广州网站开发定制,cdn网站加速有用吗,天健oa管理系统,手机网站总是自动跳转文章目录 线面积分公式整理第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分两类曲线积分的联系两类曲面积分的联系格林公式高斯公式斯托克斯公式 公式的应用 线面积分公式整理
这部分内容用于回顾和查阅,许多写法和表达式记号默认使用了惯例含义其中曲线积分可以从… 文章目录 线面积分公式整理第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分两类曲线积分的联系两类曲面积分的联系格林公式高斯公式斯托克斯公式 公式的应用 线面积分公式整理
这部分内容用于回顾和查阅,许多写法和表达式记号默认使用了惯例含义其中曲线积分可以从平面曲线推广到空间曲线,被积函数的自变量增加一元
第一类曲线积分 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds ∫ α β [ f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ 2 ( t ) ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t))]\sqrt{\phi^2(t)\psi^{2}(t)}\mathrm{d}t ∫αβ[f(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′2(t)ψ′2(t) dt, ( α β ) (\alpha\beta) (αβ) ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds ∫ x 0 X f ( x , ψ ( x ) ) 1 ψ ′ 2 ( x ) d x \int_{x_0}^{X}f(x,\psi(x)) \sqrt{1\psi^{2}(x)}\mathrm{d}x ∫x0Xf(x,ψ(x))1ψ′2(x) dx ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds ∫ y 0 Y f ( ϕ ( y ) , y ) 1 ϕ ′ 2 ( y ) d y \int_{y_0}^{Y}f(\phi(y),y) \sqrt{1\phi^{2}(y)}\mathrm{d}y ∫y0Yf(ϕ(y),y)1ϕ′2(y) dy ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds ∫ α β f ( r ( θ ) cos θ , r ( θ ) sin θ ) r 2 r ′ 2 d θ \int_{\alpha}^{\beta}f(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)\sqrt{r^2r^2}\mathrm{d}\theta ∫αβf(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)r2r′2 dθ
第二类曲线积分 ∫ L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}xQ(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dxQ(x,y)dy ∫ α β { P [ ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ ( t ) Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) } d t \int_{\alpha}^{\beta}\{P[(\phi(t),\psi(t))]\phi(t)Q[\phi(t),\psi(t)]\psi(t)\}\mathrm{d}t ∫αβ{P[(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′(t)Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt P , Q P,Q P,Q中的一个为0时 ∫ L P ( x , y ) d x \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x ∫LP(x,y)dx ∫ α β P [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}P[\phi(t),\psi(t)]\phi(t)\mathrm{d}t ∫αβP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′(t)dt ∫ L Q ( x , y ) d y \int_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LQ(x,y)dy ∫ α β Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}Q[\phi(t),\psi(t)]\psi(t)\mathrm{d}t ∫αβQ[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)dt x x ; y ψ ( x ) xx;y\psi(x) xx;yψ(x)的特例 ∫ L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}xQ(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dxQ(x,y)dy ∫ a b P [ x , ψ ( x ) ] Q [ x , ψ ( x ) ] ψ ′ ( x ) d x \int_{a}^{b}P[x,\psi(x)]Q[x,\psi(x)]\psi(x)\mathrm{d}x ∫abP[x,ψ(x)]Q[x,ψ(x)]ψ′(x)dx x ϕ ( x ) ; y y x\phi(x);yy xϕ(x);yy的特例 ∫ L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}xQ(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dxQ(x,y)dy ∫ a b P [ ϕ ( y ) , y ] ϕ ′ ( y ) Q [ ϕ ( y ) , y ] d x \int_{a}^{b}P[\phi(y),y]\phi(y)Q[\phi(y),y]\mathrm{d}x ∫abP[ϕ(y),y]ϕ′(y)Q[ϕ(y),y]dx ∫ Γ P ( x , y , z ) d x Q ( x , y , z ) d y R ( x , y , z ) d z \int_{\Gamma}P(x,y,z)\mathrm{d}xQ(x,y,z)\mathrm{d}yR(x,y,z)\mathrm{d}z ∫ΓP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz ∫ α β P [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ] ϕ ′ ( t ) Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ] ψ ′ ( t ) R [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ] ω ′ ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}P[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\phi(t)Q[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\psi(t)R[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\omega(t)\mathrm{d}t ∫αβP[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ϕ′(t)Q[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ψ′(t)R[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ω′(t)dt
第一类曲面积分 ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS ∬ D x y f ( x , y , z ( x , y ) ) 1 z x 2 z y 2 d x d y \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1z_{x}^2z_{y}^{2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y Dxy∬f(x,y,z(x,y))1zx2zy2 dxdy ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS ∬ D x y f ( x , y ( x , z ) , z ) 1 y x 2 y z 2 d z d x \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y(x,z),z)\sqrt{1y_{x}^2y_{z}^{2}} \mathrm{d}z\mathrm{d}x Dxy∬f(x,y(x,z),z)1yx2yz2 dzdx ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS ∬ D x y f ( x ( y , z ) , y , z ) 1 x y 2 x z 2 d y d z \iint\limits_{D_{xy}} f(x(y,z),y,z)\sqrt{1x_{y}^2x_{z}^{2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}z Dxy∬f(x(y,z),y,z)1xy2xz2 dydz
第二类曲面积分 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y ± ∬ D x y R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\pm\iint\limits_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬R(x,y,z)dxdy±Dxy∬R(x,y,z(x,y))dxdy ∬ Σ Q ( x , y , z ) d z d x \iint\limits_{\Sigma}Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x Σ∬Q(x,y,z)dzdx ± ∬ D x y Q ( x , y ( z , x ) , z ) d z d x \pm\iint\limits_{D_{xy}}Q(x,y(z,x),z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x ±Dxy∬Q(x,y(z,x),z)dzdx ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z \iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z Σ∬P(x,y,z)dydz ± ∬ D x y P ( x ( y , z ) , y , z ) d y d z \pm\iint\limits_{D_{xy}}P(x(y,z),y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z ±Dxy∬P(x(y,z),y,z)dydz
两类曲线积分的联系 ∫ L P d x Q d y \int_{L}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∫LPdxQdy ∫ L ( P cos α , Q cos β ) d s \int_{L}(P\cos\alpha,Q\cos\beta)\mathrm{d}s ∫L(Pcosα,Qcosβ)ds ∫ Γ A ⋅ d r \int_{\Gamma}\bold{A}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}} ∫ΓA⋅dr ∫ Γ A ⋅ τ d s \int_{\Gamma}\bold{A}\cdot\boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s ∫ΓA⋅τds ∫ Γ A τ d s \int_{\Gamma}A_{\tau}\mathrm{d}s ∫ΓAτds d r \mathrm{d}\bold{r} dr τ d s \boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s τds ( d x , d y , d z ) (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z) (dx,dy,dz),称为有向曲线元
两类曲面积分的联系 ∬ Σ P d y d z Q d z d x R d x d y \iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}zQ\mathrm{d}z\mathrm{d}xR\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬PdydzQdzdxRdxdy ∬ Σ ( P cos α Q cos β R cos γ ) d S \iint\limits_{\Sigma}(P\cos\alphaQ\cos\betaR\cos\gamma)\mathrm{d}S Σ∬(PcosαQcosβRcosγ)dS ∬ Σ A ⋅ d S \iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\mathrm{d}\bold{S} Σ∬A⋅dS ∬ Σ A ⋅ n d S \iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\bold{n}\mathrm{d}{S} Σ∬A⋅ndS ∬ Σ A n ⋅ d S \iint\limits_{\Sigma}{A_{n}}\cdot\mathrm{d}{S} Σ∬An⋅dS d S \mathrm{d}\bold{S} dS ( d y d x , d z d x , d x d y ) (\mathrm{d}y\mathrm{d}x,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y) (dydx,dzdx,dxdy)称为有向曲面元
格林公式 ∬ D ( Q x − P y ) d x d y \iint\limits_{D}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(Qx−Py)dxdy ∮ L P d x Q d y \oint_{L}P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}y ∮LPdxQdy
高斯公式 ∭ Ω ( P x Q y R z ) d v \iiint_\Omega{(P_{x}Q_{y}R_{z})}\mathrm{d}v ∭Ω(PxQyRz)dv ∯ Σ P d y d z Q d z d x R d x d y \oiint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}zQ\mathrm{d}z\mathrm{d}xR\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬ ΣPdydzQdzdxRdxdy ∯ Σ ( P cos α Q cos β R cos γ ) d S \oiint_{\Sigma}{(P\cos\alphaQ\cos\betaR\cos\gamma)}\mathrm{d}S ∬ Σ(PcosαQcosβRcosγ)dS
斯托克斯公式 ∬ Σ ( R y − Q z ) d y d z ( P z − R x ) d z d x ( Q x − P y ) d x d y \iint_{\Sigma} (R_{y}-Q_{z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z(P_{z}-R_{x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ(Ry−Qz)dydz(Pz−Rx)dzdx(Qx−Py)dxdy ∮ Γ P d x Q d y R d z \oint_{\Gamma}{P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}yR\mathrm{d}z} ∮ΓPdxQdyRdz ∮ Γ P d x Q d y R d z \oint_{\Gamma}{P\mathrm{d}xQ\mathrm{d}yR\mathrm{d}z} ∮ΓPdxQdyRdz ∬ Σ ( R y − Q z ) d y d z ( P z − R x ) d z d x ( Q x − P y ) d x d y \iint_{\Sigma} (R_{y}-Q_{z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z(P_{z}-R_{x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ(Ry−Qz)dydz(Pz−Rx)dzdx(Qx−Py)dxdy ∬ Σ ∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathrm{d}z\mathrm{d}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial}{\partial{x}}\frac{\partial}{\partial{y}}\frac{\partial}{\partial{z}}\\ PQR \end{vmatrix} ∬Σ dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R ∬ Σ ∣ cos α cos β cos γ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ ⋅ d S \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\\ \frac{\partial}{\partial{x}}\frac{\partial}{\partial{y}}\frac{\partial}{\partial{z}}\\ PQR \end{vmatrix}\cdot\mathrm{d}S ∬Σ cosα∂x∂Pcosβ∂y∂Qcosγ∂z∂R ⋅dS
公式的应用
线或面的二型积分的直接计算公式中,采用分项积分的方式运用上述公式计算
