githup网站建设,网络营销网站有哪些,用dw做的网站怎么上传,校园网站模版线性代数
#x1f3f7;sec_linear-algebra
在介绍完如何存储和操作数据后#xff0c;接下来将简要地回顾一下部分基本线性代数内容。 这些内容有助于读者了解和实现本书中介绍的大多数模型。 本节将介绍线性代数中的基本数学对象、算术和运算#xff0c;并用数学符号和相应…线性代数
sec_linear-algebra
在介绍完如何存储和操作数据后接下来将简要地回顾一下部分基本线性代数内容。 这些内容有助于读者了解和实现本书中介绍的大多数模型。 本节将介绍线性代数中的基本数学对象、算术和运算并用数学符号和相应的代码实现来表示它们。
标量
如果你曾经在餐厅支付餐费那么应该已经知道一些基本的线性代数比如在数字间相加或相乘。 例如北京的温度为 5 2 ∘ F 52^{\circ}F 52∘F华氏度除摄氏度外的另一种温度计量单位。 严格来说仅包含一个数值被称为标量scalar。 如果要将此华氏度值转换为更常用的摄氏度 则可以计算表达式 c 5 9 ( f − 32 ) c\frac{5}{9}(f-32) c95(f−32)并将 f f f赋为 52 52 52。 在此等式中每一项 5 5 5、 9 9 9和 32 32 32都是标量值。 符号 c c c和 f f f称为变量variable它们表示未知的标量值。
本书采用了数学表示法其中标量变量由普通小写字母表示例如 x x x、 y y y和 z z z。 本书用 R \mathbb{R} R表示所有连续实数标量的空间之后将严格定义空间space是什么 但现在只要记住表达式 x ∈ R x\in\mathbb{R} x∈R是表示 x x x是一个实值标量的正式形式。 符号 ∈ \in ∈称为“属于”它表示“是集合中的成员”。 例如 x , y ∈ { 0 , 1 } x, y \in \{0,1\} x,y∈{0,1}可以用来表明 x x x和 y y y是值只能为 0 0 0或 1 1 1的数字。
(标量由只有一个元素的张量表示)。 下面的代码将实例化两个标量并执行一些熟悉的算术运算即加法、乘法、除法和指数。
from mxnet import np, npx
npx.set_np()x np.array(3.0)
y np.array(2.0)x y, x * y, x / y, x ** y#tab pytorch
import torchx torch.tensor(3.0)
y torch.tensor(2.0)x y, x * y, x / y, x**y#tab tensorflow
import tensorflow as tfx tf.constant(3.0)
y tf.constant(2.0)x y, x * y, x / y, x**y#tab paddle
import warnings
warnings.filterwarnings(actionignore)
import paddlex paddle.to_tensor([3.0])
y paddle.to_tensor([2.0])x y, x * y, x / y, x**y向量
[向量可以被视为标量值组成的列表]。 这些标量值被称为向量的元素element或分量component。 当向量表示数据集中的样本时它们的值具有一定的现实意义。 例如如果我们正在训练一个模型来预测贷款违约风险可能会将每个申请人与一个向量相关联 其分量与其收入、工作年限、过往违约次数和其他因素相对应。 如果我们正在研究医院患者可能面临的心脏病发作风险可能会用一个向量来表示每个患者 其分量为最近的生命体征、胆固醇水平、每天运动时间等。 在数学表示法中向量通常记为粗体、小写的符号 例如 x \mathbf{x} x、 y \mathbf{y} y和 z ) \mathbf{z}) z)。
人们通过一维张量表示向量。一般来说张量可以具有任意长度取决于机器的内存限制。
x np.arange(4)
x#tab pytorch
x torch.arange(4)
x#tab tensorflow
x tf.range(4)
x#tab paddle
x paddle.arange(4)
x我们可以使用下标来引用向量的任一元素例如可以通过 x i x_i xi来引用第 i i i个元素。 注意元素 x i x_i xi是一个标量所以我们在引用它时不会加粗。 大量文献认为列向量是向量的默认方向在本书中也是如此。 在数学中向量 x \mathbf{x} x可以写为 x [ x 1 x 2 ⋮ x n ] , \mathbf{x} \begin{bmatrix}x_{1} \\x_{2} \\ \vdots \\x_{n}\end{bmatrix}, x x1x2⋮xn , :eqlabel:eq_vec_def
其中 x 1 , … , x n x_1,\ldots,x_n x1,…,xn是向量的元素。在代码中我们(通过张量的索引来访问任一元素)。
x[3]#tab pytorch
x[3]#tab tensorflow
x[3]#tab paddle
x[3]长度、维度和形状
向量只是一个数字数组就像每个数组都有一个长度一样每个向量也是如此。 在数学表示法中如果我们想说一个向量 x \mathbf{x} x由 n n n个实值标量组成 可以将其表示为 x ∈ R n \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n x∈Rn。 向量的长度通常称为向量的维度dimension。
与普通的Python数组一样我们可以通过调用Python的内置len()函数来[访问张量的长度]。
len(x)#tab pytorch
len(x)#tab tensorflow
len(x)#tab paddle
len(x)当用张量表示一个向量只有一个轴时我们也可以通过.shape属性访问向量的长度。 形状shape是一个元素组列出了张量沿每个轴的长度维数。 对于(只有一个轴的张量形状只有一个元素。)
x.shape#tab pytorch
x.shape#tab tensorflow
x.shape#tab paddle
x.shape请注意维度dimension这个词在不同上下文时往往会有不同的含义这经常会使人感到困惑。 为了清楚起见我们在此明确一下 向量或轴的维度被用来表示向量或轴的长度即向量或轴的元素数量。 然而张量的维度用来表示张量具有的轴数。 在这个意义上张量的某个轴的维数就是这个轴的长度。
矩阵
正如向量将标量从零阶推广到一阶矩阵将向量从一阶推广到二阶。 矩阵我们通常用粗体、大写字母来表示 例如 X \mathbf{X} X、 Y \mathbf{Y} Y和 Z \mathbf{Z} Z 在代码中表示为具有两个轴的张量。
数学表示法使用 A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n 来表示矩阵 A \mathbf{A} A其由 m m m行和 n n n列的实值标量组成。 我们可以将任意矩阵 A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n视为一个表格 其中每个元素 a i j a_{ij} aij属于第 i i i行第 j j j列 A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] . \mathbf{A}\begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn} \\ \end{bmatrix}. A a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn . :eqlabel:eq_matrix_def
对于任意 A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n A \mathbf{A} A的形状是 m m m, n n n或 m × n m \times n m×n。 当矩阵具有相同数量的行和列时其形状将变为正方形 因此它被称为方阵square matrix。
当调用函数来实例化张量时 我们可以[通过指定两个分量 m m m和 n n n来创建一个形状为 m × n m \times n m×n的矩阵]。
A np.arange(20).reshape(5, 4)
A#tab pytorch
A torch.arange(20).reshape(5, 4)
A#tab tensorflow
A tf.reshape(tf.range(20), (5, 4))
A#tab paddle
A paddle.reshape(paddle.arange(20), (5, 4))
A我们可以通过行索引 i i i和列索引 j j j来访问矩阵中的标量元素 a i j a_{ij} aij 例如 [ A ] i j [\mathbf{A}]_{ij} [A]ij。 如果没有给出矩阵 A \mathbf{A} A的标量元素如在 :eqref:eq_matrix_def那样 我们可以简单地使用矩阵 A \mathbf{A} A的小写字母索引下标 a i j a_{ij} aij 来引用 [ A ] i j [\mathbf{A}]_{ij} [A]ij。 为了表示起来简单只有在必要时才会将逗号插入到单独的索引中 例如 a 2 , 3 j a_{2,3j} a2,3j和 [ A ] 2 i − 1 , 3 [\mathbf{A}]_{2i-1,3} [A]2i−1,3。
当我们交换矩阵的行和列时结果称为矩阵的转置transpose。 通常用 a ⊤ \mathbf{a}^\top a⊤来表示矩阵的转置如果 B A ⊤ \mathbf{B}\mathbf{A}^\top BA⊤ 则对于任意 i i i和 j j j都有 b i j a j i b_{ij}a_{ji} bijaji。 因此在 :eqref:eq_matrix_def中的转置是一个形状为 n × m n \times m n×m的矩阵 A ⊤ [ a 11 a 21 … a m 1 a 12 a 22 … a m 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n … a m n ] . \mathbf{A}^\top \begin{bmatrix} a_{11} a_{21} \dots a_{m1} \\ a_{12} a_{22} \dots a_{m2} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{1n} a_{2n} \dots a_{mn} \end{bmatrix}. A⊤ a11a12⋮a1na21a22⋮a2n……⋱…am1am2⋮amn .
现在在代码中访问(矩阵的转置)。
A.T#tab pytorch
A.T#tab tensorflow
tf.transpose(A)#tab paddle
paddle.transpose(A, perm[1, 0])作为方阵的一种特殊类型[对称矩阵symmetric matrix A \mathbf{A} A等于其转置 A A ⊤ \mathbf{A} \mathbf{A}^\top AA⊤]。 这里定义一个对称矩阵 B \mathbf{B} B
B np.array([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B#tab pytorch
B torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B#tab tensorflow
B tf.constant([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B#tab paddle
B paddle.to_tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B现在我们将B与它的转置进行比较。
B B.T#tab pytorch
B B.T#tab tensorflow
B tf.transpose(B)#tab paddle
B paddle.transpose(B, perm[1, 0])矩阵是有用的数据结构它们允许我们组织具有不同模式的数据。 例如我们矩阵中的行可能对应于不同的房屋数据样本而列可能对应于不同的属性。 曾经使用过电子表格软件或已阅读过 :numref:sec_pandas的人应该对此很熟悉。 因此尽管单个向量的默认方向是列向量但在表示表格数据集的矩阵中 将每个数据样本作为矩阵中的行向量更为常见。 后面的章节将讲到这点这种约定将支持常见的深度学习实践。 例如沿着张量的最外轴我们可以访问或遍历小批量的数据样本。
张量
[就像向量是标量的推广矩阵是向量的推广一样我们可以构建具有更多轴的数据结构]。 张量本小节中的“张量”指代数对象是描述具有任意数量轴的 n n n维数组的通用方法。 例如向量是一阶张量矩阵是二阶张量。 张量用特殊字体的大写字母表示例如 X \mathsf{X} X、 Y \mathsf{Y} Y和 Z \mathsf{Z} Z 它们的索引机制例如 x i j k x_{ijk} xijk和 [ X ] 1 , 2 i − 1 , 3 [\mathsf{X}]_{1,2i-1,3} [X]1,2i−1,3与矩阵类似。
当我们开始处理图像时张量将变得更加重要图像以 n n n维数组形式出现 其中3个轴对应于高度、宽度以及一个通道channel轴 用于表示颜色通道红色、绿色和蓝色。 现在先将高阶张量暂放一边而是专注学习其基础知识。
X np.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X#tab pytorch
X torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X#tab tensorflow
X tf.reshape(tf.range(24), (2, 3, 4))
X#tab paddle
X paddle.reshape(paddle.arange(24), (2, 3, 4))
X张量算法的基本性质
标量、向量、矩阵和任意数量轴的张量本小节中的“张量”指代数对象有一些实用的属性。 例如从按元素操作的定义中可以注意到任何按元素的一元运算都不会改变其操作数的形状。 同样[给定具有相同形状的任意两个张量任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量]。 例如将两个相同形状的矩阵相加会在这两个矩阵上执行元素加法。
A np.arange(20).reshape(5, 4)
B A.copy() # 通过分配新内存将A的一个副本分配给B
A, A B#tab pytorch
A torch.arange(20, dtypetorch.float32).reshape(5, 4)
B A.clone() # 通过分配新内存将A的一个副本分配给B
A, A B#tab tensorflow
A tf.reshape(tf.range(20, dtypetf.float32), (5, 4))
B A # 不能通过分配新内存将A克隆到B
A, A B#tab paddle
A paddle.reshape(paddle.arange(20, dtypepaddle.float32), (5, 4))
B A.clone() # 通过分配新内存将A的一个副本分配给B
A, A B具体而言[两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积Hadamard product数学符号 ⊙ \odot ⊙]。 对于矩阵 B ∈ R m × n \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{m \times n} B∈Rm×n 其中第 i i i行和第 j j j列的元素是 b i j b_{ij} bij。 矩阵 A \mathbf{A} A在 :eqref:eq_matrix_def中定义和 B \mathbf{B} B的Hadamard积为 A ⊙ B [ a 11 b 11 a 12 b 12 … a 1 n b 1 n a 21 b 21 a 22 b 22 … a 2 n b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 b m 1 a m 2 b m 2 … a m n b m n ] . \mathbf{A} \odot \mathbf{B} \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} a_{12} b_{12} \dots a_{1n} b_{1n} \\ a_{21} b_{21} a_{22} b_{22} \dots a_{2n} b_{2n} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{m1} b_{m1} a_{m2} b_{m2} \dots a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}. A⊙B a11b11a21b21⋮am1bm1a12b12a22b22⋮am2bm2……⋱…a1nb1na2nb2n⋮amnbmn .
A * B#tab pytorch
A * B#tab tensorflow
A * B#tab paddle
A * B将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。
a 2
X np.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a X, (a * X).shape#tab pytorch
a 2
X torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a X, (a * X).shape#tab tensorflow
a 2
X tf.reshape(tf.range(24), (2, 3, 4))
a X, (a * X).shape#tab paddle
a 2
X paddle.reshape(paddle.arange(24), (2, 3, 4))
a X, (a * X).shape降维
subseq_lin-alg-reduction
我们可以对任意张量进行的一个有用的操作是[计算其元素的和]。 数学表示法使用 ∑ \sum ∑符号表示求和。 为了表示长度为 d d d的向量中元素的总和可以记为 ∑ i 1 d x i \sum_{i1}^dx_i ∑i1dxi。 在代码中可以调用计算求和的函数
x np.arange(4)
x, x.sum()#tab pytorch
x torch.arange(4, dtypetorch.float32)
x, x.sum()#tab tensorflow
x tf.range(4, dtypetf.float32)
x, tf.reduce_sum(x)#tab paddle
x paddle.arange(4, dtypepaddle.float32)
x, x.sum()我们可以(表示任意形状张量的元素和)。 例如矩阵 A \mathbf{A} A中元素的和可以记为 ∑ i 1 m ∑ j 1 n a i j \sum_{i1}^{m} \sum_{j1}^{n} a_{ij} ∑i1m∑j1naij。
A.shape, A.sum()#tab pytorch
A.shape, A.sum()#tab tensorflow
A.shape, tf.reduce_sum(A)#tab paddle
A.shape, A.sum()默认情况下调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度使它变为一个标量。 我们还可以[指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度]。 以矩阵为例为了通过求和所有行的元素来降维轴0可以在调用函数时指定axis0。 由于输入矩阵沿0轴降维以生成输出向量因此输入轴0的维数在输出形状中消失。
A_sum_axis0 A.sum(axis0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape#tab pytorch
A_sum_axis0 A.sum(axis0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape#tab tensorflow
A_sum_axis0 tf.reduce_sum(A, axis0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape#tab paddle
A_sum_axis0 A.sum(axis0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape指定axis1将通过汇总所有列的元素降维轴1。因此输入轴1的维数在输出形状中消失。
A_sum_axis1 A.sum(axis1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape#tab pytorch
A_sum_axis1 A.sum(axis1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape#tab tensorflow
A_sum_axis1 tf.reduce_sum(A, axis1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape#tab paddle
A_sum_axis1 A.sum(axis1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape沿着行和列对矩阵求和等价于对矩阵的所有元素进行求和。
A.sum(axis[0, 1]) # 结果和A.sum()相同#tab pytorch
A.sum(axis[0, 1]) # 结果和A.sum()相同#tab tensorflow
tf.reduce_sum(A, axis[0, 1]) # 结果和tf.reduce_sum(A)相同#tab paddle
A.sum(axis[0, 1])[一个与求和相关的量是平均值mean或average]。 我们通过将总和除以元素总数来计算平均值。 在代码中我们可以调用函数来计算任意形状张量的平均值。
A.mean(), A.sum() / A.size#tab pytorch
A.mean(), A.sum() / A.numel()#tab tensorflow
tf.reduce_mean(A), tf.reduce_sum(A) / tf.size(A).numpy()#tab paddle
A.mean(), A.sum() / A.numel()同样计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。
A.mean(axis0), A.sum(axis0) / A.shape[0]#tab pytorch
A.mean(axis0), A.sum(axis0) / A.shape[0]#tab tensorflow
tf.reduce_mean(A, axis0), tf.reduce_sum(A, axis0) / A.shape[0]#tab paddle
A.mean(axis0), A.sum(axis0) / A.shape[0]非降维求和
subseq_lin-alg-non-reduction
但是有时在调用函数来[计算总和或均值时保持轴数不变]会很有用。
sum_A A.sum(axis1, keepdimsTrue)
sum_A#tab pytorch
sum_A A.sum(axis1, keepdimsTrue)
sum_A#tab tensorflow
sum_A tf.reduce_sum(A, axis1, keepdimsTrue)
sum_A#tab paddle
sum_A paddle.sum(A, axis1, keepdimTrue)
sum_A例如由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴我们可以(通过广播将A除以sum_A)。
A / sum_A#tab pytorch
A / sum_A#tab tensorflow
A / sum_A#tab paddle
A / sum_A如果我们想沿[某个轴计算A元素的累积总和] 比如axis0按行计算可以调用cumsum函数。 此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。
A.cumsum(axis0)#tab pytorch
A.cumsum(axis0)#tab tensorflow
tf.cumsum(A, axis0)#tab paddle
A.cumsum(axis0)点积Dot Product
我们已经学习了按元素操作、求和及平均值。 另一个最基本的操作之一是点积。 给定两个向量 x , y ∈ R d \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^d x,y∈Rd 它们的点积dot product x ⊤ y \mathbf{x}^\top\mathbf{y} x⊤y 或 ⟨ x , y ⟩ \langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle ⟨x,y⟩ 是相同位置的按元素乘积的和 x ⊤ y ∑ i 1 d x i y i \mathbf{x}^\top \mathbf{y} \sum_{i1}^{d} x_i y_i x⊤y∑i1dxiyi。
[点积是相同位置的按元素乘积的和]
y np.ones(4)
x, y, np.dot(x, y)#tab pytorch
y torch.ones(4, dtype torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)#tab tensorflow
y tf.ones(4, dtypetf.float32)
x, y, tf.tensordot(x, y, axes1)#tab paddle
y paddle.ones(shape[4], dtypefloat32)
x, y, paddle.dot(x, y)注意(我们可以通过执行按元素乘法然后进行求和来表示两个向量的点积)
np.sum(x * y)#tab pytorch
torch.sum(x * y)#tab tensorflow
tf.reduce_sum(x * y)#tab paddle
paddle.sum(x * y)点积在很多场合都很有用。 例如给定一组由向量 x ∈ R d \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d x∈Rd表示的值 和一组由 w ∈ R d \mathbf{w} \in \mathbb{R}^d w∈Rd表示的权重。 x \mathbf{x} x中的值根据权重 w \mathbf{w} w的加权和 可以表示为点积 x ⊤ w \mathbf{x}^\top \mathbf{w} x⊤w。 当权重为非负数且和为1即 ( ∑ i 1 d w i 1 ) \left(\sum_{i1}^{d}{w_i}1\right) (∑i1dwi1)时 点积表示加权平均weighted average。 将两个向量规范化得到单位长度后点积表示它们夹角的余弦。 本节后面的内容将正式介绍长度length的概念。
矩阵-向量积
现在我们知道如何计算点积可以开始理解矩阵-向量积matrix-vector product。 回顾分别在 :eqref:eq_matrix_def和 :eqref:eq_vec_def中定义的矩阵 A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n和向量 x ∈ R n \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n x∈Rn。 让我们将矩阵 A \mathbf{A} A用它的行向量表示 A [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a m ⊤ ] , \mathbf{A} \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \\ \mathbf{a}^\top_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}^\top_m \\ \end{bmatrix}, A a1⊤a2⊤⋮am⊤ ,
其中每个 a i ⊤ ∈ R n \mathbf{a}^\top_{i} \in \mathbb{R}^n ai⊤∈Rn都是行向量表示矩阵的第 i i i行。 [矩阵向量积 A x \mathbf{A}\mathbf{x} Ax是一个长度为 m m m的列向量 其第 i i i个元素是点积 a i ⊤ x \mathbf{a}^\top_i \mathbf{x} ai⊤x] A x [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a m ⊤ ] x [ a 1 ⊤ x a 2 ⊤ x ⋮ a m ⊤ x ] . \mathbf{A}\mathbf{x} \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \\ \mathbf{a}^\top_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}^\top_m \\ \end{bmatrix}\mathbf{x} \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \mathbf{x} \\ \mathbf{a}^\top_{2} \mathbf{x} \\ \vdots\\ \mathbf{a}^\top_{m} \mathbf{x}\\ \end{bmatrix}. Ax a1⊤a2⊤⋮am⊤ x a1⊤xa2⊤x⋮am⊤x .
我们可以把一个矩阵 A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n乘法看作一个从 R n \mathbb{R}^{n} Rn到 R m \mathbb{R}^{m} Rm向量的转换。 这些转换是非常有用的例如可以用方阵的乘法来表示旋转。 后续章节将讲到我们也可以使用矩阵-向量积来描述在给定前一层的值时 求解神经网络每一层所需的复杂计算。
:begin_tab:mxnet 在代码中使用张量表示矩阵-向量积我们使用与点积相同的dot函数。 当我们为矩阵A和向量x调用np.dot(A,x)时会执行矩阵-向量积。 注意A的列维数沿轴1的长度必须与x的维数其长度相同。 :end_tab:
:begin_tab:pytorch 在代码中使用张量表示矩阵-向量积我们使用mv函数。 当我们为矩阵A和向量x调用torch.mv(A, x)时会执行矩阵-向量积。 注意A的列维数沿轴1的长度必须与x的维数其长度相同。 :end_tab:
:begin_tab:tensorflow 在代码中使用张量表示矩阵-向量积我们使用与点积相同的matvec函数。 当我们为矩阵A和向量x调用tf.linalg.matvec(A, x)时会执行矩阵-向量积。 注意A的列维数沿轴1的长度必须与x的维数其长度相同。 :end_tab:
A.shape, x.shape, np.dot(A, x)#tab pytorch
A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)#tab tensorflow
A.shape, x.shape, tf.linalg.matvec(A, x)#tab paddle
A.shape, x.shape, paddle.mv(A, x)矩阵-矩阵乘法
在掌握点积和矩阵-向量积的知识后 那么矩阵-矩阵乘法matrix-matrix multiplication应该很简单。
假设有两个矩阵 A ∈ R n × k \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times k} A∈Rn×k和 B ∈ R k × m \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{k \times m} B∈Rk×m A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 k a 21 a 22 ⋯ a 2 k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n k ] , B [ b 11 b 12 ⋯ b 1 m b 21 b 22 ⋯ b 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b k 1 b k 2 ⋯ b k m ] . \mathbf{A}\begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1k} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2k} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{n1} a_{n2} \cdots a_{nk} \\ \end{bmatrix},\quad \mathbf{B}\begin{bmatrix} b_{11} b_{12} \cdots b_{1m} \\ b_{21} b_{22} \cdots b_{2m} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ b_{k1} b_{k2} \cdots b_{km} \\ \end{bmatrix}. A a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1ka2k⋮ank ,B b11b21⋮bk1b12b22⋮bk2⋯⋯⋱⋯b1mb2m⋮bkm .
用行向量 a i ⊤ ∈ R k \mathbf{a}^\top_{i} \in \mathbb{R}^k ai⊤∈Rk表示矩阵 A \mathbf{A} A的第 i i i行并让列向量 b j ∈ R k \mathbf{b}_{j} \in \mathbb{R}^k bj∈Rk作为矩阵 B \mathbf{B} B的第 j j j列。要生成矩阵积 C A B \mathbf{C} \mathbf{A}\mathbf{B} CAB最简单的方法是考虑 A \mathbf{A} A的行向量和 B \mathbf{B} B的列向量: A [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a n ⊤ ] , B [ b 1 b 2 ⋯ b m ] . \mathbf{A} \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \\ \mathbf{a}^\top_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}^\top_n \\ \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B}\begin{bmatrix} \mathbf{b}_{1} \mathbf{b}_{2} \cdots \mathbf{b}_{m} \\ \end{bmatrix}. A a1⊤a2⊤⋮an⊤ ,B[b1b2⋯bm]. 当我们简单地将每个元素 c i j c_{ij} cij计算为点积 a i ⊤ b j \mathbf{a}^\top_i \mathbf{b}_j ai⊤bj: C A B [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a n ⊤ ] [ b 1 b 2 ⋯ b m ] [ a 1 ⊤ b 1 a 1 ⊤ b 2 ⋯ a 1 ⊤ b m a 2 ⊤ b 1 a 2 ⊤ b 2 ⋯ a 2 ⊤ b m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n ⊤ b 1 a n ⊤ b 2 ⋯ a n ⊤ b m ] . \mathbf{C} \mathbf{AB} \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \\ \mathbf{a}^\top_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}^\top_n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{b}_{1} \mathbf{b}_{2} \cdots \mathbf{b}_{m} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \mathbf{b}_1 \mathbf{a}^\top_{1}\mathbf{b}_2 \cdots \mathbf{a}^\top_{1} \mathbf{b}_m \\ \mathbf{a}^\top_{2}\mathbf{b}_1 \mathbf{a}^\top_{2} \mathbf{b}_2 \cdots \mathbf{a}^\top_{2} \mathbf{b}_m \\ \vdots \vdots \ddots \vdots\\ \mathbf{a}^\top_{n} \mathbf{b}_1 \mathbf{a}^\top_{n}\mathbf{b}_2 \cdots \mathbf{a}^\top_{n} \mathbf{b}_m \end{bmatrix}. CAB a1⊤a2⊤⋮an⊤ [b1b2⋯bm] a1⊤b1a2⊤b1⋮an⊤b1a1⊤b2a2⊤b2⋮an⊤b2⋯⋯⋱⋯a1⊤bma2⊤bm⋮an⊤bm .
[我们可以将矩阵-矩阵乘法 A B \mathbf{AB} AB看作简单地执行 m m m次矩阵-向量积并将结果拼接在一起形成一个 n × m n \times m n×m矩阵]。 在下面的代码中我们在A和B上执行矩阵乘法。 这里的A是一个5行4列的矩阵B是一个4行3列的矩阵。 两者相乘后我们得到了一个5行3列的矩阵。
B np.ones(shape(4, 3))
np.dot(A, B)#tab pytorch
B torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)#tab tensorflow
B tf.ones((4, 3), tf.float32)
tf.matmul(A, B)#tab paddle
B paddle.ones(shape[4, 3], dtypefloat32)
paddle.mm(A, B)矩阵-矩阵乘法可以简单地称为矩阵乘法不应与Hadamard积混淆。
范数
subsec_lin-algebra-norms
线性代数中最有用的一些运算符是范数norm。 非正式地说向量的范数是表示一个向量有多大。 这里考虑的大小size概念不涉及维度而是分量的大小。
在线性代数中向量范数是将向量映射到标量的函数 f f f。 给定任意向量 x \mathbf{x} x向量范数要满足一些属性。 第一个性质是如果我们按常数因子 α \alpha α缩放向量的所有元素 其范数也会按相同常数因子的绝对值缩放 f ( α x ) ∣ α ∣ f ( x ) . f(\alpha \mathbf{x}) |\alpha| f(\mathbf{x}). f(αx)∣α∣f(x).
第二个性质是熟悉的三角不等式: f ( x y ) ≤ f ( x ) f ( y ) . f(\mathbf{x} \mathbf{y}) \leq f(\mathbf{x}) f(\mathbf{y}). f(xy)≤f(x)f(y).
第三个性质简单地说范数必须是非负的: f ( x ) ≥ 0. f(\mathbf{x}) \geq 0. f(x)≥0.
这是有道理的。因为在大多数情况下任何东西的最小的大小是0。 最后一个性质要求范数最小为0当且仅当向量全由0组成。 ∀ i , [ x ] i 0 ⇔ f ( x ) 0. \forall i, [\mathbf{x}]_i 0 \Leftrightarrow f(\mathbf{x})0. ∀i,[x]i0⇔f(x)0.
范数听起来很像距离的度量。 欧几里得距离和毕达哥拉斯定理中的非负性概念和三角不等式可能会给出一些启发。 事实上欧几里得距离是一个 L 2 L_2 L2范数 假设 n n n维向量 x \mathbf{x} x中的元素是 x 1 , … , x n x_1,\ldots,x_n x1,…,xn其[ L 2 L_2 L2范数是向量元素平方和的平方根]
( ∥ x ∥ 2 ∑ i 1 n x i 2 , \|\mathbf{x}\|_2 \sqrt{\sum_{i1}^n x_i^2}, ∥x∥2i1∑nxi2 ,)
其中在 L 2 L_2 L2范数中常常省略下标 2 2 2也就是说 ∥ x ∥ \|\mathbf{x}\| ∥x∥等同于 ∥ x ∥ 2 \|\mathbf{x}\|_2 ∥x∥2。 在代码中我们可以按如下方式计算向量的 L 2 L_2 L2范数。
u np.array([3, -4])
np.linalg.norm(u)#tab pytorch
u torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)#tab tensorflow
u tf.constant([3.0, -4.0])
tf.norm(u)#tab paddle
u paddle.to_tensor([3.0, -4.0])
paddle.norm(u)深度学习中更经常地使用 L 2 L_2 L2范数的平方也会经常遇到[ L 1 L_1 L1范数它表示为向量元素的绝对值之和]
( ∥ x ∥ 1 ∑ i 1 n ∣ x i ∣ . \|\mathbf{x}\|_1 \sum_{i1}^n \left|x_i \right|. ∥x∥1i1∑n∣xi∣.)
与 L 2 L_2 L2范数相比 L 1 L_1 L1范数受异常值的影响较小。 为了计算 L 1 L_1 L1范数我们将绝对值函数和按元素求和组合起来。
np.abs(u).sum()#tab pytorch
torch.abs(u).sum()#tab tensorflow
tf.reduce_sum(tf.abs(u))#tab paddle
paddle.abs(u).sum()L 2 L_2 L2范数和 L 1 L_1 L1范数都是更一般的 L p L_p Lp范数的特例 ∥ x ∥ p ( ∑ i 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 / p . \|\mathbf{x}\|_p \left(\sum_{i1}^n \left|x_i \right|^p \right)^{1/p}. ∥x∥p(i1∑n∣xi∣p)1/p.
类似于向量的 L 2 L_2 L2范数[矩阵] X ∈ R m × n \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m \times n} X∈Rm×n(的Frobenius范数Frobenius norm是矩阵元素平方和的平方根)
( ∥ X ∥ F ∑ i 1 m ∑ j 1 n x i j 2 . \|\mathbf{X}\|_F \sqrt{\sum_{i1}^m \sum_{j1}^n x_{ij}^2}. ∥X∥Fi1∑mj1∑nxij2 .)
Frobenius范数满足向量范数的所有性质它就像是矩阵形向量的 L 2 L_2 L2范数。 调用以下函数将计算矩阵的Frobenius范数。
np.linalg.norm(np.ones((4, 9)))#tab pytorch
torch.norm(torch.ones((4, 9)))#tab tensorflow
tf.norm(tf.ones((4, 9)))#tab paddle
paddle.norm(paddle.ones(shape[4, 9], dtypefloat32))范数和目标
subsec_norms_and_objectives
在深度学习中我们经常试图解决优化问题 最大化分配给观测数据的概率; 最小化预测和真实观测之间的距离。 用向量表示物品如单词、产品或新闻文章以便最小化相似项目之间的距离最大化不同项目之间的距离。 目标或许是深度学习算法最重要的组成部分除了数据通常被表达为范数。
关于线性代数的更多信息
仅用一节我们就教会了阅读本书所需的、用以理解现代深度学习的线性代数。 线性代数还有很多其中很多数学对于机器学习非常有用。 例如矩阵可以分解为因子这些分解可以显示真实世界数据集中的低维结构。 机器学习的整个子领域都侧重于使用矩阵分解及其向高阶张量的泛化来发现数据集中的结构并解决预测问题。 当开始动手尝试并在真实数据集上应用了有效的机器学习模型你会更倾向于学习更多数学。 因此这一节到此结束本书将在后面介绍更多数学知识。
如果渴望了解有关线性代数的更多信息可以参考线性代数运算的在线附录或其他优秀资源 :cite:Strang.1993,Kolter.2008,Petersen.Pedersen.ea.2008。
小结
标量、向量、矩阵和张量是线性代数中的基本数学对象。向量泛化自标量矩阵泛化自向量。标量、向量、矩阵和张量分别具有零、一、二和任意数量的轴。一个张量可以通过sum和mean沿指定的轴降低维度。两个矩阵的按元素乘法被称为他们的Hadamard积。它与矩阵乘法不同。在深度学习中我们经常使用范数如 L 1 L_1 L1范数、 L 2 L_2 L2范数和Frobenius范数。我们可以对标量、向量、矩阵和张量执行各种操作。
练习
证明一个矩阵 A \mathbf{A} A的转置的转置是 A \mathbf{A} A即 ( A ⊤ ) ⊤ A (\mathbf{A}^\top)^\top \mathbf{A} (A⊤)⊤A。给出两个矩阵 A \mathbf{A} A和 B \mathbf{B} B证明“它们转置的和”等于“它们和的转置”即 A ⊤ B ⊤ ( A B ) ⊤ \mathbf{A}^\top \mathbf{B}^\top (\mathbf{A} \mathbf{B})^\top A⊤B⊤(AB)⊤。给定任意方阵 A \mathbf{A} A A A ⊤ \mathbf{A} \mathbf{A}^\top AA⊤总是对称的吗?为什么?本节中定义了形状 ( 2 , 3 , 4 ) (2,3,4) (2,3,4)的张量X。len(X)的输出结果是什么对于任意形状的张量X,len(X)是否总是对应于X特定轴的长度?这个轴是什么?运行A/A.sum(axis1)看看会发生什么。请分析一下原因考虑一个具有形状 ( 2 , 3 , 4 ) (2,3,4) (2,3,4)的张量在轴0、1、2上的求和输出是什么形状?为linalg.norm函数提供3个或更多轴的张量并观察其输出。对于任意形状的张量这个函数计算得到什么?
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:begin_tab:pytorch Discussions :end_tab:
:begin_tab:tensorflow Discussions :end_tab:
:begin_tab:paddle Discussions :end_tab:
