网站推广的一般方式,动漫制作专业零基础,企业信用网查询系统,做网站用什么浏览器角的概念是几何学中最基本的概念之一。当我们研究三角形的性质时#xff0c;我们自然地建立了三角形的边和角之间的联系。这些联系是在三角学中系统地建立起来的。角是什么#xff1f;我们如何测量它#xff1f;虽然角度的概念在视觉上很直观#xff0c;但它的数学定义却不…角的概念是几何学中最基本的概念之一。当我们研究三角形的性质时我们自然地建立了三角形的边和角之间的联系。这些联系是在三角学中系统地建立起来的。角是什么我们如何测量它虽然角度的概念在视觉上很直观但它的数学定义却不那么直观。让我们尝试开发一种视觉方法来理解我们如何定义一个角度。考虑下面的图线条OA和OB之间的“延伸”就是我们所说的角度。即使我们选择OC和OD这两条线它们之间的距离也是一样的。所以点对的选择是完全任意的。接下来我们将这个角度嵌入到上面所示的五边形中。我们很容易看出有5个这样的角分别由5条边对着中心。所有的角都相等因为边长相等。我们应该记住我们还不知道角是什么但我们仍然可以通过逻辑思维来建立它的一些属性。让我们将此角度称为θ(发音为“ Theta”)。现在从上面的讨论中可以很容易地说θ的大小应为围绕五边形的整个角度的大小的五分之一。让我们以五边形为中心的完整角度的量度为Ω(发音为“Omega”)。因此我们可以写成在我们继续之前我们需要陈述一个非常基本的几何事实完整角的测量与多边形的大小和边的数目无关。很明显一个更大的五边形(或任何其他多边形)围绕中心的完整角度是相同的。这意味着Ω某种几何常数。如果我们取一个正六边形(6边)那么θ将变成看起来好像一个角度的大小取决于它周围多边形的形状。这显然是不可接受的因为一个角应该与五边形或六边形或其他任何东西无关。它们只是两线之间的“扩展”。所以我们想找到一个更好的方法来量化角度。受以下事实启发即使对于不同的形状围绕中心的角度始终为Ω我们可以尝试构造一个将Ω与常规正多边形连接的量。如果我们幸运的话这可能会导致某种我们想要的普遍性。我们写一个n边多边形的周长公式如果我们衡量任何多边形的周长P中心的角度认为是Ω。如果我们测量这个多边形的边的单位长度角度∠必须Ω/ P。我们称之为单位角。认为任何其他长度AB角(θ)必须AB×单位角度。用P的表达式我们可以写成这个表达式看起来很复杂但是我们要做一些简化。我们问一个问题如果n的值太大会发生什么首先多边形有太多的边这些边看起来就像一个圆。其次1/n得值非常小。为了让表达式更清楚一点我们用m代替1/n我们知道如果n变得太大m也会变得太小。用m表示最后一个表达式变成现在我们需要知道当m很小的时候分母上的这一项会怎样。要理解这一点考虑一个三角形ΔABC -根据定义我们知道从C点到B点会发生什么BC的长度变小了∠A也变小了。如果∠A趋近于零那么∠BC的长度也趋近于零。我们重新整理一下上面的方程得到如果我们说BC趋于0那么我们有公元前我们已经确定如果为零那么α也变成了零。我们可以这样写让我们从上面θ-复制表达式在我们的情况下m几乎变为零。现在任何乘以m的数字也将变为零因此mΩ/ 2是一个很小的数字。通过遵循上面讨论的论点当m → 0时它应该意味着sinm(mΩ/ 2) →0。尽管这是相当简单的简化但这是一场灾难这意味着我们将数量除以零这在数学上是非法的。这是否意味着我们出错了并没有。让我们确定这一明显悖论的根源。分母中有一个数量在某些情况下该数量等于零。消除此问题的唯一方法是用分子中的某项取消该项以便当m变为零时分母中没有剩余项会造成任何损害。现在发生这种情况的唯一方法是如果我们遇到以下情况-数字k是一个常数其突然出现可能会引起混淆。k的数学上严格的解释超出了本文的范围。此时我们只能说在方程的右侧我们必须使因子m乘以某个未知对象。原则上这个对象可以是任何对象但是为了简化分析我们假设它是一个数字。我们将在下一节中担心此数字但是最重要的是m将用分子取消并且除以零的问题得以解决这可能看起来像作弊但这是一种合法的数学技巧。此外这是摆脱零分问题的唯一明智方式。事实上这本身是一个非常基本的关系在数学的另一个分支——微积分中有着巨大的意义。替换后θ的表达式变为正如我们所看到的分母中的0消失了我们已经知道当m→0时我们处理的是一个圆而不是一个多边形(见下图)。我们可以确定OA圆的半径和AB的圆弧一定长度取决于θ。但是我们怎么找到k的值呢为了回答这个问题我们将使用书中最古老的技巧——物理测量。让我们看看下面的图表这里我们以θ为完整的角度在圆的一半。所以它的措施是Ω/ 2。如果我们用角的定义我们会得到两边Ω被取消了我们只剩下一个简单的方程k -如果我们可以用物理方法测量给定半径下的半圆弧的长度我们就可以把这些值代入这个公式中得到k的数值。结果表明对于任意大小的圆k的值近似为3.143。在数学文献这个值是表示为π。因此我们可以在角的定义中使用k的值来得到到目前为止我们一直在避免谈论Ω的值因为它是一个完全任意的选择。这类似于在公制与英制中测量棒的长度。杆的实际长度不会改变但是相关的数字可能会改变。因此我们可以完全自由地在特定系统中为Ω选择一个值。通过看最后一个公式简单地选择Ω2π 很有意义。这种选择使角度的定义非常简单角度测量的选择Ω称为弧度。如果我们选择Ω 360,我们称之为度。总结我们发现了一个明确的角度定义(以弧度为单位)即角度弧长/半径。如果我们以弧度为单位来测量角度则会得到一个非常有用的结果当θ→0时sinθ→θ。
