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本文大部分内容来源于…注之前查找了关于原码、反码、补码的相关资料张子秋的博客原码, 反码, 补码 详解讲的比较透彻。为了方便现将其转载至此版权归原作者所有。更加深入的分析可以参考作者的原文。
本文大部分内容来源于此。后面有小部分关于“大数溢出”的问题为本人补充。
作者张子秋 出处http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/
机器数和真值
机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
比如十进制中的数 3 计算机字长为8位转换成二进制就是00000011。如果是 -3 就是 10000011 。那么这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
真值
因为第一位是符号位所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011其最高位1代表负其真正数值是 -3 而不是形式值13110000011转换成十进制等于131。所以为区别起见将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例0000 0001的真值 000 0001 11000 0001的真值 –000 0001 –1
原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[1]原 0000 0001
[-1]原 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]即
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
反码
反码的表示方法是正数的反码是其本身的反码是在其原码的基础上, 符号位不变其余各个位取反。
[1] [00000001]原 [00000001]反
[-1] [10000001]原 [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算。
补码
补码的表示方法是正数的补码就是其本身的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后1. (即在反码的基础上1)
[1] [00000001]原 [00000001]反 [00000001]补
[-1] [10000001]原 [11111110]反 [11111111]补
对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
为何要使用原码, 反码和补码
在开始深入学习前, 我的学习建议是先”死记硬背”上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[1] [00000001]原 [00000001]反 [00000001]补
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] [10000001]原 [11111110]反 [11111111]补
可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 1 (-1) 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码。计算十进制的表达式: 1-10
1 - 1 1 (-1) [00000001]原 [10000001]原 [10000010]原 -2
如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码。计算十进制的表达式:
1-10
1 - 1 1 (-1) [0000 0001]原 [1000 0001]原 [0000 0001]反 [1111 1110]反 [1111 1111]反 [1000 0000]原 -0
发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上. 虽然人们理解上0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.
于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1 1 (-1) [0000 0001]原 [1000 0001]原 [0000 0001]补 [1111 1111]补 [0000 0000]补[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) (-127) [1000 0001]原 [1111 1111]原 [1111 1111]补 [1000 0001]补 [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)
使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, 127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-2^31, 2^31-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
补码表示的溢出问题
以下是本人的补充的理解不知道是否正确
由于计算机中的数字用补码表示例如8bit的byte类型的表示范围为
[-128, 127]
0 [0000 0000]补
-128 [1000 0000]补
127 [0111 1111]补
当byte类型的变量超上限127时如
128 --128 127 1 [1111 1111]补 [0000 0001]补 [1000 0000]补 -128
129 127 2 [1111 1111]补 [0000 0001]补 [1000 0001]补 [1111 1111]原 -127
当byte类型的变量超过下限-128时
-129 -128 - 1 [1000 0000]补) - [0000 0001]补 [0111 1111]补 127
-130 -128 - 2 [1000 0000]补) - [0000 0010]补 [0111 1110]补 126
大数溢出问题
int类型在32位系统中占4个字节、32bit补码表示的的数据范围为
[10000000 00000000 00000000 00000000] ~ [01111111 11111111 11111111 11111111]
[−2^31,2^31−1] [-2147483648, 2147483647]
