大连高新区规划建设局网站,精品毛卡卡1卡2卡3麻豆,如何做新闻自动采集网站,数字货币怎么推广赚钱分析递归算法三种方法替换法、迭代法、通用法#xff08;master method#xff09;作用#xff1a;分析递归算法的运行时间分治算法将一个问题分解为与原问题相似但规模更小的若干子问题#xff0c;递归地解这些子问题#xff0c;然后将这些子问题的解结合起来构成原问题的…分析递归算法三种方法 替换法、迭代法、通用法master method 作用分析递归算法的运行时间 分治算法 将一个问题分解为与原问题相似但规模更小的若干子问题递归地解这些子问题然后将这些子问题的解结合起来构成原问题的解。这种方法在每层递归上均包括三个步骤 divide分解将问题划分为若干个子问题 conquer求解递归地解这些子问题若子问题Size足够小则直接解决之 Combine组合将子问题的解组合成原问题的解 其中的第二步很关键递归调用或直接求解 递归终结条件且有的算法“分解”容易有的则“组合”容易 分治法举例 归并排序 ①分解把n个待排序元素划分为两个Size为n/2的子序列 ②求解递归调用归并排序将这两个子序列排序若子序列长度为1时已自然有序无需做任何事情直接求解 ③组合将这两个已排序的子序列合并为一个有序的序列 显然分解容易一分为二组合难。 快速排序 刚刚分析过了快速排序是枢轴记录划分也就是分解难但是组合易。 A[1…k-1] ≤ A[k] ≤ A[k1…n] 分治算法分析 设T(n)是Size为n的执行时间若Size足够小如n ≤ C (常数)则直接求解的时间为θ(1) ①设完成划分的时间为D(n) ②设分解时划分为a个子问题每个子问题为原问题的1/b则解各子问题的时间为aT(n/b) ③设组合时间C(n) 一般地递归的求解划分而解递归式时可忽略细节 ①假定函数参数为整数如 ②边界条件可忽略当n较小时T(n θ(1) 因为这些细节一般只影响常数因子的大小不改变量级。求解时先忽略细节然后再决定其是否重要 分析的方法 替换法 猜测解用数学归纳法确定常数C证明解正确关键步骤是用猜测的解代入到递归式中。 做出好的猜测没有一般方法只能凭经验 ①与见过的解类似则猜测之。 ②先证较宽松的上、下界减小猜测范围。 细节修正 有时猜测解是正确的但数学归纳法却不能直接证明其细节这是因为数学归纳法不是强大到足以证明其细节。这时可从猜测解中减去一个低阶项以使数学归纳法得以满足 避免陷阱 与求和式的数学归纳法类似证明时渐近记号的使用易产生错误。 变量变换 有时改动变量能使未知递归式变为熟悉的式子。例如 迭代法 展开无须猜测展开递归式使其成为仅依赖于n和边界条件的和式然后用求和方法定界。需要关注 1、达到边界条件所需的迭代次数 2、迭代过程中的和式。若在迭代过程中已估计出解的形式亦可用替换法 3、当递归式中包含floor和ceiling函数时常假定参数n为一个整数次幂以简化问题。 递归树 使展开过程直观化 例 T(n)2T(n/2)n^2 不妨设n2k The master method通用法万能法 可迅速求解 T(n)aT(n/b)f(n) //常数a ≥1, b1, f(n)渐近正 意义将Size为n的问题划分为a个子问题每个子问题Size为n/b。每个子问题的时间为T(n/b)划分和combine的时间为f(n)。 注意n/b不一定为整数应为⌊n/b⌋或⌈n/b⌉不会影响渐近界。 关于递归和循环的理解与比较 递归通俗的说就是一个函数调用函数自己本身这个调用过程叫递归递归是一把双刃剑有时方便有时不好如果需要处理重复的需要多次计算的问题通常可以选择用递归或者循环两种方式但是递归的执行效率不如循环语句。 注意必须设置终止递归的条件检测否则慎用。 void up_and_down(int);//函数原型声明
int main()
{up_and_down(1);//调用递归函数 system(pause);return 0;
}void up_and_down(int n)
{printf(level%d, n地址%p\n, n, n);if (n 4){up_and_down(n 1);}printf(LEVEL%d, n地址%p\n, n, n);
} 首先main函数用参数1调用递归函数递归函数形参n1打印语句level1……然后n4故函数本身使用参数n12,第二次调用自己这样就打印了level2…… 以此类推当执行到第四级调用n4if失效不再调用函数而是执行了第二句打印先输出LEVEL4……此时第四级调用结束控制权返回给了主调函数也就是第三级主调函数此函数中上一句是if语句已经执行完毕然后继续执行第二句打印语句输出LEVEL3……第三级调用结束返回控制权给调用函数也就是第二级主调函数然后第二级函数开始继续执行以此类推打印LEVEL2,1…… 递归的基本原理 每一级递归都使用自己这一级的私有变量n同级调用时的地址和返回的地址是一样的。好好揣摩 这是函数自己在一层层的往深度调用自己然后一层层的往回返每到一层就继续执行接下来的语句故调用开始的地址和返回的地址一样而每一级递归都是用自己的局部变量。也就是第一级的n不同于第二级的n这样子函数逐步调用然后逐步返回直到main函数里。 递归函数里递归语句之前的语句和各级被调的递归函数执行顺序一致而递归语句之后的语句和被调的递归函数执行顺序相反这一特点针对涉及反向顺序的编程问题很有用 递归函数必须包含可以终止的条件因为递归可以替代循环故必须有终止 尾递归 最简单的递归递归语句放到函数末尾恰在return语句前叫做tail recursion尾递归因为出现在函数尾部作用相当于一条循环语句。 //计算阶乘递归和循环
#include stdio.h
#include stdlib.h
//计算阶乘
int factorial(int);
int loopFactorial(int);int main()
{int num;printf(输入1-12的整数q退出\n);while (scanf_s(%d, num)){if (num 0){printf(error!输入1-12的整数!);}else if (num 12){printf(输入1-12的整数!);}else{printf(\n%d的阶乘%d, num, factorial(num));printf(\n%d的阶乘%d, num, loopFactorial(num));}printf(\n输入1-12的整数);}system(pause);return 0;
} //循环计算阶乘
int factorial(int n)
{int temp;for (temp 1; n 1; n--){temp * n;}return temp;
} //使用递归计算阶乘
int loopFactorial(int n)
{int temp;if (n 0){temp n * loopFactorial(n - 1);//属于尾递归如n0那么这就是最后一句}else{temp 1;//必须要有递归结束判断条件}return temp;
} 注意:整型范围32位机器int类型最大到21多亿再大的话就要用long long或者double类型一般来说选择循环比较好些递归每次调用都要有自己的变量集合占据内存大每次都要存储新的变量集合到堆栈这样速度慢但是递归最简单的是尾递归比较简单。一些情况还是要用。
