辑与集合论 维恩图Venn diagram) 是一种常用的集合关系可视化工具。
数学逻辑和集合论自 19 世纪末起成为数学的正式分支。在此之前集合尚未被视为数学对象而逻辑虽然用于证明但仍属于哲学范畴并非数学家专门研究的领域。
在康托尔研究无穷集合之前数学家普遍避免使用 “实际无穷” 的概念只将无穷视为永无止境的过程。康托尔提出了实际无穷集合的概念并通过对角论证法Cantor’s diagonal argument说明无穷集合之间可以有不同的 “大小”这在当时引起了巨大的争议。 同时多个数学分支开始意识到旧有关于基本数学对象的直觉定义不足以维持数学的严密性这引发了所谓的 “数学基础危机”foundational crisis。
这一危机最终通过在形式化集合论中系统化公理化方法而得到主流解决。粗略地说每一个数学对象都通过描述它所属的一类对象及其所满足的性质来定义。例如在皮亚诺公理Peano axioms中自然数通过如下公理定义 (大致)
“0 是一个数”“每个数都有唯一的后继”“除 0 外每个数都有唯一的前驱”加上一些推理规则 这种将数学从现实中抽象出来的方式体现在由希尔伯特于约 1910 年提出的形式主义哲学之中。
这种方法也使得逻辑系统即推理规则的集合、定理、证明等可以作为数学对象加以研究。例如哥德尔不完全性定理Gödel’s incompleteness theorems大致指出在任何包含自然数的自洽形式系统中必然存在一些命题它们虽然在该系统中无法被证明但在添加更多公理或更强表达能力的系统中可以被证明为真。
这一基础方法在 20 世纪上半叶遭遇挑战尤其是由布劳威尔L.E.J. Brouwer领导的数学家群体推广的直觉主义逻辑intuitionistic logic其显著特征是不承认排中律law of excluded middle。
这些问题和争论推动了数学逻辑的广泛发展形成了如下子领域
模型论Model theory研究如何在一个理论中对另一个理论进行建模证明论Proof theory类型论Type theory可计算性理论Computability theory计算复杂性理论Computational complexity theory
尽管这些逻辑理论在计算机发明之前就已建立但它们在编译器设计、形式验证、程序分析、证明助理等计算机科学领域的应用进一步推动了逻辑理论的发展。
统计学与其他决策科学 无论总体分布的形式如何样本均值趋于服从正态分布其方差由概率论中的中心极限定理central limit theorem) 给出。 原文字符缺失此处补译。 无论随机总体分布 μ \mu μ的形式如何样本均值 x ˉ \bar{x} xˉ趋向于高斯分布并且其方差 σ \sigma σ由概率论中的中心极限定理给出。 统计学是一门数学应用学科主要用于数据样本的收集和处理其方法基础是概率论。统计学家通过随机抽样或随机实验生成数据。
统计理论研究各种决策问题例如如何将统计行为如参数估计、假设检验或模型选择的期望损失风险最小化。在传统的数理统计领域中这类问题通常通过在特定约束下最小化目标函数如期望损失或成本来建模。例如设计一个调查时往往要在控制误差置信度的前提下最小化成本。
由于涉及优化问题统计学的数学理论与其他决策科学高度交叉例如运筹学Operations research、控制理论Control theory和数理经济学Mathematical economics。
计算数学
计算数学(Computational mathematics) 研究那些过于庞大、超出人类手动计算能力的数学问题。
数值分析Numerical analysis是该领域的重要分支研究如何利用泛函分析Functional analysis和逼近理论Approximation theory等工具求解分析问题。其重点包括逼近、离散化以及舍入误差等问题。
广义上数值分析与科学计算Scientific computing还涉及非解析性质的问题尤其是算法、矩阵理论和图论等数学内容。
计算数学的其他重要分支还包括
计算代数Computer algebra符号计算Symbolic computation
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原文
Mathematics - Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics#Areas_of_mathematics
翻译【遇见数学】并补充部分图片) via:
数学世界的版图主要分支概览上 https://mp.weixin.qq.com/s/lrdbfRumkS_J6kdNNv-jAw数学世界的版图主要分支概览下 https://mp.weixin.qq.com/s/51Srsb6U6_4mGOXP7hc54A
