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状态空间方程是现代控制理论的基础#xff0c;它以矩阵的形式表达系统的状态变量#xff0c;输入及输出的关系。它可以描述和处理多输入多输出的系统。
目前流行的一些算法#xff0c;比如#xff1a;模型预测控制、卡尔曼滤波器及最优化控制都是在状态空间方程的表…引言
状态空间方程是现代控制理论的基础它以矩阵的形式表达系统的状态变量输入及输出的关系。它可以描述和处理多输入多输出的系统。
目前流行的一些算法比如模型预测控制、卡尔曼滤波器及最优化控制都是在状态空间方程的表达形式基础上发展而来的。
状态空间方程
状态空间方程表达式
我们可以从如下这个例子入手下面是一个弹簧质量阻尼系统 它的动态微分方程为 其中x(t)是位移方向向右m是质量b是阻尼系数k是弹簧系数f(t)就表示外力我们对于等式的两边同时进行拉普拉斯变换并将u(t)f(t)、y(t) x(t)代入进行调整并且同时假定零初始条件为: 那么这样可以得到系统的传递函数为 对应的系统框图如图所示 对于同样的系统在现代控制理论中会采取状态空间方程的表达方式。状态空间方程是一个集合它包含了系统的输入、输出以及状态变量并把他们用一系列的一阶微分方程表达出来。对于上述的二阶系统为了将其写成状态空间方程我们需要选取合适的空间变量才能使二阶系统转换为一些列的一阶系统 选取两个状态变量 式1代入上述的微分方程中可以得到 式2接下来我们就可以把式1和式2联合起来写成一个紧凑的矩阵表达形式 (式 3)系统的输出y(t) x(t)也可以写成矩阵的形式 式 4上面的式3和式4就是弹簧质量阻尼系统的状态空间方程 上面的形式可以推广到状态空间方程的一般形式也就是 其中
z(t)是状态变量是一个n维向量y(t)是系统输出是一个m维向量u(t)是系统输入是p维向量
这样也就说明
当使用状态空间方程来描述系统时有n个状态变量m个输出和p个输入。它可以表示多状态、多输出、多输入的系统。A是一个n×n的矩阵表示系统状态变量之间的关系称为状态矩阵或系统矩阵。B是一个n×p的矩阵表示输入对状态之间的影响称为输入矩阵或者控制矩阵C是一个m×n的矩阵 表示系统的输入与系统状态变量之间的关系称为输出矩阵D是一个m×p的矩阵表示系统的输入直接作用在系统输出的部分称为直接传递矩阵
单输入单输出矩阵
在上述的系统中系统的输出是y(t) x(t)是一个m1维向量输入u(t) f(t)表示也是一维向量所以是一个单输入单输出系统。
多输入多输出矩阵
下面是一个多输入、多输出矩阵的例子电路网络系统 此时系统中有两个输入和两个输出分别是 输入输出如果我们需要建立上述系统的状态空间方程那么就需要先掌握它的动态微分方程。那么这个系统就可以考虑成两个闭合的回路在每一个闭合回路中使用基尔霍夫电压定律那么就可以得到 闭合回路1 (式5)闭合回路2 式6其中 式7那我们再把式7带入到式5和式6中进行化简可以得到 式 8 式 9选取系统的状态变量其中 将状态变量带入到式 8和式 9中可以得到 式 10 式 11将式11 和式 12 写成紧凑的矩阵的形式得到 系统输出可以表达为 将上面两个式子写成一般表达式就可以得到状态空间方程的即 其中
状态空间与传递函数之间的关系
对于空间状态方程的等号两边同时做拉普拉斯变换我们可以得到 考虑其零初始状态我们可以得到如下的式子 式 12 式 13对于式12调整之后我们可以得到 式 14 其中I表示的是一个n×n的单位矩阵我们把式14带入到式13中进行调整我们可以得到 这样我们就可以得到传递函数的表达式为 同时我们再考虑弹簧质量的阻尼系统其中D0根据矩阵求逆公式带入上述式子中可以得到 我们可以观察到上面的这个公式如果分母部分为0那么也就是行列式值为0得出来的s的值就有两个含义 第一、从传递函数的角度考虑他是传递函数的极点第二、从状态矩阵的角度考虑它是矩阵A的特征值那么根据上面的两点我们就可以做出判断当我们把当前系统写成状态空间方程之后状态矩阵A的特征值即为其对应的传递函数G(s)的极点。
