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这个例题我们介绍二分搜索法求函数零点。若函数f(x)在区间[a,b]上连续严格单调且满足f(a)×f(b)0那么f(x)在区间[a,b]上有且仅有一个零点。 二分搜索法的基本思想是不断将区间[a,b]一分为二然后判断零点位于哪一半区间内接着继续将包含零点的那一半区间一分为二如此循环直到得到足够精确的零点的估计值。以下是二分搜索法的一般步骤
步骤1选择函数零点所在的初始区间[a,b]确保f(a)×f(b)0。
步骤2计算区间的中点c (a b) / 2并计算函数在c处的值f(c)。
步骤3如果f(c)的值恰好等于零或者f(c)的绝对值小于某个给定的误差阈值那么c就可以当成零点迭代结束。
步骤4如果f(c)与零的差异较大那么需要根据f(c)的正负号将原来包含零点的区间[a,b]更换为[a,c]或[c,b]确保零点仍然在新的区间内例如: f(a)×f(c)0则更换为[a,c]。
步骤5重复步骤2到4直到找到零点或者达到所需的精度停止迭代。
下面看一个具体的题目函数 f(x)在区间[6,10]严格递增且f(6) 0 ,f(10)0请用二分搜索法求零点和0的误差控制在1e-8内即可。
% 设置初始搜索区间
a 6; b 10;
% 设置误差阈值
epsilon 1e-8;
% 开始二分搜索
while 1% 计算区间中点c (a b) / 2;% 计算中点处的函数值fc c^3 - 8*c^2 c - 5;% 如果中点处的函数值已经足够接近零停止搜索if abs(fc) epsilonbreakend
% 否则根据函数值的正负来调整搜索区间
fa a^3 - 8*a^2 a - 5;if fa * fc 0 % f(a) × f(c)0b c; % 区间更换为[a,c]else % f(c) × f(b)0a c; % 区间更换为[c,b]end
end
% 找到的零点估计值
x0 c;
disp(x0)
