焦作会做网站制作的有哪家,android做网站,长春哪家做网站做的好,快速软件开发平台目录 前言 堆 堆的常用操作 堆的实现#xff08;大根堆#xff09; 1. 堆的存储与表示 2. 访问堆顶元素 3. 元素入堆 4. 堆顶元素出堆 Top-k 问题 方法一#xff1a;遍历选择 方法二#xff1a;排序 方法三#xff1a;堆 总结 前言
秋招复习之堆。 堆
「堆 heap… 目录 前言 堆 堆的常用操作 堆的实现大根堆 1. 堆的存储与表示 2. 访问堆顶元素 3. 元素入堆 4. 堆顶元素出堆 Top-k 问题 方法一遍历选择 方法二排序 方法三堆 总结 前言
秋招复习之堆。 堆
「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树主要可分为两种类型如图所示。
「小顶堆 min heap」任意节点的值 ≤ 其子节点的值。「大顶堆 max heap」任意节点的值 ≥ 其子节点的值。 堆作为完全二叉树的一个特例具有以下特性。
最底层节点靠左填充其他层的节点都被填满。我们将二叉树的根节点称为“堆顶”将底层最靠右的节点称为“堆底”。对于大顶堆小顶堆堆顶元素根节点的值是最大最小的。
堆的常用操作
许多编程语言提供的是「优先队列 priority queue」这是一种抽象的数据结构定义为具有优先级排序的队列。
实际上堆通常用于实现优先队列大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。 在实际应用中我们可以直接使用编程语言提供的堆类或优先队列类。
类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”我们可以通过设置一个 flag 或修改 Comparator 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
QueueInteger minHeap new PriorityQueue();
// 初始化大顶堆使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可
QueueInteger maxHeap new PriorityQueue((a, b) - b - a);/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);/* 获取堆顶元素 */
int peek maxHeap.peek(); // 5/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek maxHeap.poll(); // 5
peek maxHeap.poll(); // 4
peek maxHeap.poll(); // 3
peek maxHeap.poll(); // 2
peek maxHeap.poll(); // 1/* 获取堆大小 */
int size maxHeap.size();/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty maxHeap.isEmpty();/* 输入列表并建堆 */
minHeap new PriorityQueue(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
priority_queueint, vectorint, greaterint minHeap;
// 初始化大顶堆
priority_queueint, vectorint, lessint maxHeap;/* 元素入堆 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);/* 获取堆顶元素 */
int peek maxHeap.top(); // 5/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1/* 获取堆大小 */
int size maxHeap.size();/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty maxHeap.empty();/* 输入列表并建堆 */
vectorint input{1, 3, 2, 5, 4};
priority_queueint, vectorint, greaterint minHeap(input.begin(), input.end()); 堆的实现大根堆
1. 堆的存储与表示
完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树因此我们将采用数组来存储堆。 将索引映射公式封装成函数
/* 获取左子节点的索引 */
int left(int i) {return 2 * i 1;
}/* 获取右子节点的索引 */
int right(int i) {return 2 * i 2;
}/* 获取父节点的索引 */
int parent(int i) {return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
/* 获取左子节点的索引 */
int left(int i) {return 2 * i 1;
}/* 获取右子节点的索引 */
int right(int i) {return 2 * i 2;
}/* 获取父节点的索引 */
int parent(int i) {return (i - 1) / 2; // 向下整除
} 2. 访问堆顶元素
/* 访问堆顶元素 */
int peek() {return maxHeap.get(0);
}
/* 访问堆顶元素 */
int peek() {return maxHeap[0];
} 3. 元素入堆
给定元素 val 我们首先将其添加到堆底。添加之后由于 val 可能大于堆中其他元素堆的成立条件可能已被破坏因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点这个操作被称为「堆化 heapify」。
考虑从入堆节点开始从底至顶执行堆化。如图所示我们比较插入节点与其父节点的值如果插入节点更大则将它们交换。然后继续执行此操作从底至顶修复堆中的各个节点直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。就是一直和父比较大就换 设节点总数为 n 则树的高度为 O(logN) 。由此可知堆化操作的循环轮数最多为 O(logN) 元素入堆操作的时间复杂度为 O(logN) 。
/* 元素入堆 */
void push(int val) {// 添加节点maxHeap.add(val);// 从底至顶堆化siftUp(size() - 1);
}/* 从节点 i 开始从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {while (true) {// 获取节点 i 的父节点int p parent(i);// 当“越过根节点”或“节点无须修复”时结束堆化if (p 0 || maxHeap.get(i) maxHeap.get(p))break;// 交换两节点swap(i, p);// 循环向上堆化i p;}
}
/* 元素入堆 */
void push(int val) {// 添加节点maxHeap.push_back(val);// 从底至顶堆化siftUp(size() - 1);
}/* 从节点 i 开始从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {while (true) {// 获取节点 i 的父节点int p parent(i);// 当“越过根节点”或“节点无须修复”时结束堆化if (p 0 || maxHeap[i] maxHeap[p])break;// 交换两节点swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);// 循环向上堆化i p;}
}
4. 堆顶元素出堆
堆顶元素是二叉树的根节点即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动我们采用以下操作步骤。
交换堆顶元素与堆底元素交换根节点与最右叶节点。交换完成后将堆底从列表中删除注意由于已经交换因此实际上删除的是原来的堆顶元素。从根节点开始从顶至底执行堆化。
如图所示“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。 与元素入堆操作相似堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 O(logn) 。代码如下所示
/* 元素出堆 */
int pop() {// 判空处理if (isEmpty())throw new IndexOutOfBoundsException();// 交换根节点与最右叶节点交换首元素与尾元素swap(0, size() - 1);// 删除节点int val maxHeap.remove(size() - 1);// 从顶至底堆化siftDown(0);// 返回堆顶元素return val;
}/* 从节点 i 开始从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {while (true) {// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点记为 maint l left(i), r right(i), ma i;if (l size() maxHeap.get(l) maxHeap.get(ma))ma l;if (r size() maxHeap.get(r) maxHeap.get(ma))ma r;// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界则无须继续堆化跳出if (ma i)break;// 交换两节点swap(i, ma);// 循环向下堆化i ma;}
}
/* 元素出堆 */
void pop() {// 判空处理if (isEmpty()) {throw out_of_range(堆为空);}// 交换根节点与最右叶节点交换首元素与尾元素swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);// 删除节点maxHeap.pop_back();// 从顶至底堆化siftDown(0);
}/* 从节点 i 开始从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {while (true) {// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点记为 maint l left(i), r right(i), ma i;if (l size() maxHeap[l] maxHeap[ma])ma l;if (r size() maxHeap[r] maxHeap[ma])ma r;// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界则无须继续堆化跳出if (ma i)break;swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);// 循环向下堆化i ma;}
}
Top-k 问题
Q给定一个长度为 n的无序数组 nums 请返回数组中最大的 k个元素。
方法一遍历选择
其时间复杂度趋向于O(n2) 非常耗时。 当 kn 时可以得到完整的有序序列此时等价于“选择排序”算法。
方法二排序
如图所示我们可以先对数组 nums 进行排序再返回最右边的 k 个元素时间复杂度为 O(nlogn) 。
显然该方法“超额”完成任务了因为我们只需找出最大的k个元素即可而不需要排序其他元素。 方法三堆
可以基于堆更加高效地解决 Top-k 问题流程如图所示。
初始化一个小顶堆其堆顶元素最小。先将数组的前 k 个元素依次入堆。从第 k1 个元素开始若当前元素大于堆顶元素则将堆顶元素出堆并将当前元素入堆。遍历完成后堆中保存的就是最大k 个元素。
天才 /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
QueueInteger topKHeap(int[] nums, int k) {// 初始化小顶堆QueueInteger heap new PriorityQueueInteger();// 将数组的前 k 个元素入堆for (int i 0; i k; i) {heap.offer(nums[i]);}// 从第 k1 个元素开始保持堆的长度为 kfor (int i k; i nums.length; i) {// 若当前元素大于堆顶元素则将堆顶元素出堆、当前元素入堆if (nums[i] heap.peek()) {heap.poll();heap.offer(nums[i]);}}return heap;
}
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
priority_queueint, vectorint, greaterint topKHeap(vectorint nums, int k) {// 初始化小顶堆priority_queueint, vectorint, greaterint heap;// 将数组的前 k 个元素入堆for (int i 0; i k; i) {heap.push(nums[i]);}// 从第 k1 个元素开始保持堆的长度为 kfor (int i k; i nums.size(); i) {// 若当前元素大于堆顶元素则将堆顶元素出堆、当前元素入堆if (nums[i] heap.top()) {heap.pop();heap.push(nums[i]);}}return heap;
}
总共执行了 n轮入堆和出堆堆的最大长度为 k 因此时间复杂度为 O(nlogk) 。该方法的效率很高当 k 较小时时间复杂度趋向 O(n) 当 n 较大时时间复杂度不会超过 O(nlogn) 。
另外该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时我们可以持续维护堆内的元素从而实现最大的 k个元素的动态更新。 总结
堆是一棵完全二叉树根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大小顶堆的堆顶元素是最大小的。优先队列的定义是具有出队优先级的队列通常使用堆来实现。堆的常用操作及其对应的时间复杂度包括元素入堆 O(logn)、堆顶元素出堆 O(logn) 和访问堆顶元素 O(1) 等。完全二叉树非常适合用数组表示因此我们通常使用数组来存储堆。堆化操作用于维护堆的性质在入堆和出堆操作中都会用到。输入 n 个元素并建堆的时间复杂度可以优化至 O(n) 非常高效。Top-k 是一个经典算法问题可以使用堆数据结构高效解决时间复杂度为 O(nlogK) 。
