河北省建设厅工程信息网站,装修公司做推广网站怎么弄,网络营销企业有哪些公司,企业网站模板公司文章目录 一、声明二、构造完备性证明三、反证法四、递归论证五、假设扩展六、构造模型 一、声明
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二、构造完备性证明
原理 构造一个对象#xff08;通常是序列、函数、集合等#xff09;#xff0c;证明它满足某种… 文章目录 一、声明二、构造完备性证明三、反证法四、递归论证五、假设扩展六、构造模型 一、声明
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二、构造完备性证明
原理 构造一个对象通常是序列、函数、集合等证明它满足某种性质或条件从而证明系统的完备性。
示例 命题在实数范围内存在一个数值 c c c使得方程 x 2 − 2 c x^2 - 2 c x2−2c 有解。 证明构造法。我们考虑方程 x 2 − 2 c x^2 - 2 c x2−2c可以通过观察得知当 c ≥ − 2 c \geq -2 c≥−2 时该方程有实数解。因此我们可以选择 c 0 c 0 c0此时对应的解为 x ± 2 x \pm \sqrt{2} x±2 。因此实数范围内存在一个数值 c c c使得方程 x 2 − 2 c x^2 - 2 c x2−2c 有解。
三、反证法
原理 假设系统不完备然后推导出一个矛盾结果从而证明了系统的完备性。
示例 命题如果 x 2 x^2 x2 是偶数则 x x x 也是偶数。 证明反证法。假设存在一个整数 x x x使得 x 2 x^2 x2 是偶数但 x x x 不是偶数。这意味着 x x x 是奇数。根据奇数的性质 x 2 k 1 x2k1 x2k1其中 k k k 是整数。那么 x 2 ( 2 k 1 ) 2 4 k 2 4 k 1 2 ( 2 k 2 2 k ) 1 x^2 (2k1)^2 4k^2 4k 1 2(2k^2 2k) 1 x2(2k1)24k24k12(2k22k)1由此可得 x 2 x^2 x2 也是奇数这与已知条件矛盾。因此我们得出结论如果 x 2 x^2 x2 是偶数则 x x x 也是偶数。
四、递归论证
原理 对于递归定义的对象或概念通过递归的性质和定义来证明系统的完备性。
示例 命题证明斐波那契数列中的任意两个相邻的数互质。 证明递归论证。首先斐波那契数列的定义是 F ( 1 ) F ( 2 ) 1 F(1) F(2) 1 F(1)F(2)1 F ( n ) F ( n − 1 ) F ( n − 2 ) F(n) F(n-1) F(n-2) F(n)F(n−1)F(n−2) 对于 n ≥ 3 n \geq 3 n≥3。我们使用数学归纳法证明假设 F ( k ) F(k) F(k) 和 F ( k 1 ) F(k1) F(k1) 互质那么 F ( k 1 ) F(k1) F(k1) 和 F ( k 2 ) F(k2) F(k2) 也互质。由于 gcd ( F ( m ) , F ( m 1 ) ) gcd ( F ( m ) , F ( m 1 ) m o d F ( m ) ) \text{gcd}(F(m), F(m1)) \text{gcd}(F(m), F(m1) \bmod F(m)) gcd(F(m),F(m1))gcd(F(m),F(m1)modF(m))根据辗转相除法可得到 gcd ( F ( m ) , F ( m 1 ) ) gcd ( F ( m ) , F ( m 1 ) − F ( m ) ) \text{gcd}(F(m), F(m1)) \text{gcd}(F(m), F(m1) - F(m)) gcd(F(m),F(m1))gcd(F(m),F(m1)−F(m))根据斐波那契数列的递归性质 F ( m 1 ) − F ( m ) F ( m − 1 ) F(m1) - F(m) F(m-1) F(m1)−F(m)F(m−1)。所以 gcd ( F ( m ) , F ( m 1 ) ) gcd ( F ( m ) , F ( m − 1 ) ) \text{gcd}(F(m), F(m1)) \text{gcd}(F(m), F(m-1)) gcd(F(m),F(m1))gcd(F(m),F(m−1))。根据数学归纳法证明了斐波那契数列中的任意两个相邻的数互质。
五、假设扩展
原理 假设原系统不完备然后引入新的元素或规则通过扩展系统来证明其完备性。
示例 命题证明欧几里得算法的完备性。 证明假设扩展。欧几里得算法是用于计算两个整数的最大公约数的算法。如果我们扩展这个算法并确保在算法的每一步都能得到有效的最大公约数那么我们就可以证明欧几里得算法的完备性。例如对于给定的两个整数 a a a 和 b b b我们可以使用欧几里得算法通过反复取余数的方式得到它们的最大公约数。这种假设扩展的方式可以保证算法始终得到正确的结果从而证明了其完备性。
六、构造模型
原理 构造一个模型来展示系统的完备性通常在逻辑、集合论、和数学基础理论中使用。
示例 命题证明欧几里得几何的平行公设。 示例为了证明欧几里得的平行公设可以构造一个平行线公设的几何模型。通过在欧几里得平面几何中构建两条被一条直线截断的平行线然后利用这个模型展示平行线性质。这个模型可以演示平行线之间的角对应相等、同位角相等和内错角相等等性质从而证明欧几里得的平行公设。这种构造模型的方法常用于几何学和拓扑学中用以展示特定系统的内在完备性或一致性。
